数検2級 不等式の証明—差をとる方法と相加相乗平均の条件を確かめる｜武蔵野個別指導塾

左右の差を平方の形に直す方法と相加相乗平均を使い、等号が条件のもとで実現するかまで確かめます。

よくあるのは、受検者が不等号の向きを示せたところで筆を止め、等号が成り立つ条件を書き落とす場面です。差を平方に直せても、その平方が0になるときまで調べなければ、左右がいつ一致するのかは伝わりません。条件を式に戻すところまで、一つずつ追ってみましょう。

何を示せば証明になるか

不等式の証明では、問題に与えられた範囲の数に対して、左右の大小が常に成り立つ理由を示します。いくつかの数を代入して正しいと確かめても、それ以外の値まで示したことにはなりません。代入は計算の誤りを探す手がかりに使い、最後は一般の文字について説明します。

出方の型には、2つの式の差を平方にまとめるもの、正の数の和と積を相加相乗平均で比較するもの、条件を代入して等号が実際に実現するか調べるものがあります。同じ「以上」という結論でも、使える条件と等号の調べ方は違います。数が負になりうるのか、0を含むのかを先に見てから道具を選びましょう。

ここでは実数の平方と2数の相加相乗平均に絞ります。数値を求める場合も、下から押さえる式を書いた後、その値が条件のもとで実際に取れると示します。下限を出しただけでは、最小値の証明は終わりません。

差の符号と平均の条件

実数 t の平方 t² は0以上です。t が正でも負でも、同じ数を2回かけると負にはなりません。0になるのは t = 0 のときです。この事実を使い、A ≥ B を示したいときは A − B を作って0以上と示します。引く順番を逆にすると調べるべき符号も逆になるため、最初に大きいと示したい側から小さい側を引きます。

図1のように、差が平方に直れば、その平方が0になる条件から等号に戻れます。たとえば差が 2(u − v)² なら、2は正なので差が0になるのは u = v のときです。平方がいくつか足されている場合は、各項が0以上であることを確かめ、和が0になるには各項が0になる必要があります。

図1の矢印は、大小の証明と等号の確認を同じ計算から進めることを表します。差を0以上と示した後、0になる条件が元の問題の制約を満たすかも調べます。制約に合わなければ、等号はその範囲では成立しません。

非負の実数 p、q について、相加相乗平均の関係は次の形です。

(p + q)/2 ≥ √(pq)

等号が成り立つのは p = q のときです。左辺は相加平均、右辺は相乗平均です。根号は0以上の値を表します。この関係は (√p − √q)² ≥ 0 を展開しても得られるので、等号条件も同じ平方から確認できます。p、q がともに0の場合も式は成立します。

ただし、もとの文字が正であることを使って逆数を作る問題では、0を代入できません。平均の関係自体は非負でも使えますが、1/x があるなら x ≠ 0 が必要で、さらに x と 1/x を非負の2数として使うには x > 0 が必要です。負の数にそのままこの形を当てはめることはできません。

基本例題: 左辺から右辺を引く

実数 a、b について、a² + b² ≥ 2ab を証明し、等号が成り立つ条件を文字の等式で答えましょう。a、b は正とは限らず、0や負の値も含みます。そこで符号の条件を必要としない平方を使います。

左辺から右辺を引くと、次のようになります。

(a² + b²) − 2ab

= a² − 2ab + b²

= (a − b)²

≥ 0

最初の行では、比較したい左辺から右辺全体を引いています。2行目は項を並べ直した式です。3行目は平方の展開公式を逆に使っています。a − b は実数なので、その平方は0以上です。したがって左辺と右辺の差が0以上となり、求める不等式が示されました。

図2のように、最後の平方から等号も調べます。(a − b)² = 0 は a − b = 0 と同じです。よって等号は a = b のとき、かつそのときに限って成り立ちます。逆に a = b を元の両辺に代入すると、左辺も右辺も 2a² となります。等号の条件が必要であることと、実際に十分であることを両方向から確認できました。

図2の左の式は元の左右の差、中央はその平方、右は等号の条件です。例えば a = -2、b = 1 のとき、左辺は5、右辺は-4で大小に矛盾しません。一方、a = b = -2 では両辺とも8です。これらの代入は式の点検であり、一般の実数に対する証明は上の平方の計算が担います。

等号の行を省くと、大小の結論だけは読めても、どの組で一致するかが残ります。問題が等号条件を尋ねていなくても、平方を使った証明では0になる条件を添えると、変形の意味がはっきりします。

平方を作る途中で係数が合わないときは、展開して元の差に戻るかを調べます。たとえば (a − b)² の中央の項は -2ab です。符号や係数を頭の中で変えると、正しい形に見える別の式を証明してしまうことがあります。実際に3項を展開して照合すれば、この取り違えを見つけられます。

差が負の平方になるときは、そのまま0以上とは言えません。引く順番が目的に合っているかを見直し、それでも負になるなら主張自体が正しいか、具体的な値で点検します。計算が進まないときは、与えられた条件を書き出してから別の方法を考えるのも一手です。

少し難しい例題: 和が一定の正の数

正の実数 x、y が x + y = 10 を満たすとき、1/x + 1/y の最小値を分数または整数で求め、そのときの x、y を答えましょう。逆数があるため、最初に x > 0、y > 0 を使えることを確認します。和が一定なので、積 xy の上限を調べる方法と、逆数を含む式に直接平均を使う方法があります。ここでは積に注目します。

相加相乗平均より、

(x + y)/2 ≥ √(xy)

です。x + y = 10 を代入すると、5 ≥ √(xy) です。両辺は0以上なので2乗しても向きは変わらず、25 ≥ xy を得ます。等号は x = y のときで、和の条件と合わせると x = y = 5 です。

次に通分すると、1/x + 1/y = (x + y)/(xy) = 10/(xy) です。xy は正で、xy ≤ 25 なので 1/(xy) ≥ 1/25 です。したがって 10/(xy) ≥ 10/25 = 2/5 となります。正の数の逆数を比較したため、不等号の向きが反転する点が分かれ目です。

等号を取る x = y = 5 は正で、和も10です。元の式へ戻すと 1/5 + 1/5 = 2/5 なので、下からの評価に実際に届きます。よって最小値は 2/5、そのとき x = y = 5 です。もし等号条件が正や和の条件に反したなら、同じように最小値とは結論できません。

別の見方では、(x + y)(1/x + 1/y) = 2 + x/y + y/x です。x/y と y/x は正で、その積は1なので、平均の関係から和は2以上です。したがって積全体は4以上、和が10なので逆数の和は 2/5 以上です。この方法でも等号は x/y = y/x から x = y となり、元の条件へ戻す必要があります。

誤答を直す: 等号を置く前に符号を見る

「実数 x について x + 1/x ≥ 2。等号は x = 1」という答案を考えます。x = 0 では逆数が定義されず、x < 0 では不等式自体が成り立ちません。たとえば x = -1 を入れると左辺は-2です。実数という条件のままでは、平均の関係を使える正の2数が用意されていません。

図3のように、まず x の範囲へ戻り、主張が正しい範囲に修正します。x > 0 なら x と 1/x はともに正なので、相加相乗平均から x + 1/x ≥ 2√(x・1/x) = 2 です。等号は x = 1/x、すなわち x² = 1 から調べます。x > 0 という条件に合うのは x = 1 であり、元の式も 1 + 1 = 2 となります。

図3の点検では、0で式が定義されないことと、負の場合に主張が崩れることを区別します。x² = 1 の解を得た後に負の解を残してしまう誤りもあります。計算途中で得た条件は、最初の範囲と照合してから等号条件として書きます。

また、不等式の両辺に負の数をかけると向きが逆になります。文字をかけたり割ったりするときに符号が不明なら、正と負に分けるか、符号を気にせず使える平方への変形を探します。式を変形できたかと、その変形が指定された範囲で正当かは別々に確認しましょう。

練習問題

次の問題は、まず条件と使う道具を書いてから解いてください。等号条件は文字の等式で示し、最小値は分数または整数で答えます。

1. 実数 m、n について、m² + 4n² ≥ 4mn を証明し、等号条件を求めます。
2. 正の実数 t について、3t + 12/t の最小値と、そのときの t を求めます。
3. 正の実数 u、v が u + v = 8 を満たすとき、uv の最大値と、そのときの u、v を求めます。
4. 1 < z < 3 のとき、(z − 1)² + 2 > 2 を証明します。等号が成り立つ z が指定範囲にあるかも答えます。

練習問題の答えと解き方

1. 左辺から右辺を引くと m² + 4n² − 4mn = (m − 2n)² ≥ 0 です。m、n は実数なので平方の非負性が使えます。等号は m − 2n = 0、つまり m = 2n のときです。元の式に代入すると左右とも 8n² となり、逆向きも確かめられます。たとえば負の n も含むため、正の数を前提とする必要はありません。

2. t > 0 なので 3t と 12/t はともに正です。相加相乗平均より、3t + 12/t ≥ 2√(3t・12/t) = 12 です。等号は 3t = 12/t のときで、t > 0 のもとでは t² = 4、t = 2 です。元の式は 3・2 + 12/2 = 12 となります。したがって最小値は12です。t = -2 は式 t² = 4 の解ですが、問題の正という条件に合いません。

3. u、v は正なので、(u + v)/2 ≥ √(uv) です。和を代入して 4 ≥ √(uv)、両辺が0以上なので uv ≤ 16 です。等号条件 u = v と u + v = 8 から u = v = 4 を得ます。元の和は 4 + 4 = 8、積は 4・4 = 16 です。よって最大値は16です。積の上限を示した後、等号を実現する組を確かめて最大値と結びつけます。

4. 1 < z なので z − 1 > 0、したがって (z − 1)² > 0 です。両辺に2を足すと (z − 1)² + 2 > 2 です。等号には z − 1 = 0、すなわち z = 1 が必要ですが、1 < z < 3 に含まれません。上側の条件 z < 3 も含めた指定範囲内に等号を与える値はありません。z を1に近づけても、1そのものを選べないことと混同しないようにします。

4問を振り返ると、最初の問題は実数全体で平方を使い、2番と3番は正の条件を平均につなげています。4番は平方が0以上であることに加え、指定範囲で0にならないことから不等号を厳しくしています。たとえば z = 2 なら左辺は3で、確かに2より大きいですが、この代入は一般の場合の証明そのものではありません。

等号を調べるとき、途中で2回以上の不等式を使ったなら、それぞれの等号条件が同時に成り立つ必要があります。片方だけが等号でも、別の行で差が残れば最初と最後は一致しません。逆に、条件をまとめた後は、元の問題で定義される値かを確かめて初めて答えにできます。

数値による点検は失敗を見つけるためにも使えます。例えば正の条件を忘れた答案に負の値を入れて結論が崩れれば、条件の不足が見つかります。ただし、試した値で崩れなかったとしても、それ以外の値での成立は保証されません。平方の符号や平均の条件を根拠に戻ることが必要です。

手元に残す要点

左辺から右辺を引き、平方や非負の和に直します。
相加相乗平均には、使う2数が非負であることを確かめます。
逆数があるときは、0を除き符号も確認します。
等号は各評価で同時に成立する条件から求めます。
最後に条件と元の式へ戻し、値が実際に取れるか調べます。

どこで止まったかを見分ける

差を作る前に手が止まる場合は、目標の不等号を指して「どちらから引けば0以上になるか」を確認します。平方には直せるのに等号を書けない場合は、最後の平方を0と置き、そこから元の文字の関係へ戻る練習が有効です。式の見た目ではなく、どの行のどの条件から結論が出たかを言葉にします。

個別指導で確かめるときは、相加相乗平均に入れた2つの式を指して、それぞれが正か0かを本人に説明してもらいます。逆数のある式なら、0が許されるか、負の値を含むかを問題文に戻って調べます。保護者がお子さまの答案を見る場合も、答えの数値に加えて、等号の条件を元の式に代入した行があるかが確認の手がかりになります。

大小を示した最後の行から、等号が実際に成立する条件までたどることで、証明は一つの筋道になります。