高校数学III 分数関数と無理関数—定義域と漸近線からグラフの形を描く｜武蔵野個別指導塾

根号の端点と双曲線の漸近線を移動前後で照合し、描く範囲から無理関数を描きます。

よくあるのは定期テスト前の演習で、根号内が負になる側にも線を延ばしてしまう場面です。式の見た目を頼りに曲線を描くと、端点を通った後もそのまま続けたくなるかもしれません。しかし、実数の平方根は根号内が0以上のときに限って考えます。まず入力できるxの範囲を決め、その範囲で出てくるyを調べると、描いてよい部分が見えてきます。

分数関数でも同じように、分母が0になる位置を先に除きます。そこにはグラフ上の点がありません。分数の形を整えると、近づく直線と枝の位置が読み取れます。ここでは微分を使わず、基本のグラフを移動し、点と条件を照合して形を描きます。数学IIIの学習範囲のうち、関数の極限につながる分数関数と無理関数の形を扱います。

式から何を読み取るか

定期テストに向けた演習では、まず式が与えられ、定義域と値域を求めてグラフを描く型があります。例えば平方根を含む式なら、根号内が0以上という条件から、描き始める点と向きを決めます。値域はxの範囲をそのまま写すのではなく、実際にyが取る値を調べて答えます。

次に、分数式を変形し、漸近線を示してグラフを描く型があります。分子の次数が分母と同じ場合は、割り算で定数と分数に分けると移動が見えます。縦の漸近線の位置は分母が0になるxから、横の漸近線の位置は移動後の定数項から読み取ります。枝がどちらの領域にあるかは、分数部分の符号で判定します。

さらに、指定された範囲にxを限る型もあります。元のグラフを描いてから範囲外を除き、端の値を含むかどうかを確認します。端点が定義域に含まれるか、除かれた位置に近づくだけかで、値域の等号の有無が変わります。式、入力の範囲、出力の範囲を別々に書くことが、途中で迷わないための手がかりです。

移動の基準と描ける範囲

基本となる分数関数 y = 1/x は、x = 0では定義されません。xが正ならyは正、xが負ならyは負です。xが0に正の側から近づくとyは大きくなり、負の側から近づくとyは負の向きに大きくなります。また、xの絶対値が大きくなるとyは0に近づきます。直線x = 0とy = 0はこのグラフの漸近線です。漸近線はグラフが限りなく近づく直線で、軸の代わりに描く補助線としても役立ちます。

一般に y = a/(x − p) + q では、aが0でないとき、y = a/x のグラフを右にp、上にqだけ平行移動した形です。pやqが負なら、右や上への負の移動、つまり左や下への移動です。移動後の漸近線はx = pとy = qです。x − pとy − qの積がaなので、aが正なら両者は同符号、aが負なら異符号です。この符号の関係から枝を置く領域を選べます。

図1のように、無理関数では入力を根号内の条件で選び、出力を平方根の性質から選びます。例えば y = √(x − 1) + 2 なら、x − 1 ≥ 0よりx ≥ 1です。平方根は0以上なのでy ≥ 2です。端点はx = 1でy = 2となり、(1, 2)を含みます。xを増やせば根号内も増えるため、曲線は端点から右上へ延びます。

基本の y = √x を右に1、上に2移動しても同じ結果です。式のx − 1は左への移動に見えやすいところですが、根号内が0になるのはx = 1です。元の始点(0, 0)が(1, 2)に移ると考えれば、向きを確かめられます。一方、y = √(1 − x) + 2では1 − x ≥ 0よりx ≤ 1です。端点は同じでも曲線は左へ延びます。根号の内側の符号まで見て、端点の位置と延びる側を決めてください。

基本例題：分数式を移動の形にする

次の関数の定義域と値域を求め、漸近線と通る点を示してグラフを描いてください。答えの数は整数または正確な分数で表します。

y = (2x + 1)/(x − 1)

まず分母が0になるx = 1を除き、定義域はx ≠ 1です。分子を分母の定数倍と余りに分けます。

2x + 1 = 2(x − 1) + 3

したがって、定義域の各xについて

y = 2 + 3/(x − 1)

です。図2のように、これは y = 3/x を右に1、上に2移動したグラフです。移動前の2本の漸近線x = 0、y = 0は、それぞれx = 1、y = 2になります。x = 1では元の式の分母が0なので縦線上に点はありません。xが正負どちらの向きに大きくなっても分数部分は0に近づき、yは2に近づきます。

枝の位置を決めるため、式を (x − 1)(y − 2) = 3 と見ます。右辺は正なので、x − 1とy − 2は同符号です。つまりx > 1の枝はy > 2にあり、x < 1の枝はy < 2にあります。2本の漸近線で分かれた領域のうち、右上と左下を使います。

通る点も求めます。x = 2なら元の式に代入してy = 5なので(2, 5)を通ります。x = 0ならy = -1なので(0, -1)も通ります。それぞれ移動後の式に戻しても、2 + 3/(2 − 1) = 5、2 + 3/(0 − 1) = -1です。2点が枝の領域に入ることを確かめ、漸近線に近づく形で滑らかに描きます。線を漸近線上に重ねたり、2つの枝をつないだりしません。

値域はy ≠ 2です。分数部分の分子が3で0でないため、y = 2にはなりません。逆に任意のy ≠ 2に対して x = 1 + 3/(y − 2) とすればx ≠ 1で、移動後の式に代入するとそのyが得られます。したがって2以外の実数は実際に取れます。単に横の漸近線を書くだけでなく、取れない値と、それ以外を取れる理由までつなげます。

条件で分ける：根号と分母が重なるとき

次の関数の定義域と値域を求め、端の様子がわかるようにグラフを描いてください。答えの数は整数または正確な分数で表します。

y = 1/√(x − 4) + 1

根号内にはx − 4 ≥ 0が必要です。それに加えて、分母の√(x − 4)は0にできません。両方を合わせるとx − 4 > 0、つまり定義域はx > 4です。x = 4では根号自体は計算できますが、分母が0なので元の式は定義されません。この区別が、普通の平方根のグラフと分かれるところです。

x > 4では√(x − 4) > 0ですから、その逆数も正です。よってy > 1です。逆にy > 1を任意に取ると、

√(x − 4) = 1/(y − 1) x = 4 + 1/(y − 1)²

と置けます。このxは4より大きく、元の式へ戻すと指定したyになります。値域はy > 1です。

xが4に右から近づくと正の分母が0に近づき、yは正の向きに限りなく大きくなります。x < 4では定義されないので、左側からのグラフはありません。xが大きくなると分母も大きくなり、yは1より上から1に近づきます。漸近線はx = 4とy = 1です。x = 5ならy = 2、x = 8ならy = 3/2です。元の式にそれぞれ戻すと分母は1と2になり、両点を通ると確認できます。

ここで、分母に根号がない y = √(x − 4) + 1 ならx = 4も使え、端点(4, 1)を含みます。分母に入るかどうかで、等号の扱いと端の形が変わります。図を描く前に元の式へ戻って判断してください。

誤った線を条件へ戻す

誤答の例として、y = √(3 − x) のグラフを(3, 0)から右側にも延ばしたとします。x = 4を代入すると根号内は-1です。実数の範囲ではこの値の平方根を使えないため、その位置に点はありません。

原因は、端点の位置だけを見て、根号内の符号を確認せずに右向きの曲線を描いたことです。図3のように、3 − x ≥ 0を解いてx ≤ 3とし、端点から左側に描き直します。x = 3ではy = 0、x = 2ではy = 1です。後者の点も式に戻せるので、左上へ延びる向きを確認できます。値域はy ≥ 0です。

別の誤りは、分数式を変形した後、除外したxを忘れることです。例えば (x² − 1)/(x − 1) はx ≠ 1でx + 1に等しいものの、元の式はx = 1で定義されません。直線全体として描くと(1, 2)を余分に加えてしまいます。元の分母から条件を書き、変形後の直線ではその点を白丸にします。計算が簡単になっても、元の式の条件は消えません。

また、平方根の値を正負両方とする誤りにも注意します。√9は3です。方程式t² = 9の解がt = ±3であることとは別です。y = √(3 − x)に負のyを加えると、元の関数とは異なる線になります。定義域だけでなく値域も照合すると、この余分な線に気づけます。

グラフから値域を読むときは、横方向に直線を動かすこともできます。ある高さの横線がグラフと交われば、その高さは取れる値です。ただし、紙に描いた範囲の端で曲線が切れて見えても、そこで関数が終わるとは限りません。端の点が条件で定められたものか、紙の都合で切れたものかを区別します。限りなく近づく高さについても、実際にその高さに達するかを式で判定します。

漸近線を使うときは、縦線と横線の役割も区別します。縦線は入力が近づく位置を、横線は出力が近づく高さを表します。定義域に入らないxを値域から除くのではなく、yがどんな値を取るかを別に調べます。座標軸に目盛りを書いてから補助線を引くと、移動量の符号を間違えたときにも点の代入で気づけます。

自分で確かめる問題

次の4問では、指定の数を整数または正確な分数で表し、グラフを求めるときは必要な直線や点も示してください。解答は問題の後にまとめています。

1. y = (x + 5)/(x + 2) の定義域、値域、漸近線を求め、x = -1とx = -3に対応する点を使ってグラフを描いてください。
2. y = √(x + 5) − 3 の定義域と値域を求め、端点とx = -1に対応する点を使ってグラフを描いてください。
3. y = -√(6 − x) + 2 の定義域と値域を求め、端点とx = 2に対応する点を使ってグラフを描いてください。
4. y = 4/(x − 3) を、5 ≤ x ≤ 7に制限します。値域と両端の点を求めてください。

解答と式の点検

1. 分母からx ≠ -2です。分子を x + 5 = (x + 2) + 3 と分けると、y = 1 + 3/(x + 2) です。漸近線はx = -2、y = 1で、値域はy ≠ 1です。y ≠ 1ならx = -2 + 3/(y − 1)とでき、その値を元の式に戻すと指定したyを得ます。x = -1ではy = 4、x = -3ではy = -2です。元の式に代入するとそれぞれ4/1、2/(-1)となります。移動の中心(-2, 1)に対し、点は右上と左下にあります。

2. x + 5 ≥ 0より定義域はx ≥ -5です。平方根は0以上なので値域はy ≥ -3です。逆にy ≥ -3ならx = (y + 3)² − 5と置けばx ≥ -5で、元の式へ戻してyを得ます。端点は(-5, -3)、x = -1に対応する点は(-1, -1)です。根号内はそれぞれ0と4ですから、両点の座標は元の条件を満たします。端点から右上へ描きます。

3. 6 − x ≥ 0より定義域はx ≤ 6です。平方根が0以上なので、その負に2を加えた値は2以下です。値域はy ≤ 2です。逆にy ≤ 2ならx = 6 − (2 − y)²と置くとx ≤ 6で、平方根の値は2 − yとなるため元の式に戻してyを得ます。端点は(6, 2)、x = 2では(2, 0)です。根号内は4で、-√4 + 2 = 0です。端点から左下へ延びます。

4. 与えられた区間では2 ≤ x − 3 ≤ 4です。正の数の逆数は大小が逆になるため、1/4 ≤ 1/(x − 3) ≤ 1/2です。4倍して値域は1 ≤ y ≤ 2です。端点は(5, 2)と(7, 1)で、元の式でも4/(5 − 3) = 2、4/(7 − 3) = 1です。任意の1 ≤ y ≤ 2に対しx = 3 + 4/yと置くと5 ≤ x ≤ 7で、元の式へ戻してそのyを得ます。区間の両端を含むので値域にも等号が付きます。

手元に残す要点

根号内は0以上、分母は0以外にします。
平行移動では基準となる点や漸近線も動かします。
枝の位置は移動後の分数部分の符号で決めます。
値域は取れない値と取れる値の両方を調べます。

描き間違いを見分けるには

線の向きに迷ったら、端点から左右に1つずつxを選び、元の式に代入できるかを調べます。代入できない側を描いていたら、根号内または分母の条件を書き直します。定義域は正しいのに値域が違う場合は、平方根の出力が0以上であることと、外側の負号や定数による移動を追います。

個別指導で確認するなら、完成した絵だけでなく、端点を出した式、選んだ点の代入、等号を付けた理由を順に見ます。分数関数では漸近線の交点を中心に、枝の位置を符号で説明できるかを確かめます。点が合っていても枝をつないでいれば、分母が0の位置へ戻って修正します。描く前の条件と描いた後の点検を往復すれば、グラフの線にそれぞれ理由を付けられます。