高校数学III 最大値と最小値—端点と極値を比較して条件に合う答えを選ぶ｜武蔵野個別指導塾

長方形の面積を微分で調べ、端点を比べ、開区間で最大値や最小値が存在しない理由まで確かめます。

よくあるのは、定期テスト前の演習で増減表を作り、極大値を見つけたところで最大値も決まったと思う場面です。山の頂上に見える値があっても、指定された区間の端の値がそれを上回ることがあります。反対に、値がある数にいくらでも近づいても、その数を実際には取れない場合もあります。変数が動ける範囲と、候補の値を取れるかどうかを先に書き、最後に元の条件へ戻して判断しましょう。

何を比べる問題か

閉区間で関数の最大値と最小値を求める問題では、区間の内部にある停留点などを調べるとともに、両端の関数値を比較します。例えば内部に山と谷が両方あるとき、山の値が必ずしも区間全体の最大値とは限りません。端点の値も同じ表に入れると、比べ忘れを防げます。

開区間を含む問題では、端へ近づけたときの様子を調べても、端の値をそのまま候補にしてはいけません。近づく値と、実際に取る値は別です。最大値がないときは、より大きな値を取る点がいつも見つかることや、上限に近づくが到達しないことを示します。最小値についても同様です。

図形などの量を最適にする問題では、長さの条件を使って求めたい量を1変数の関数にします。変数の範囲は式を微分する前に決めます。最後に、その変数の値から元の長さを復元し、条件と単位に合うか確かめます。数学IIIの微分法とその応用に位置づけられる考え方です。

候補に入る点と、入らない点

関数が区間全体で連続なら、閉区間では最大値と最小値が存在します。微分可能な部分では、内部の最大・最小の点は導関数が0になる点から探せます。ただし、関数が連続でも内部で微分できない点があれば、そこも候補として調べます。分母が0となる点や根号の中が負となる範囲は、そもそも定義域に入りません。

図1のように、閉区間では端点を候補に加えます。端点は片側にしか動けないため、導関数が0でなくても最大値や最小値を与えます。区間内で導関数が0になる点を拾い、各点の関数値を計算したうえで比べてください。

図1の両端の丸は、その点が区間に含まれることを表します。例えば区間が a < x < b なら端点は含まれず、同じように候補へ入れることはできません。a ≦ x < b のように片側だけを含む場合は、含まれる a の値だけを端点の候補として扱います。

極大値は、その点の近くで比べたときの山の値です。最大値は、指定された範囲のあらゆる点と比べたときに最も大きい値です。導関数が0でも符号が変わらなければ、そこに山や谷があるとは限りません。符号を確認した後も、端点との比較は別に必要です。

分数関数で分母を払うときは、定義域でその分母が正か負かを見てください。正の数で割るなら不等号の向きは変わりませんが、負の数なら逆向きです。根号を含む式を扱うときも、根号内が0以上である条件と、変形の前後で失われる点がないかを確かめます。

基本例題：面積を1変数で表す

横の長さを x cm、縦の長さを y cm とする長方形を考えます。0 ≦ x ≦ 3 とし、縦の長さは y = 12/(1 + x²) cm で与えられています。x = 0 のときは面積を0とします。このとき面積の最大値と最小値、およびそれぞれを与える x を、正確な値と単位で求めてください。

横が0の端を含むという条件があるので、面積0も候補です。分母の 1 + x² はすべての実数 x で正であり、この区間で縦の長さは定義されます。面積を S cm² とすると、横と縦の積から

S(x) = 12x/(1 + x²)　（0 ≦ x ≦ 3）

です。図2の長方形の横と縦は、この式のそれぞれの因子に対応します。幅を変えると高さも変わるため、縦を一定とみなして微分することはできません。

商の微分法で、分子と分母を区別して計算します。

S′(x) = {12(1 + x²) − 12x・2x}/(1 + x²)²

= 12(1 − x²)/(1 + x²)²

= 12(1 − x)(1 + x)/(1 + x²)²

分母は正で、区間内では 1 + x も正です。したがって符号を決めるのは 1 − x です。0 < x < 1 では S′(x) > 0、x = 1 では S′(x) = 0、1 < x < 3 では S′(x) < 0 です。面積は1まで増え、その後は減ります。

内部の候補 x = 1 と、含まれる端点 x = 0、3 で値を求めます。

S(0) = 0、S(1) = 12/2 = 6、S(3) = 36/10 = 18/5

0 < 18/5 < 6 なので、最大値は 6 cm²、そのとき x = 1 cm です。最小値は 0 cm²、そのとき x = 0 cm です。増減から最大の位置が見えても、最小は左右の端の値を比べて決めています。

元の条件へ戻します。x = 1 のとき y = 12/2 = 6 cm で、面積は 1 × 6 = 6 cm² です。x = 0 のとき y = 12 cm で、横と縦の積は0です。x = 3 のときも y = 6/5 cm で、積は 18/5 cm² となります。図2は一般の x を表すため、最大時に限った形ではありません。端を含む条件がなければ、x = 0 を最小値の答えに採用できるか、改めて調べる必要があります。

端を含まないときの分かれ目

正の実数 x が 0 < x ≦ 6 を満たすとき、f(x) = x + 9/x の最大値と最小値を求めてください。存在する場合はその値と x を正確に表し、存在しない場合は理由を示します。

分母が0になる x = 0 は含まれません。一方、x = 6 は範囲に含まれます。まず内部で微分すると

f′(x) = 1 − 9/x² = (x − 3)(x + 3)/x²

です。x > 0 なので x² と x + 3 は正です。よって 0 < x < 3 では f′(x) < 0、3 < x ≦ 6 では f′(x) > 0 となります。x = 3 を境に減少から増加へ変わり、最小値の候補は f(3) = 3 + 3 = 6 です。含まれる右端では f(6) = 6 + 9/6 = 15/2 です。

実際、条件内の任意の x について

f(x) − 6 = (x² − 6x + 9)/x = (x − 3)²/x ≧ 0

です。等号は x = 3 で成立しますから、最小値は 6、これを与えるのは x = 3 です。元の式でも 3 + 9/3 = 6 と確かめられます。

最大値は存在しません。x を正のまま0に近づけると 9/x は限りなく大きくなり、f(x) も限りなく大きくなるためです。右端の値 15/2 は実際に取りますが、それより大きな値も取れます。例えば x = 1 なら f(1) = 10 です。1例を比べただけでは最大値の不存在の証明には足りませんが、上の極限によりどんな大きな数も超えるとわかります。

ここで左端を含む閉区間だと読み違え、x = 0 を代入することはできません。9/x が定義されないためです。また「最大値がない」と「値がどこまでも大きい」は常に同じ意味ではありません。上に限られていても、その上限を取れないため最大値がない場合があります。練習ではその違いも確かめます。

間違いを条件へ戻して直す

図3のように、0 ≦ x ≦ 3 で g(x) = -x² + 2x + 2 を考えます。「g′(x) = -2x + 2 = 0 より x = 1、したがって最小値は 3」という答えは誤りです。微分が0になっただけでは、最小か最大かを決められません。

原因は、停留点での値と区間全体の最小値を同一視したことです。g′(x) は x < 1 で正、x > 1 で負なので、x = 1 は山です。実際に g(0) = 2、g(1) = 3、g(3) = -1 と計算すると、最大値は 3、最小値は -1 です。図3では端点も含めた3つの値を比較しています。x = 3 は端点なので導関数が0でなくても最小値を与えます。

もう一つの誤答は、0 < x < 1 で h(x) = x の最大値を1とすることです。x は1より小さいので、1という値には到達しません。しかも任意の x に対して (x + 1)/2 は x より大きく1より小さいため、最大となる点はありません。同様に x/2 は正で x より小さいので、最小となる点もありません。0と1に近づけることと、その値を取れることを区別すれば直せます。

図形の問題では、作った式の最大値を求めても、対応する長さが条件外なら採用できません。例えば正の長さを求める問題で端点に0が現れたら、その端を含めてよいか問題文に戻ります。含まれなければ、端に近づく場合と内部の値を比較し、最大値または最小値が存在するかを判断します。

練習問題

次の4問は、答えを先に見ずに範囲と候補を書き出してから解いてください。値が存在する場合は正確な式と、それを与える変数の値を答えます。存在しない場合はその理由も示します。

1. 0 ≦ x ≦ ln 2 で f(x) = eˣ − 2x の最大値と最小値を求めてください。
2. 0 ≦ t ≦ 3 で A(t) = t√(9 − t²) の最大値と最小値を求めてください。
3. 1 < u < 3 で B(u) = u + 1/u の最大値と最小値を調べてください。
4. 横 x cm、縦 y cm の長方形について、横2本と縦3本の長さの合計が 20 cm です。x > 0、y > 0 とするとき、面積の最大値を正確な分数と単位で求め、そのときの横と縦の長さも答えてください。

練習の解答と確かめ方

1. f′(x) = eˣ − 2 です。0 ≦ x < ln 2 では eˣ < 2 なので f′(x) < 0、右端では f′(ln 2) = 0 です。したがって指定区間で f は減少します。端の値は f(0) = 1、f(ln 2) = 2 − 2 ln 2 です。最大値は 1 で x = 0、最小値は 2 − 2 ln 2 で x = ln 2 です。右端を含むため最小値を実際に取ります。元の式に戻すと e の ln 2 乗は2であり、値が一致します。

2. 根号の中は指定区間で0以上です。0 < t < 3 で微分すると

A′(t) = √(9 − t²) − t²/√(9 − t²)

= (9 − 2t²)/√(9 − t²)

です。分母は正なので、符号は 9 − 2t² で決まります。内部の候補は t = 3/√2 で、そこまでは増加し、その後は減少します。端では A(0) = A(3) = 0、候補では

A(3/√2) = (3/√2)√(9/2) = 9/2

です。したがって最大値は 9/2、t = 3/√2 のときです。最小値は 0、t = 0 または t = 3 のときです。t = 3 では上の導関数の分母が0ですが、関数値は定義されるので端点として比較します。最大時の根号内は 9/2 で、負ではありません。

3. B′(u) = 1 − 1/u² = (u² − 1)/u² です。1 < u < 3 では正なので、B は増加します。u が1に近づくと B(u) は2に近づき、3に近づくと 10/3 に近づきますが、どちらの端も含まれません。したがって最大値も最小値も存在しません。

より具体的には、任意の u に対して (u + 3)/2 は u より大きく3より小さく、(u + 1)/2 は1より大きく u より小さい数です。増加する関数にそれぞれ代入すると、どの値よりも大きい値と小さい値を範囲内で取れます。2や 10/3 は近づく先であり、答えの値としては取れません。

4. 条件は 2x + 3y = 20 です。y = (20 − 2x)/3 で、x > 0 と y > 0 から 0 < x < 10 です。面積を P cm² とすると

P(x) = x(20 − 2x)/3、P′(x) = (20 − 4x)/3

となります。0 < x < 5 で P′(x) > 0、5 < x < 10 で P′(x) < 0 なので、範囲に含まれる x = 5 で最大です。y = (20 − 10)/3 = 10/3 cm、面積の最大値は 5 × 10/3 = 50/3 cm² です。

長さを条件へ戻すと 2 × 5 + 3 × (10/3) = 20 cm で、指定された合計に一致します。縦横はいずれも正です。なお x が0または10に近づくと面積は0に近づきますが、端は含まれず、内部では面積が正なので最小値は存在しません。最大値が存在しても、最小値は別に調べる必要があります。

手元に残す要点

• 最初に定義域と、区間の端を含むかを書きます。
• 内部の候補に加え、含まれる端点の関数値を比較します。
• 開いた端の極限は、実際に取る値かどうかを分けて考えます。
• 量の最適化では、答えを元の条件と単位に戻します。

途中式からつまずきを見分ける

増減表が合っていても答えが違うときは、端点の値が表にあるかを見てください。端点を計算したのに開いた端を最大値にしているなら、「その x を代入してよいか」を尋ねると、範囲と値の違いを確認できます。分数の微分で符号が逆になったときは、分母が定義域で正かどうかまで戻って調べます。

個別指導で確かめるなら、面積の式を作る前に横と縦をどう対応させたか、また答えの長さを元の条件に代入できるかを本人の言葉で説明してもらいます。値の大小を比べる前に候補から外れた点がないかをたどると、計算と条件のどちらでつまずいたかが見えてきます。最大値と最小値は、取りうる範囲を最後まで保って決めます。