数検2級 三角方程式と不等式—指定区間で単位円とグラフから解を拾う｜武蔵野個別指導塾

倍角に合わせて指定区間を移し、周期による解の増加と不等式の境界を含む条件を追っていきます。

よくあるのは、受検者が単位円で見つけた角を答えに書き、周期によってもう一度現れる解を一つ落とす場面です。途中の計算は合っていても、角の動く範囲が一周を超えると、最初の一周だけを見た答えでは足りません。反対に、終点を含まない区間で、一周して出発点と同じ位置に戻った角を書いてしまうこともあります。角の位置と、問題が指定した角の値を分けて考えましょう。

角の値を区間から選ぶ

三角方程式では、例えば sin θ がある値になる角を指定区間から求めます。単位円上では、同じ高さにある点を探すことに対応します。cos θ なら横の座標に注目します。式に 2θ が現れたときは、θ の区間を 2 倍してから、2θ が動く範囲を調べます。単位円の同じ点を複数回通るかもしれません。

三角不等式では、値が基準より大きい部分や小さい部分を区間として答えます。境界で等号が許されるか、指定された区間の端が許されるかは別々に調べます。また、三角関数の値を文字に置き換えて二次方程式にする型もあります。このとき、文字の値が三角関数の値として実現するかを先に見る必要があります。

ここで使う例は、角度をラジアンで表す自作の問題です。一般解は最後の補足として触れますが、中心となる作業は指定された区間内の解を拾い、元の条件に戻すことです。

単位円の座標と範囲の対応

原点を中心とする半径 1 の円を単位円と呼びます。正の横軸から反時計回りに θ だけ回った点の座標は (cos θ, sin θ) です。横の座標が余弦、縦の座標が正弦です。図1のように、正弦が一定という条件は、円と水平な直線の交点を探すことに対応します。交点が 2 個なら、角も原則として一周に 2 個あります。

図1では同じ高さの 2 点が左右にあります。円の中心より上では正弦が正、下では負です。余弦なら同じ横の座標を持つ点を縦に探します。ただし、直線が円に接するときは交点が 1 個になり、円の外を通るときは交点がありません。したがって sin θ や cos θ の値が -1 から 1 の範囲を外れれば、対応する角はありません。

同じ点に戻る角は 2π ずつ違います。θ の区間が 0 以上 2π 未満なら原点の向きは θ = 0 に対応し、2π は範囲外です。一方、0 より大きく 2π 以下なら同じ向きに対して 2π を採用します。端を含むかという条件は、円の図だけでは区別できないため、数直線や不等号でも保持します。

不等式はグラフでも読めます。横軸に角、縦軸に三角関数の値を取り、基準を表す水平線より上か下かを見る方法です。交点は等号が成り立つ境界です。厳密な不等号なら境界を除き、等号つきなら境界を含めます。最後に指定区間と重なる部分を残すと、端の扱いを整理できます。

範囲がずれたときの探し方

角の範囲は 0 から始まるとは限りません。例えば、角 φ の範囲が -π ≦ φ < π のときは、負の角も含めて数直線に並べます。単位円では時計回りの角も使えますが、図の位置が同じであっても、指定された数の範囲に入る表し方を選びます。まず 0 から一周の候補を見つけ、必要に応じて 2π を引く方法もあります。移した後の角が左端や右端に一致した場合は、不等号に戻って採否を判断します。

値が円の外にある場合にも、計算を先へ進めず立ち止まれます。例えば sin φ = 3/2 は、単位円上の高さが 1 を超えることを求めています。そのような点はないため、どの角の区間を指定しても解はありません。これは解の候補を探し損ねた場合とは異なり、値域から解が存在しないと判断した結果です。

基本例題：2倍の角を一周ずつ調べる

問題：0 ≦ θ < 2π のとき、sin 2θ = 1/2 を解き、θ を π を用いた分数で表してください。

まず、角の部分を t = 2θ と置きます。問題の範囲の両端を 2 倍すると、0 ≦ t < 4π です。ここで t の範囲を 0 ≦ t < 2π としたままにすると、後半の一周を調べられません。図2のように、t の範囲を一周目と二周目に分けて考えます。

まず 0 ≦ t < 2π で sin t = 1/2 となる角を探します。単位円で高さが 1/2 の点は第1象限と第2象限にあります。基準となる角は π/6 なので、一周目の候補は次の 2 個です。

t = π/6、5π/6

次に 2π ≦ t < 4π を調べます。正弦の周期は 2π ですから、一周目の各角に 2π を足します。

t = π/6 + 2π = 13π/6

t = 5π/6 + 2π = 17π/6

この 4 個は 0 以上 4π 未満にあります。さらに 2π を足すと 4π 以上になるため、指定範囲には入りません。ここで求めたのは t の値なので、2 で割って θ に戻します。

θ = π/12、5π/12、13π/12、17π/12

いずれも 0 ≦ θ < 2π を満たします。元の式に戻すと、2θ は順に π/6、5π/6、13π/6、17π/6 です。後ろの 2 つは前の 2 つに 2π を足した角なので、正弦はいずれも 1/2 です。図2では 4 個の候補が各周に 2 個ずつあることを確かめられます。

別の見方では、sin t = 1/2 の一般解を t = π/6 + 2nπ または t = 5π/6 + 2nπ と書き、整数 n のうち範囲に入るものを選べます。この問題では各式について n = 0、1 です。一般解を書いても区間の確認は必要です。負の整数や 2 以上の整数を機械的に含めないようにします。

少し難しい例題：値の候補と不等号を整理する

問題：0 ≦ θ < 2π のとき、2 sin² θ − sin θ − 1 ≧ 0 を解き、θ の範囲を π を用いて表してください。

sin θ = u と置くと、求める条件は 2u² − u − 1 ≧ 0 です。左辺を因数分解すると、(2u + 1)(u − 1) ≧ 0 になります。積が 0 以上となるのは、両方が負または両方が正の場合に加え、どちらかが 0 の場合です。数直線上で調べると u ≦ -1/2 または u ≧ 1 です。

ここが考え方の分かれ目です。u は任意の実数ではなく sin θ なので、-1 ≦ u ≦ 1 という制限があります。したがって後者の u ≧ 1 は u = 1 に限られます。u = 2 などは二次不等式を満たしても、正弦の値としては取れません。前者は -1 ≦ u ≦ -1/2 の部分が残ります。

まず sin θ = 1 は、指定区間では θ = π/2 です。次に sin θ = -1/2 となる境界は θ = 7π/6、11π/6 です。単位円で高さが -1/2 以下となるのは、下側の円周のうち、この 2 点の間です。等号を含むので両端を含め、7π/6 ≦ θ ≦ 11π/6 となります。

よって答えは θ = π/2、または 7π/6 ≦ θ ≦ 11π/6 です。孤立した 1 点と区間を混ぜずに書きます。π/2 では sin θ = 1 で元の左辺は 0 です。区間の両端では sin θ = -1/2 で左辺は 0、途中では正弦が -1/2 以下なので因数の積は 0 以上です。残りの角では正弦が -1/2 より大きく 1 より小さいため、積は負です。これで余計な角も解の漏れもないと確かめられます。

グラフで見るなら、y = sin θ と水平線 y = -1/2 の上下関係を調べた後、y = 1 に達する点を別に足します。二次不等式の結果を一つの連続した角の範囲として扱うと、π/2 から下側の円周までの不要な角を含むので注意します。

誤答を直す：角の範囲を置き換える

基本例題で t = 2θ と置いた後、t = π/6、5π/6 として θ = π/12、5π/12 で終える誤答を考えます。代入するとどちらも式を満たすので、見つけた答え自体は正しいものです。しかし、正しい答えが一部あることと、解を漏れなく挙げたことは違います。

図3のように、誤りの原因は t の範囲を一周で止めたことです。θ が 2π 未満まで動く間に t は 4π 未満まで動きます。そこで一周目の 2 個にそれぞれ 2π を足し、二周目の 13π/6、17π/6 を追加します。最後に 4 個すべてを 2 で割れば、基本例題の答えに戻ります。

別の失敗として、範囲を正しく変えた後に t の値をそのまま θ の答えにすることがあります。文字を置き換えた式と、問題で求める文字を最後に照合してください。また、両端の扱いも独立した確認点です。例えば 0 ≦ t < 4π では 0 は候補にできても、4π は候補にできません。同じ位置だからといって両端を自動的に採用しないことが大切です。

境界で起きる別の誤り

不等式で「以上」と「より大きい」を取り違えると、境界点の扱いが変わります。境界を求めた後、その角を元の不等式に入れて左右が等しくなるかを調べます。等しくなったとき、等号がついていれば境界を含み、ついていなければ除きます。さらにその点が指定区間に入るかを確認します。この二段階を踏むと、不等式の等号と区間の等号を混同しにくくなります。

図から範囲を読み取る際には、境界の間が答えか、境界の外側が答えかも確かめます。境界で区切られた各部分から角を一つ選び、元の式の大小に代入すれば、塗る側を判断できます。グラフの交点を出しただけで不等式を終えると、どちら側が条件を満たすかが残ったままです。

練習問題

次の問題はそれぞれ独立しています。角はラジアンで、答えは π を用いた分数または区間で表してください。問題を先に解き、解答の候補を元の条件に戻してから読み進めましょう。

1. 0 ≦ θ < 2π で、cos θ = -√2/2 を解いてください。
2. 0 ≦ θ < 2π で、sin 3θ = 0 を解いてください。
3. 0 ≦ θ ≦ 2π で、cos θ > 1/2 を解いてください。
4. 0 ≦ θ < 2π で、2 cos² θ + cos θ − 1 = 0 を解いてください。

解答と考え方

1. 基準となる角は π/4 です。余弦が負なのは単位円の左側なので、第2象限と第3象限を選びます。答えは θ = 3π/4、5π/4 です。どちらも区間内であり、横の座標はともに -√2/2 です。右側の π/4 と 7π/4 は絶対値が同じでも符号が正なので除きます。

2. t = 3θ と置くと 0 ≦ t < 6π です。sin t = 0 は単位円の横軸上で生じ、範囲内では t = 0、π、2π、3π、4π、5π です。6π は右端を含まないため除きます。3 で割り、θ = 0、π/3、2π/3、π、4π/3、5π/3 です。3θ に戻すと並べた 6 個の t に一致し、それぞれ正弦は 0 です。隣り合う候補の間では円が横軸を横切らないため、他の解はありません。

3. cos θ = 1/2 となる境界は π/3 と 5π/3 です。単位円の右側で横の座標が 1/2 より大きい部分を選ぶと、0 ≦ θ < π/3 または 5π/3 < θ ≦ 2π です。境界の 2 点は不等号が厳密なので含めません。0 と 2π では余弦が 1 で条件を満たし、問題の区間も両方を含むので、両端を残します。円では同じ位置でも角の値は異なります。

4. u = cos θ と置き、2u² + u − 1 = 0 を (2u − 1)(u + 1) = 0 と因数分解します。u = 1/2 または u = -1 です。どちらも余弦の値として可能です。前者から θ = π/3、5π/3、後者から θ = π となります。答えは θ = π/3、π、5π/3 です。元の式に戻すと、u = 1/2 のとき 2 × 1/4 + 1/2 − 1 = 0、u = -1 のとき 2 − 1 − 1 = 0 です。範囲内で対応する角を各値について調べているので、値を満たす角を落としていません。

覚えておくこと

• 角を置き換えたら、指定区間も同じ操作で移します。
• 一周の解を見つけたら、周期を使い必要な周まで調べます。
• 不等式の境界と指定区間の端は、それぞれ等号を確認します。
• 三角関数の値に置き換えたときは -1 以上 1 以下の条件に戻します。
• 答えを元の文字に戻し、代入と範囲の両方で確かめます。

つまずきを見分ける

個別指導では、まず求めた角を単位円に指し、元の式に合う座標を読めるかを確かめます。座標は合うのに解の個数が足りなければ、置き換え後の範囲を書いて一周ごとに候補を並べ直します。値の符号が違う場合は、円のどの側を選んだかに戻ります。

不等式で端だけ間違えた場合は、境界で元の左右が等しいか、問題の区間がその端を含むかを別々に尋ねます。保護者がお子さまの途中式を見るときも、答えの数だけではなく、角の範囲が置き換えとともに書き直されているかに注目できます。角の位置と数の範囲を結びつけると、周期が増やす解を自分で拾えます。