数検2級 恒等式と等式の証明—係数比較と式の変形を使い分けて筋道を示す｜武蔵野個別指導塾

一つの値の代入では証明にならない理由を押さえ、係数比較と片辺の変形を使い分けてみましょう。

よくあるのは、受検者が等式に特定の数を代入し、左右が一致したところで証明を終える場面です。その数では確かに一致していますが、別の値でも一致するかはまだ残っています。式が成り立つ範囲を読み取り、どこからどこへ変形したかを残せば、答えの根拠が伝わる答案に近づきます。

何を決め、何を示す問題か

恒等式と等式の証明では、文字がいくつも現れても、それぞれの役割を分けることから始めます。たとえば、x がどの実数でも成り立つように定数を決める問題では、x は動く文字で、求める定数は固定された値です。一方、a と b がある条件を満たすときに等式を示す問題では、その条件を根拠に式を変形します。

出方の型としては、両辺を x の整式に整理して定数を求める型、与えられた条件を使い片辺をもう一方の辺へ変える型、左右の差を計算して 0 と示す型が考えられます。どの型も、最初に「何が任意で、何を決めるのか」を明確にする点は共通です。

係数を求めるときには、必要な条件を並べて連立するだけで終わらず、得た値を元の等式に戻します。証明では、成り立つかどうかを知りたい等式を、最初から使ってはいけません。使ってよい条件や展開公式から出発し、結論へ進む道筋を作ります。

恒等式と係数の意味

x についての恒等式とは、考える範囲のどの x を入れても成り立つ等式です。整式の場合、たとえば x² + 2x + 1 = (x + 1)(x + 1) は、右辺を分配法則で展開すると左辺と同じになるので、どの実数 x でも成り立ちます。これに対し x + 1 = 4 は x = 3 で成り立つ方程式であり、どの実数でも成り立つ恒等式ではありません。

整式を同じ文字の次数ごとに整理したとき、恒等的に等しいなら、対応する係数は等しくなります。x² の係数、x の係数、定数項をそれぞれ比べるのが係数比較です。ある次数の項が見当たらない場合、その係数は 0 と考えます。x² + 5 なら、x の係数は 0 です。

図1のように、恒等式は定められた範囲の任意の値について成り立ち、方程式は等式を満たす値を求めるものです。両辺が整式である恒等式では、次数ごとの係数を対応させます。分母のある式は分母が 0 にならない範囲を先に決める必要があるため、ここでは整式を中心に扱います。

係数を見るときは、文字の役割が入れ替わらないようにも注意します。たとえば x の恒等式で a を定数と指定されたら、ax は x の項で、その係数は a です。a も文字で書かれているため、定数項に分類してしまうことがありますが、分類の基準は x が何個掛かっているかです。a の値がまだわからなくても、x の係数として扱えます。

また、次数の高い項から順に並べると、対応のずれを防げます。片方の辺にある項がもう片方に見当たらない場合は、0x のように補って比較します。展開の途中で同じ次数の項が複数あるときは、先にまとめてから係数を読みます。係数比較は、見た目が似た部分を選ぶ操作ではなく、整式を同じ基準で整理してから使う方法です。

係数比較が使える理由を、二次式で確かめます。差を px² + qx + r として、それがすべての実数 x で 0 なら、x = 0 から r = 0、x = 1 と x = -1 からそれぞれ p + q = 0、p − q = 0 です。したがって p = q = r = 0 となり、対応する係数が一致します。逆に各係数が一致すれば、どの x を代入しても同じ式です。

特定の値を代入する方法も、定数を求める手段として使えます。ただし、求めた値が恒等式を実際に成り立たせるかは別に確認します。代入で得た条件は必要な条件であり、その条件から元の等式が任意の x で成り立つことまで示して初めて十分だといえます。

基本例題：係数をそろえて定数を決める

【問題】すべての実数 x について、次の等式が成り立つように定数 a、b を求めてください。答えは整数で示し、元の式に戻して確かめます。

x² + 5x + 6 = (x + 2)(x + a) + b

左辺はすでに次数ごとに整理されています。右辺のかっこを外し、同じ次数の項を集めてから比べます。まず x と 2 のそれぞれを、もう一方のかっこ内の各項に掛けます。

(x + 2)(x + a) + b

= x² + ax + 2x + 2a + b

= x² + (a + 2)x + (2a + b)

図2では、展開して整理した式から、x の係数と定数項をそれぞれ対応させています。x² の係数は両辺とも 1 なので、新しい条件は生じません。次の x の係数を比べると、

5 = a + 2

a = 3

です。次に定数項を比べます。そこに今求めた a = 3 を入れると、

6 = 2a + b

6 = 6 + b

b = 0

です。よって候補は a = 3、b = 0 です。定数項の 2a を落とすと b の値も変わるので、比較する前に右辺全体を書き出しておきます。

求めた値を問題文の右辺に戻すと、(x + 2)(x + 3) + 0 = x² + 5x + 6 です。左辺と一致するので、得られた値は任意の実数 x で確かに条件を満たします。係数比較で候補がこの組に限られることと、戻して条件を満たすことを両方示せました。

答案を書く順番も確認します。恒等式だから係数が等しいと述べ、その結果として連立の式を書くと、なぜ定数を決められるかが伝わります。係数が等しいことから得た数値は、まだ候補として扱い、代入後に元の条件を満たすと結びます。逆向きの確認まで含めれば、求め忘れや展開の符号の誤りに気づきやすくなります。

代入でも候補を出せます。x = -2 とすると 0 = b です。さらに別の値を入れれば a も決められますが、選んだ値だけで一致しても恒等式の確認は済みません。最後に文字のまま展開して左右を一致させます。計算が速く進んだ場合ほど、この戻しの行を省かないようにします。

条件を使う証明：変形の入口を選ぶ

【問題】実数 a、b が a + b = 4 を満たすとき、a² + b² = 16 − 2ab を証明してください。

ここでは定数を決めるのではなく、条件を満たす任意の a、b について等式を示します。a と b の値は一組に定まっていません。たとえば和が 4 になる組を一つ試しても、ほかの組の証明にはならないので、条件を文字のまま使います。

方法を選ぶ分かれ目は、左辺と右辺に共通する形を作れるかです。左辺 a² + b² に 2ab を足すと (a + b)² になります。条件に和があるため、この形を使うと、条件の 4 を代入できます。示したい右辺が 16 − 2ab なので、足した 2ab を引き戻す方針です。

左辺を変形すると、

a² + b² = (a + b)² − 2ab

= 4² − 2ab

= 16 − 2ab

となり、右辺に一致します。最初の等号は平方の展開公式を逆向きに使っています。次の等号では、問題の条件 a + b = 4 を用いました。したがって、与えられた条件のもとで等式が成り立ちます。

別の入口として、条件から (a + b)² = 16 とし、左辺を展開してから両辺から 2ab を引いても同じ結論になります。どちらも、最初に使うのは既知の条件か展開公式です。結論を仮定して条件を導く向きだけでは、条件から結論が出ることを示したとは限りません。

条件を確認するため a = 1、b = 3 を入れると、和は 4、左辺は 10、右辺も 16 − 6 = 10 です。この一致は計算の点検には役立ちますが、証明そのものは任意の組に通用する上の変形です。条件を満たさない組を入れ、等式が成り立たないことを根拠に証明を否定するのも誤りです。

誤答を直す：代入と循環を見分ける

次の主張を考えます。「x² = x は、x = 0 を入れると 0 = 0 だから、すべての実数 x で成り立つ」。これは誤りです。x = 0 では成り立ちますが、x = 2 では左辺が 4、右辺が 2 となり一致しません。一例が合うことは全体の証明にならず、一例でも合わない値があれば、すべての実数についての主張を否定できます。

図3のように、代入による一致はその値での確認として記録します。恒等式を示すには、任意の文字を残したまま両辺を同じ式にする、または差が 0 になることを示します。反例を探す場合は、その値が問題で許される範囲に入っていることも確かめます。

もう一つの誤りは、証明したい式を最初に「成り立つ」と置き、その式から条件を導いて終える書き方です。条件が導けても、逆向きに戻れるかは自動的には決まりません。結論を前提に結論を正当化する循環を避け、条件から出発するか、片辺の変形を等号で順に書きます。どうしても結論から考えたいときは、下書きで方針を探した後、各変形が逆向きにも成立することを確かめ、答案は条件側から書き直します。

両辺を別々に変形する方法も使えます。その場合は左右が共通の式に到達したことを明示します。単に同じ値を代入して一致したことや、両辺に結論を使った操作をしたこととは区別してください。何を根拠に各行を書いたのかをたどれると、計算の誤りも発見しやすくなります。

練習問題

まず4問とも問題を読み、条件と結論を分けてから取り組んでください。定数は整数で答え、証明問題は変形の根拠を示します。答えは問題の後にまとめています。

1. すべての実数 x について、2x² + 7x + 4 = (x + 3)(2x + p) + q が成り立つように、定数 p、q を求めてください。
2. すべての実数 t について、3t² − 2t + 5 = A(t − 1)² + B(t − 1) + C が成り立つように、定数 A、B、C を求めてください。
3. 実数 u、v が u − v = 5 を満たすとき、u² − v² = 5(u + v) を証明してください。
4. 実数 m、n について、(m + n)² + (m − n)² = 2(m² + n²) を証明してください。条件のない等式として、任意の実数で成り立つ理由を示します。

答えと解き方

1. 右辺を展開すると 2x² + (p + 6)x + 3p + q です。x の係数から p + 6 = 7 なので p = 1、定数項から 3p + q = 4 なので q = 1 です。元の右辺に戻すと (x + 3)(2x + 1) + 1 = 2x² + 7x + 4 となり、任意の x で左辺と一致します。

2. 右辺は A t² + (-2A + B)t + (A − B + C) です。係数を順に比べて A = 3、-2A + B = -2、A − B + C = 5 を得ます。したがって B = 4、C = 6 です。戻して 3(t − 1)² + 4(t − 1) + 6 を展開すると 3t² − 2t + 5 になり、与えられた式を復元できます。t − 1 を一まとまりと見た形でも、比較する前に t の次数でそろえる点が大切です。

3. 左辺から始め、平方の差の公式と条件を順に使います。

u² − v² = (u − v)(u + v)

= 5(u + v)

右辺になりました。u − v = 5 は問題の条件なので使えます。たとえば u = 7、v = 2 は条件を満たし、元の左辺は 49 − 4 = 45、右辺は 5 × 9 = 45 です。この代入は計算の点検であり、上の文字の変形が任意の条件を満たす組に対する証明です。

4. 左辺を分配法則で展開します。

(m + n)² + (m − n)²

= m² + 2mn + n² + m² − 2mn + n²

= 2m² + 2n²

= 2(m² + n²)

交差する項 2mn と -2mn が打ち消し合うので、右辺に一致します。途中で m や n を特別な値に限定していないため、任意の実数 m、n について成り立ちます。符号が不安な場合は、(m − n)(m − n) を一項ずつ掛けて中間の -mn が2つあることに戻ります。

覚えておくこと

• 恒等式では、文字が動く範囲と固定する定数を分けます。
• 整式は同じ文字の同じ次数の係数を比較します。
• 求めた定数を元の等式に戻し、任意の文字で確かめます。
• 証明は条件や公式から出発し、片辺または差を変形します。
• 特定の値での一致は点検であり、任意の場合の証明ではありません。

つまずきを見分けるには

係数を比べる前に手が止まる場合は、右辺の展開を一行ずつ書き、同じ次数の項に印を付けてみます。x の項がない辺には係数 0 を書けるか、定数項に掛け算の結果が残っていないかを確かめます。答えが合っていても、元の式へ戻した行がなければ、候補が条件を満たす理由を説明できるかを尋ねます。

証明で数字の代入を続ける場合は、「別の値を選んでも同じ理由が使えるか」と問い、条件を文字のまま使う行へ戻ります。個別指導では、条件から出発しているか、等号の各段階に展開公式や条件という根拠があるかを答案の行ごとに確認します。お子さまが計算はできても道筋を言葉にしづらいときは、まず一つの等号を指して、どの条件を使ったかを説明する練習が役立ちます。任意の値を支える一行が、証明を前へ進めます。