高校数学III 三角関数の微分—基本公式と合成関数の微分を組み合わせて求める｜武蔵野個別指導塾

cosの負号、角の内側の微分、tanの定義域を例題と練習でたどり、符号の判断に役立つ三角関数の微分です。

よくあるのは定期テスト前の演習で、cosの導関数の負号を落とすという場面です。sinを微分するとcosになることは覚えていても、逆にcosからsinへ移るときに同じ調子で書くと、傾きの向きが変わってしまいます。さらに角がxそのものでない式では、角の変化も掛ける必要があります。公式を唱えるだけで終えず、どの角にどの公式を使ったかを式に残しましょう。

数学IIIの学習範囲に含まれる微分法のうち、ここでは三角関数の導関数を扱います。角は弧度法で表し、接線や増減の詳しい問題には踏み込みません。

問題を見たときの3つの型

まず、sin x、cos x、tan xをそのまま微分する型があります。符号と、tanの分母に現れるcos² xを正しく書くことが中心です。定義されない点を含む式では、答えの式が意味を持つ範囲も元の関数に合わせます。

次に、sin(3x)のように角がxから変わっている型です。外側の三角関数を微分しても、角の中身はそのまま残します。その後、角をxで微分した値を掛けます。角が減る場合は内側の微分が負になるため、外側から出た負号と区別することが必要です。

もう一つは、三角関数の和や積に係数が付く型です。和は項ごとに微分し、積は積の公式を使います。各項で角の内側まで確認してから整理すれば、符号を落とした場所を見つけやすくなります。

角の変化と導関数の対応

xを弧度法で測ると、基本公式は次のようになります。ここで′はxについての微分を表します。

(sin x)′ = cos x
(cos x)′ = -sin x
(tan x)′ = 1/(cos² x)

sinとcosは実数全体で定義されます。tan xはcos xが0となるx = π/2 + nπを除いて定義されます。nは整数です。公式の右辺も、その元の定義域で考えます。特にtanは除かれた点をまたいで定義される関数ではありません。

図1のように、sinからcosへ移る矢印と、cosから負のsinへ移る矢印を別々に見ます。tanについては、分母が0でない条件が式の一部だと考えます。

図1の対応は角がxの場合の基本です。角をuと置けば、外側の変化はsin uならcos u、cos uなら-sin u、tan uなら1/(cos² u)です。xに対する変化を求めるには、さらにu′を掛けます。例えばu = 4x + 1ならu′ = 4です。角にある定数1は微分すると0になりますが、三角関数の中から消してはいけません。

弧度法が必要なのは、基本極限 lim(h→0) (sin h)/h = 1 が弧度法の角hで成り立つからです。加法定理を使うと、sin(x + h) − sin xはsin x(cos h − 1) + cos x sin hです。これをhで割り、hを0に近づけると、(cos h − 1)/hは0、(sin h)/hは1に近づくので、sinの導関数はcos xです。同様にcosの差を作ると、-sin xが残ります。負号は暗記の飾りではなく、変化の向きから生まれます。

基本例題：角の中身を残して微分する

次の関数の導関数を、三角関数を含む正確な式で求めてください。xは実数、角は弧度法です。

y = 2sin(3x) + cos(2x)

図2のように、各項を外側と内側に分けます。係数2と、角を微分して出る3は別の役割です。

まずu = 3xと置くとu′ = 3です。sin uをuで微分したものはcos uなので、合成関数の微分により

(sin(3x))′ = cos(3x) × 3 = 3cos(3x)

です。元の係数2を掛けて、最初の項の導関数は6cos(3x)です。3xを微分して3にするのは掛ける因子の計算であり、cosの角を3に置き換える操作ではありません。

次にv = 2xと置けばv′ = 2です。cos vをvで微分すると-sin vですから、

(cos(2x))′ = -sin(2x) × 2 = -2sin(2x)

となります。和は項別に微分できるため、答えは

y′ = 6cos(3x) − 2sin(2x)

です。元の式に含まれるsinとcosは実数全体で定義され、導関数も実数全体で得られます。図2の2本の経路が、それぞれ答えの2項に対応しています。

確かめとしてx = 0を入れると、導関数の値は6です。元の式の変化を差商で見ると、y(h) − y(0) = 2sin(3h) + cos(2h) − 1です。これをhで割った最初の項は6に、後の項は0に近づきます。したがって元の関数のx = 0での変化率も6であり、代入した結果と一致します。1点の一致だけで式全体の証明にはなりませんが、係数や符号を点検する手掛かりになります。

一段階進める：tanの定義域と積

次の関数の定義域と導関数を求めてください。導関数は三角関数を含む正確な式で表し、nは整数とします。

f(x) = x tan(2x)

先に定義域を調べます。tan(2x)が定義されるにはcos(2x)が0であってはいけません。cos(2x) = 0となるのは2x = π/2 + nπ、つまりx = π/4 + nπ/2です。よって定義域は、これらの値を除いた実数です。除外する値を決めてから計算すると、分母が0になる点を答えに混ぜずに済みます。

xとtan(2x)の積なので、積の公式を使います。xの導関数は1です。一方、tanの角をu = 2xとするとu′ = 2なので、

(tan(2x))′ = 2/(cos²(2x))

です。したがって

f′(x) = 1 × tan(2x) + x × 2/(cos²(2x))
= tan(2x) + (2x)/(cos²(2x))

となります。この式は先に求めた定義域で有効です。x = 0では元の関数が定義され、答えに代入するとf′(0) = 0です。元の差商も、f(h)/h = tan(2h)で、hを0に近づけると0になります。元の関数に戻した確認と答えは一致します。

分かれ目は、式が和か積か、そしてtanを含むかどうかです。和なら項別に進めますが、この例のようにxとtanが掛かっていれば両方を順に微分した2項が必要です。tanの角が定義されない点では、どんな式変形をしても元の関数の導関数は求められません。

負号と内側を落とした答案を直す

誤答の例として、g(x) = cos(5x)の導関数を5sin(5x)とした答案を考えます。内側の5は掛けていますが、cosを微分したときの負号が抜けています。図3のように、外側から出る負号と内側から出る係数を分けて書くと、誤りの場所が見えます。

正しくはg′(x) = -sin(5x) × 5 = -5sin(5x)です。図3の左側の負号を先に書き、その後で5を掛けます。例えばx = π/10では元の角がπ/2なので、答えは-5です。元のcosの値はこの角の前後で減るため、正の傾きとした誤答は向きにも合いません。

別の失敗は、角を微分する係数を忘れてg′(x) = -sin(5x)とすることです。負号が合っていても、角はxの5倍の速さで変わります。外側の変化率に内側の5を掛け直します。角がxそのものなら内側の導関数は1ですから、省略しても値は変わりません。その慣れを別の角に持ち込むと、係数が抜けます。

角が負の係数を持つ場合は、さらに注意が必要です。例えばcos(-2x)の導関数は-sin(-2x) × (-2)です。外側と内側の負号が掛かって2sin(-2x)となります。cosの公式に負号があるから答え全体も必ず負だ、と決めず、掛け算を終えてから符号を整理します。

定義域の書き落としを点検する

tanを微分して1/(cos² x)が得られると、分母が0にならないことは答えの式からも読み取れます。ただし、先に元の関数の定義域を書く習慣があれば、途中で約分や変形をした場合にも、元の式で使えない値を保てます。分母を見て条件を出し、除いた値を元の角へ戻すという順序で調べてください。

例えばtan(2x)についてx = π/4を代入すると角はπ/2です。cos(π/2) = 0なので、この点では元の関数が定義されず、導関数の値もありません。式に形式的に代入して無限大という数を答えることはできません。一方、x = 0ならcos(0) = 1であり、公式を使える点です。使える点と使えない点の両方を元の式に戻すと、条件の向きを確認できます。

また、cosの微分で符号に迷った場合は、値を代入する角を選びます。角が0の点ではsinが0なので、正負を取り違えた2つの式はどちらも0になります。sinが0でない角を選べば違いが現れます。ただし数点の照合は誤りを探すための方法です。一般のxについては、公式と合成関数の手順を使って式を導く必要があります。

練習：式と条件を自分で追う

角はすべて弧度法です。導関数は三角関数を含む正確な式で求めてください。定義域を問う場合、nは整数とします。

1. y = 4sin(2x) − 3cos(4x)の導関数を求めてください。
2. y = tan(3x + 1)の定義域と導関数を求めてください。
3. y = x cos(3x)の導関数を求め、x = π/6での値を正確に求めてください。
4. y = cos(1 − 2x)の導関数を求めてください。誤答 -sin(1 − 2x) の不足も説明してください。

解答とたどり直し

1. 最初の項は4 × cos(2x) × 2 = 8cos(2x)です。次の項は-3 × (-sin(4x)) × 4 = 12sin(4x)です。したがってy′ = 8cos(2x) + 12sin(4x)です。x = 0で答えは8です。元の式の差商ではsinの項が8に近づき、cosの差の項は0に近づくので、この値と合います。前にある-3とcosの公式の負号の両方を残すと、正の項になる理由が見えます。

2. cos(3x + 1) ≠ 0が条件です。3x + 1 = π/2 + nπを解くと、除く値はx = (π/2 + nπ − 1)/3です。それ以外の実数が定義域で、y′ = 3/(cos²(3x + 1))です。角を微分した3を分子に掛けます。例えばx = -1/3では元の角が0で、元のtanは定義されます。差商の基本極限から変化率は3で、答えへの代入も3です。除いた値を元の角へ戻せばπ/2 + nπとなり、確かにcosが0です。

3. 積の公式でy′ = cos(3x) − 3x sin(3x)です。x = π/6では角がπ/2ですから、y′ = 0 − (π/2) × 1 = -π/2です。元の関数はその点で(π/6)cos(π/2) = 0です。変化率は積の一方を固定して変えた寄与と、もう一方を変えた寄与の和であり、前者は0、後者は(π/6) × (-3) = -π/2です。接点の値と変化率を元の積に戻して確認できます。

4. 外側から-sin(1 − 2x)、内側から-2が出るので、y′ = 2sin(1 − 2x)です。誤答には内側の導関数-2が不足しています。x = 1/2では元の角が0で、答えは0です。さらにx = (1 − π/2)/2では角がπ/2となり、正しい変化率は2です。元の角はxの増加に対して減るため、cosの角に対する変化率-1に-2を掛けた値とも一致します。0になる点だけで点検すると係数の欠落を見逃すので、0でない値も確認します。

手元に残す要点

sinの導関数はcos、cosの導関数は負のsinです。
tanの導関数は1/(cos² x)で、元の定義域を守ります。
角がx以外の式なら、その角の導関数を掛けます。
和と積を見分け、符号の整理は掛けた後に行います。

どこで止まったかを見分ける

答えの符号が違うときは、まずcosの公式の負号が書かれているかを見ます。負号があっても係数が違うなら、角を別の文字に置き、その導関数を計算できるかを確かめます。角の中身を微分した後で三角関数の中まで置き換えている場合は、外側を微分する段階と掛ける段階を別行に戻します。

個別指導で確認するなら、本人に一項ずつ「外側は何か」「角は何か」「角の変化率はいくつか」を説明してもらうと、公式の記憶と合成の手順を区別できます。tanでは除いた値を元の角へ代入し、cosが0になることまで本人の式で追います。答えを1点で確かめるときも、0になる点とならない点を選び分ければ、符号や係数の見落としを発見しやすくなります。角と変化率を分けた一行が、三角関数の微分を支えます。