数検2級 指数関数—指数の拡張とグラフから大小や解を判断する｜武蔵野個別指導塾

底が1より小さいときの不等号の向きや、置換後に必要な正の条件を例題でたどり、判断の根拠を学ぶ指数関数です。

よくあるのは、受検者が底の小さい指数関数の不等式を解き、指数を比べるときも不等号の向きをそのままにする場面です。例えば、底が1/2なら指数が大きくなるほど値は小さくなります。計算自体が合っていても、この向きの判断で答えが反対側に広がります。まず底を見て、グラフの増減と言葉を対応させるところから始めましょう。

指数関数で問われる判断

指数関数では、指数を整数から分数へ広げたときの計算、同じ底に直して解く方程式、大小関係から範囲を決める不等式などを考えます。例えば、正の数の平方根を分数の指数で表す型、異なる見かけの底を共通の底にそろえる型、指数の式を別の文字に置き換えて二次式にする型があります。どの型でも、最後は元の式に戻って条件を確かめます。

指数に文字がある式は、文字が底にある多項式とは見方が異なります。2ˣとx²を同じように扱って指数を前に下ろすことはできません。ここでは正の底の指数法則とグラフを使い、方程式と不等式を扱います。対数を使って解を表す問題は扱いません。

底と指数を読み取る

正の数aについて、aをn個掛けたものをaⁿと書きます。指数を0や負の整数にも広げると、a⁰ = 1、a⁻ⁿ = 1/aⁿです。これによって、指数の足し算に対応する掛け算の規則を保てます。例えば2⁻³ = 1/8です。底が0なら逆数を作れないので、負の指数をこのようには定められません。

さらに、正の整数nと整数mに対して、aのm/n乗は、n乗するとaᵐになる正の数です。例えば8の2/3乗は、8の正の立方根2を2乗した4です。先に2乗して64の正の立方根をとっても4になります。分母は何乗根をとるか、分子は何乗するかを示します。平方根には正と負の2つの数が関わる場面もありますが、正の底の分数指数で選ぶのは正の値です。

正の底aについて、aᵖ × aᑫ = aの(p+q)乗、aᵖ / aᑫ = aの(p-q)乗、(aᵖ)ᑫ = aのpq乗が成り立ちます。割る式の値は正なので0にはなりません。掛け算と足し算は別です。aᵖ + aᑫをaの(p+q)乗に変える規則はありません。

指数関数y = aˣでは、底にa > 0、a ≠ 1という条件をつけます。どの実数xでも値は正で、グラフは(0, 1)を通ります。底が1より大きい場合は右上がり、0より大きく1より小さい場合は右下がりです。図1のように、指数を右へ進めたときの値の動きを底で分けます。底が1なら値は常に1で、異なる指数から同じ値が生じるため、指数の等しさを読み取る方法は使えません。

図1の各矢印は、指数が増えるときの値の変化を表します。正の底が1以外なら同じ底の累乗の値が等しいとき指数も等しくなります。一方、不等式では底が1より小さければ大小関係が逆になります。底の条件を先に書くと、どちらの規則を使うか判断しやすくなります。

指数法則を使う前に、式がどの演算で結ばれているか見ることも大切です。例えば正の数aでa² × a³はa⁵ですが、a² + a³は一般にはa⁵ではありません。a = 2なら前者は32、後者は12です。式の形を見ずに指数だけを足すと、底をそろえた後でも別の値を作ってしまいます。

また、指数が負でも値が負になるわけではありません。3⁻²は1/9という正の数です。負号は逆数をとることを示します。分数指数や負の指数が出てきたら、まず正の数になるか、元の累乗に戻して確かめられるかを見ます。こうした点検は、後で置換した文字の範囲を決めるときにも役立ちます。

基本例題：同じ底にそろえて範囲を求める

次の不等式を解き、xの範囲を不等号で表してください。

(1/2)の(x-1)乗 > 1/8

まず左右の底をそろえます。右辺は1/2を3回掛けた数なので、

1/8 = (1/2)³

です。これを右辺に代入すると、

(1/2)の(x-1)乗 > (1/2)³

となります。ここで底1/2は0より大きく1より小さい数です。指数が大きくなると累乗の値は小さくなるため、左辺の値が右辺より大きいという条件は、左辺の指数が右辺の指数より小さいことに対応します。図2のように指数の並びと値の並びを比べると、

x − 1 < 3

です。両辺に1を足して、

x < 4

を得ます。等号を含まないのは、元の不等号が等号を含まないからです。図2ではx = 4のとき左右とも1/8になり、境界に当たります。この点自体は解に含みません。

答えを元の式へ戻して確かめます。範囲内のx = 3なら左辺は(1/2)² = 1/4で、1/8より大きくなります。範囲外のx = 5なら左辺は(1/2)⁴ = 1/16で、1/8より小さくなります。x = 4では等しいため不適です。これらの代入は向きと境界を点検する方法です。範囲全体を決める根拠は、底が1より小さい指数関数が一貫して減少することにあります。

右辺を3と見間違えると、底をそろえる前に比べる対象が変わってしまいます。また、底が1より小さいのにx − 1 > 3とすると、確かめのx = 3を解から外してしまいます。指数を比べる直前に「値が大きい側の指数は小さい」と一言添えると、その後の一次不等式と判断を区別できます。

少し難しい例題：置換した値の範囲も使う

方程式4ˣ − 5・2ˣ + 4 = 0を解き、xを整数で表してください。

4ˣ = (2ˣ)²なので、2ˣをtと置くと二次方程式にできます。ここで指数関数の値は正ですから、置換と同時にt > 0を書きます。すると元の方程式は

t² − 5t + 4 = 0

となり、因数分解して

(t − 1)(t − 4) = 0

です。したがってt = 1またはt = 4です。どちらも正なので、置換の条件を満たします。ここでの分かれ目は、二次方程式の解が正かどうかです。0以下の解が出た場合は2ˣの値にはなれないため、元の方程式の候補から外します。

t = 1のとき、2ˣ = 2⁰よりx = 0です。t = 4のとき、2ˣ = 2²よりx = 2です。底2は1より大きく、異なる指数に異なる値が対応するので、これ以外の指数はありません。

元の式に戻すと、x = 0では1 − 5 + 4 = 0、x = 2では16 − 20 + 4 = 0です。どちらも問題の等式を満たします。二次方程式にできた段階で終えず、tを元の2ˣに戻すことが必要です。逆に、底をそろえてすぐ指数を等しいと置く方法は、左辺に和と差があるこの式には直接使えません。まず全体を二次式として見るのが適切です。

置換後の二次方程式が負の候補しか持たない場合もあります。例えば2ˣ + 2 = 0なら、2ˣ = -2が必要ですが、左辺は常に正なので実数解はありません。計算を途中で止めたのではなく、値の範囲が条件と交わらないことから結論を出しています。右辺が0の場合も同様です。指数関数のグラフは横軸に近づいても、有限の実数の指数では横軸に触れません。

方程式の両辺を同じ底の累乗にできるときは、まずその底が正で1でないことを確かめます。底が1なら1のどんな実数乗も1なので、指数が異なっても値は等しくなります。底を文字で表す問題では、1より大きい場合と0より大きく1より小さい場合を分ける必要もあります。文字に含まれる可能性を数で代表させて決めず、それぞれの範囲で増減を判断します。

誤答を指数と値の両方から直す

例えば(1/3)ˣ < (1/3)²に対して、指数をそのまま比べてx < 2とするのは誤りです。底1/3は0と1の間にあるので、指数が大きい方の値が小さくなります。正しくはx > 2です。図3のように、指数を2から3へ増やすと、値は1/9から1/27へ減ります。この具体的な変化で不等号の向きを点検できます。

図3の値を元の不等式へ入れると、x = 3では1/27 < 1/9が成り立ちます。誤答のx < 2にはこの値が含まれません。境界のx = 2では両辺が等しいので含めないことも確認できます。1つの代入だけで範囲全体を証明することはできませんが、逆向きの答えを見つける助けになります。

もう1つのつまずきは、置換後の条件を忘れることです。例えば2ˣ = -1という候補は、実数のxでは成立しません。2ˣは常に正だからです。計算の途中で候補が得られても、元の指数関数の値として実現できるかを別に調べます。等式と不等式のどちらでも、元の条件へ戻る習慣が解の過不足を防ぎます。

練習問題

次の問題を解いてから、後の解答と比べてください。いずれもxは実数です。

1. 27の2/3乗を整数で求めてください。
2. 9ˣ = 27を解き、xを分数で表してください。
3. (1/4)の(x+1)乗 ≦ 1/16を解き、xの範囲を不等号で表してください。
4. 3の2x乗 − 2・3ˣ − 3 = 0を解き、xを整数で表してください。

練習問題の答えと確かめ

1. 分数指数

27の正の立方根は3です。分子の2に従ってその数を2乗すると9です。答えは9です。確かめとして、9の3乗は729で、27の2乗も729です。どちらも正の数なので、問題の指数が表す値と一致します。分母の3は3で割る操作ではなく、立方根をとる操作を示します。

2. 方程式の底をそろえる

9 = 3²、27 = 3³なので、左辺は3の2x乗です。よって3の2x乗 = 3³となります。底3は正で1ではないため、指数を等しくして2x = 3です。答えはx = 3/2です。

元の左辺へ戻すと、9の3/2乗は、9の正の平方根3を3乗して27です。右辺と一致します。底が異なるように見えても、共通の底の累乗に直せれば指数の等式へ移れます。

3. 等号を含む不等式

1/16 = (1/4)²です。底1/4は0より大きく1より小さいので、値が右辺以下になるのは指数が2以上のときです。したがってx + 1 ≧ 2となり、答えはx ≧ 1です。

境界のx = 1では左右とも1/16で、等号が成り立ちます。範囲内のx = 2では左辺が1/64となり、1/16より小さい数です。範囲外のx = 0では左辺が1/4で、条件を満たしません。底による減少と等号の有無を、元の不等式でも照合できます。

4. 置換と正の条件

3ˣ = tと置くとt > 0で、3の2x乗 = t²です。式はt² − 2t − 3 = 0、すなわち(t − 3)(t + 1) = 0となります。候補はt = 3とt = -1ですが、後者はt > 0に反します。

残る3ˣ = 3からx = 1です。元の式では9 − 6 − 3 = 0となり、等式を満たします。tの二次方程式に負の解があっても、元の指数関数には対応しません。置換前の値の範囲を残しておくと、不要な候補を除けます。

練習問題では、各答えの根拠をもう一度言葉にしてみましょう。2では等しい値から指数の等しさを読み、3では底が小さいため不等号の向きを変えています。4では因数分解の前に置いた条件が、候補を選ぶ段階で必要でした。似た計算に見えても、等式と不等式、元の文字と置換した文字では確認する点が違います。

答え合わせで誤りが見つかったら、最終行だけを直すより、底をそろえた行、指数を比べた行、候補を元に戻した行を順に調べてください。例えば境界値が正しいのに範囲が逆なら増減の判断を見直します。境界値自体が違うなら累乗の計算や一次式の移項を確認します。原因を分けると、次にどの練習をするか選びやすくなります。

覚えておくこと

• 正の底では、分数指数を正の根と整数乗で考えます。
• 同じ底の積や商では指数法則を使い、和には使いません。
• 底が1より大きければ指数と値は同じ順、0と1の間なら逆の順です。
• 置換した指数関数の値は正であり、候補を元の式へ戻します。

つまずきを見分けるには

お子さまが答えの範囲を逆にしたときは、まず指数を比べた行に戻り、底が1より大きいか小さいかを尋ねます。次に境界の両側から1つずつ代入し、どちらが元の条件を満たすか確かめます。境界の等号の有無も別に確認すると、向きの誤りと端点の誤りを分けられます。

個別指導では、置換の問題ならtの二次方程式を解く前に、t = 2ˣから何が言えるかを口に出してもらいます。正の条件を書けるか、候補をxへ戻せるかを順に見れば、計算と条件判断のどこで止まったかが見えます。底の範囲と値の向きを結ぶことが、指数の不等式を読む手がかりです。