高校数学III 数列の極限—収束と発散を区別して式の変形から極限値を求める｜武蔵野個別指導塾

最高次数で割る分数型の計算と、偶数番目・奇数番目に分ける判定を通して、値の大小に惑わされずに考える数列の極限です。

よくあるのは、定期テスト前の演習で、数列の項の値が大きいだけで発散と決める場面です。たとえば最初の項が大きくても、項番号が進むにつれて一定の値に近づく数列は作れます。反対に、項の値が一定の範囲に収まっていても、1つの値に近づかない数列もあります。目の前の項の大きさと、項番号を限りなく大きくしたときの変化を分けて考えましょう。

数列の極限では、nを正の整数として、nが限りなく大きくなるときの一般項を調べます。ここでは分数型の式を最高次数で整理し、収束、無限大への発散、振動を区別します。漸化式から一般項を求める方法は扱いません。数学IIIの学習範囲には、この数列を含む極限が置かれています。

どんな判断を求められるか

出方の1つは、分子と分母がnの多項式である分数の極限値を求める問題です。次数が等しければ最高次の係数に注目できますが、その理由は分子と分母を同じnのべきで割ることにあります。次数が違う場合も同じ操作から始め、残ったnが何を意味するかを見ます。

もう1つは、数列が収束するかどうかを判定する問題です。値が大きくなり続けるときは正の無限大への発散、負の方向に限りなく小さくなるときは負の無限大への発散と述べます。どちらにも当てはまらず、一定値にも近づかない場合には振動と呼びます。無限大は実数の極限値ではないため、「∞に収束」とは書きません。

さらに、偶数番目と奇数番目で異なる式になる数列もあります。このときはそれぞれの変化を別に調べます。両方の極限が異なれば元の数列は収束しません。ただし、両方を調べずに、符号が交互に変わるという見かけだけで振動と決めてはいけません。符号が交互でも、絶対値が0に近づけば全体は0に収束します。

項の大きさと近づく先を分ける

数列 aₙ が実数 α に収束するとは、nを十分大きくすると、aₙ と α の差の絶対値を、あらかじめ決めたどんな正の数よりも小さくでき、その後も小さいままであることです。このとき lim aₙ = α と書き、limの下の条件は n → ∞ です。以後、極限の記号ではこの条件を共通とします。

図1のように、1000 + (1)/(n) はどの項も1000より大きいものの、1000との差は (1)/(n) です。この差はnを十分大きくするといくらでも小さくなるので、数列は1000に収束します。1000という値が大きいことは、発散の根拠にはなりません。たとえば差を (1)/(100) より小さくしたければ、nを100より大きく取ればよく、その後の項も条件を満たします。

図1の横の線は値を表し、点は各項の位置を示します。項が1000に実際に等しくなる必要はありません。近づく先より常に上側にある場合でも収束しますし、先を通り越して両側から近づく場合もあります。有限個の初めの項が違っても、その後の項が同じであれば極限は変わりません。

一方、nはどんな正の数を指定しても、それを上回る番号以降はその数より大きくなります。したがって数列 n は正の無限大に発散します。(-1)ⁿ は偶数番目に1、奇数番目に-1を取るため、どちらか1つの値に近づきません。このように無限大への発散と振動は、いずれも有限の値への収束ではありませんが、項の動きは異なります。

分数型では、最高次数の比較が整理の目印になります。分子の次数が分母より低ければ、分母の最高次数で割った後、分子は0に近づきます。分母の最高次の係数は0でないので、商は0に収束します。分子の次数が高いときは、割った後の分子に正のべきのnが残ります。その係数の符号と分母の符号を見て、正負どちらの無限大へ向かうかを判定します。

ただし次数だけを見る前に、各項が定義されることを調べます。たとえば分母に n − 2 があれば、n = 2 で式は定義されません。問題が正の整数の全項を求めているなら、そのまま数列とは扱えません。十分大きいnに限って定義された式の極限を問う場合は、その条件のもとで整理します。分母の0を見落として計算を続ける失敗を避けるため、式を割る前に確認する習慣をつけます。

基本例題：分子と分母を同じ数で割る

正の整数 n に対して aₙ = (3n² + 5n − 2)/(2n² + n + 4) とします。数列の極限値を分数で求めてください。

分母はnが正の整数なら各項が正なので0ではありません。まず分子と分母の最高次数を調べると、どちらも2です。そこで、0ではない n² で分子と分母の各項を割ります。図2のように、割る操作は分子と分母の両方に行います。

図2の対応を式でたどると、次のようになります。

aₙ = (3n² + 5n − 2)/(2n² + n + 4)

= (3 + (5)/(n) − (2)/(n²))/(2 + (1)/(n) + (4)/(n²))

n → ∞ のとき、(1)/(n) → 0、(1)/(n²) → 0 です。したがって分子は3に、分母は2に近づきます。分母の極限2は0ではないので、商の極限の法則を使えます。

lim aₙ = (3)/(2)

答えは (3)/(2) です。単に最高次の係数を取り出したのではなく、残りの項が0に近づき、分母が0以外に近づくことを確かめています。分母の極限が0なら、このまま分母に0を代入した商を答えることはできません。

元の式とのつながりも確認します。分子から (3)/(2) 倍した分母を引くと、(7n − 16)/(2) です。よって

aₙ − (3)/(2) = (7n − 16)/(2(2n² + n + 4))

となります。この差も分子の次数が1、分母の次数が2なので0に近づきます。元の一般項が求めた値との差を縮めることを、別の形でも確かめられます。途中で分母の4を落とすと有限のnで元の式と一致しないため、極限値が偶然同じでも変形としては誤りです。

条件で分かれる場合：交互の部分を残す

正の整数 n に対し bₙ = ((4 + c(-1)ⁿ)n + 3)/(n + 2) とします。cは実数の定数です。bₙ が収束するためのcの条件を求め、そのときの極限値を整数で答えてください。

n + 2 は常に正なので、どの項も定義されています。nで分子と分母を割ると、

bₙ = (4 + c(-1)ⁿ + (3)/(n))/(1 + (2)/(n))

です。(3)/(n) と (2)/(n) は0に近づきますが、(-1)ⁿ は0に近づきません。そこでnを偶数と奇数に分けます。kを正の整数とし、偶数番目では n = 2k と置きます。

b₂ₖ = (4 + c + (3)/(2k))/(1 + (2)/(2k)) → 4 + c

奇数番目では n = 2k − 1 と置きます。k → ∞ なら 2k − 1 も限りなく大きくなるので、

b₂ₖ₋₁ = (4 − c + (3)/(2k − 1))/(1 + (2)/(2k − 1)) → 4 − c

です。元の数列が1つの値に収束するなら、偶数番目と奇数番目もその同じ値に収束する必要があります。したがって 4 + c = 4 − c、つまり c = 0 が必要です。

逆に c = 0 のときは、元の式が bₙ = (4n + 3)/(n + 2) となります。nで割れば (4 + (3)/(n))/(1 + (2)/(n)) → 4 なので、実際に収束します。条件は c = 0、極限値は4です。必要な条件を出した後、元の式に戻して十分であることまで調べるのが分かれ目です。

cが0でないとき、偶数番目と奇数番目は異なる有限値に近づきます。したがって数列は収束せず、正負いずれかの無限大にも向かいません。両方の列に限りなく大きな番号が含まれることが、異なる近づき先を比較できる理由です。

誤答を直す：交互なら必ず振動するか

誤答の例として、dₙ = (6 + (-1)ⁿ)/(n + 1) に対し、「(-1)ⁿ があるから振動する」と答える場合を考えます。分子の交互の変化だけを見て、分母も大きくなることを見落としたのが原因です。

図3のように、偶数番目の分子は7、奇数番目の分子は5です。それぞれ分母は限りなく大きくなるので、どちらの項も0に近づきます。正の整数は偶数か奇数のいずれかですから、この2つの列の項がともに0へ近づけば、元の数列も0に収束します。

図3で分子だけを見ると5と7の間を行き来しますが、数列全体は分母で割った値です。実際、偶数 n = 2k では d₂ₖ = (7)/(2k + 1) → 0、奇数 n = 2k − 1 では d₂ₖ₋₁ = (5)/(2k) → 0 です。0という同じ極限に到達するので、振動という答えを収束へ直します。

逆に、偶数番目と奇数番目が同じ値に見える数個の項を調べただけでは、収束の証明にはなりません。どちらの番号も限りなく大きくしたときの式を調べます。また、分母の極限が0になる式では、形式的に商の極限を使わず、まず分母が各項で0にならないかを確かめたうえで、式を整理して増減や符号を判定します。

練習：式と判定をそれぞれ書く

次の数列はすべて正の整数 n について考えます。収束する場合は極限値を指定の形で求め、収束しない場合は正の無限大、負の無限大、振動のいずれかを答えてください。計算の途中と判断の理由も書きます。

1. pₙ = (7n² − 3n + 1)/(4n² + 5) の極限値を分数で求めます。
2. qₙ = (2n² − n)/(n + 3) の振る舞いを判定します。
3. rₙ = (5n + 2(-1)ⁿn)/(n + 1) の振る舞いを判定します。
4. sₙ = (-3n − 8)/(n² + 2) の極限値を整数で求めます。

解答と道筋

1. 分母 4n² + 5 は正です。分子と分母を n² で割ると、

pₙ = (7 − (3)/(n) + (1)/(n²))/(4 + (5)/(n²)) → (7)/(4)

です。分母の極限は0ではありません。元の式との差は pₙ − (7)/(4) = (-12n − 31)/(4(4n² + 5)) で、この差も0に近づくため、答えは (7)/(4) です。

2. 分母 n + 3 は正です。nで割ると qₙ = (2n − 1)/(1 + (3)/(n)) となります。分子は正の無限大へ進み、分母は正の数1に近づくので、qₙ → ∞ です。元の式で qₙ = 2n − 7 + (21)/(n + 3) と割り算を戻して確かめても、最後の項は0に近づき、2n − 7 が限りなく大きくなります。

3. 分母 n + 1 は正です。nで割ると rₙ = (5 + 2(-1)ⁿ)/(1 + (1)/(n)) です。偶数番目は (7)/(1 + (1)/(n)) → 7、奇数番目は (3)/(1 + (1)/(n)) → 3 です。元の式に偶数と奇数を戻すと分子がそれぞれ7n、3nになることも確かめられます。近づく先が異なるため振動します。

4. 分母 n² + 2 は正です。n² で割ると、

sₙ = (-(3)/(n) − (8)/(n²))/(1 + (2)/(n²)) → 0

です。元の一般項は常に負ですが、0との差の絶対値は (3n + 8)/(n² + 2) で、同じように n² で割ると0に近づきます。負の側から0に近づくので、答えは整数の0です。

手元に残す要点

• 項の値が大きいことと、正の無限大への発散は別です。
• 分数型は分子と分母を同じ最高次数のべきで割り、分母の極限を確認します。
• 交互の項を含むときは偶数番目と奇数番目を調べ、近づく先を比較します。
• 条件を求めたら、その値を元の数列に戻して収束を確かめます。

途中式からつまずきを見分ける

最初の数項を見た後で手が止まるなら、「その後も指定した値との差が小さいままになるか」を言葉にしてみます。大きな項を見て発散と書いた場合には、基準となる値との差を式に表せるかを確かめます。有限個の項の印象から、番号を限りなく進めたときの判断へ切り替えるためです。

分数の変形で答えが合わない場合は、最高次数で割った後の各項を元の項に掛け戻します。分子だけを割っていないか、定数項に (1)/(n²) が残っているかも調べます。個別指導で確認するなら、答えの数字を聞くだけでなく、分母の極限が0でないことをどの行で使ったかを本人の式に沿って尋ねます。

交互の符号に迷う場合は、偶数番目と奇数番目を別々に書き、その両方が元の数列のどの項に対応するかを説明します。2つの近づき先が同じか異なるかが、収束の判定を支えます。