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数検準2級整数の進法—位取りと割り算の余りを対応させて表し方を変える｜武蔵野個別指導塾

公開 2026.11.13更新 2026.11.14武蔵野個別指導塾の特徴数検準2級単元・出題の型別

余りの順序と途中の0を残す理由を例題でたどり、位取りから読み解くのが整数の進法です。

よくあるのは、受験者が整数を新しい進法に直すために割り算を続け、余りを出た順に左から並べる場面です。計算が合っていても、最初の余りは一番右の位なので、並べ方を逆にすると別の数になり得ます。右端から位を決める仕組みを押さえれば、手順を丸暗記せずに答えを点検できます。

ここで扱うのは0以上の整数の進法の変換です。小数部分の変換や情報量の計算には立ち入りません。異なる記号の並びでも同じ個数を表せることを、位の大きさと割り算の両方から見ていきます。

どんな形で問われるか

進法の問題では、まず何進法から何進法へ変えるかを見ます。同じ「101」という並びでも、2進法なら5、3進法なら10を表します。元の進法を読み違えると、計算が丁寧でも別の数を扱うことになります。

型の一つは、2進法や3進法で書かれた整数を10進法に直す問題です。各位の数字にその位の大きさを掛けて足します。次の型は、10進法の整数を指定された進法に直す問題です。指定の数で繰り返し割り、余りを右端から置きます。さらに、異なる進法の表記を等しいとして、使える数字や未知の進法を求める型もあります。

どの型でも、答えの後ろに小さく進法を添えると読み違いを防げます。以下では (101)₂ のように、括弧の右下に進法を示します。進法の添字がない普通の整数は10進法で表します。計算した値を元の条件へ戻せるかが、最後の確認です。

位の大きさと使える数字

10進法では、右から1の位、10の位、100の位と進みます。右隣の位を10個集めると左隣の位が1個になる仕組みです。例えば 304 は、100が3個、10が0個、1が4個であり、3 × 100 + 0 × 10 + 4 と読めます。途中の0は、10のまとまりがないことと、3や4の位置を示します。

同じように、n進法では右端から位の大きさが 1、n、n × n、n × n × n と並びます。ここで n は2以上の整数です。右隣のまとまりを n 個集めると左隣のまとまり1個に繰り上がります。各位に使う数字は0から n − 1 までです。例えば4進法の1桁に4は使えません。4個あれば、次の位の1個にまとめるからです。

図1のように、4進法の (203)₄ は右から1、4、16の位を持ちます。2は16のまとまりの数、0は4のまとまりの数、3は1のまとまりの数です。よって 2 × 16 + 0 × 4 + 3 = 35 です。数字を単に足して5とするのではなく、その数字が置かれた位の大きさを掛けます。

図1の真ん中の0は計算上は0 × 4ですが、書き落とすと (23)₄ となり、表す値は11に変わります。一方、先頭に付ける0は位を追加しても値を変えません。答えは通常、先頭の不要な0を省きます。ただし数0そのものは 0 と書きます。

右から位の大きさを並べる方法は、桁が増えても同じです。例えば5進法なら、右から1、5、25、125と続きます。右から一つずれるたびに5倍されます。大きな位から考える場合も、まず位の大きさを記してから数字を対応させると、掛ける値の取り違えを防げます。

変換の前に表記を点検する

与えられた表記が、その進法の数として成立しているかを先に調べます。例えば (120)₃ は各位が0、1、2の範囲にあるので読めますが、(130)₃ の3は1桁に使えません。後者を機械的に 1 × 9 + 3 × 3 と計算すると18という値は出ますが、3進法の正しい表記として読んだことにはなりません。問題を写すときに数字と添字の両方を確認し、条件が食い違う場合は表記を確かめ直します。

0を別の進法で表すときは、割り算を始める前に答えを 0 とします。正の整数については、繰り返し割った商は元より小さくなるので、やがて0になります。1を2進法にする場合も、1 ÷ 2 = 0 余り1の行を残せば、答えは (1)₂ です。割られる数が進法の数より小さくなった最後の行でも、記録するのは余りです。商0を書き加えず、その行の余りを先頭の数字にします。

異なる進法どうしを直接直すとき、慣れないうちは一度10進法を経由できます。例えば (12)₃ は 1 × 3 + 2 = 5 なので、2進法では (101)₂ です。変換前と変換後をそれぞれ10進法で読むと同じ5です。位のまとまりを対応させる中間地点があると、どちらの側で間違えたかを調べやすくなります。

基本例題：10進法から4進法へ

問題　10進法の整数 45 を4進法で表し、進法を添えて答えてください。

4で割った余りは、4個ずつのまとまりに入らなかった1の個数です。したがって最初に求めるのは一番右の数字です。商は残りの4のまとまりの個数であり、その商をさらに4で割れば、4の位の数字が余りとして出ます。

順に割ると、次のようになります。

45 ÷ 4 = 11 余り 1
11 ÷ 4 = 2 余り 3
2 ÷ 4 = 0 余り 2

商が0になったところで止めます。最後の行も、2が4より小さいので商0、余り2という割り算です。余りを出た順に右から左へ置き、答えは (231)₄ です。図2のように、最初の1が1の位、次の3が4の位、最後の2が16の位に入ります。

なぜ逆向きになるかを、割り算の式を戻して確かめます。最初の行は 45 = 4 × 11 + 1 です。次の行の 11 = 4 × 2 + 3 を代入すると、45 = 4 × (4 × 2 + 3) + 1 になります。整理すれば 45 = 2 × 16 + 3 × 4 + 1 です。余り1は最後まで1のままで、余り3には4が掛かり、最後の2には16が掛かります。余りが得られる順番は小さい位からです。

答えを問題に戻すと、(231)₄ = 2 × 16 + 3 × 4 + 1 = 45 です。これは元の10進法の整数と一致します。加えて、使った数字2、3、1はどれも4未満です。値が一致することと、各位の数字がその進法で使えることの両方を確かめます。

商が途中で0にならないうちは、商を次の割り算に引き継ぎます。余りを次の割られる数にすると、まとまりの個数ではなく端数を繰り返し調べることになります。割り算の行ごとに「商を次へ、余りを記録」と区別すると、筆算が長くなっても追いやすくなります。

少し難しい例題：進法を求める

問題　n を2以上の整数とします。2桁の (24)ₙ が10進法の 22 と等しいとき、n を整数で求めてください。

先に数字が使える条件を確認します。数字4が1桁に現れるため、n は4より大きくなければなりません。したがって n は5以上です。もし後の計算で4以下が出たとしても、その表記は条件を満たしません。

次に位の意味から式を作ります。右端の4は1の位、左の2は n の位です。よって次のようになります。

2 × n + 4 = 22
2 × n = 18
n = 9

9は5以上なので、数字2と4は9進法の各位に使えます。実際に (24)₉ を10進法に戻すと、2 × 9 + 4 = 22 です。したがって答えは n = 9 です。式から候補が1つに決まり、その候補が数字の条件も満たすので、他の解はありません。

式を作る前に「4が使える」という条件を置くことには意味があります。例えば別の条件から n = 4 が得られた場合、計算の式に代入して等号が成り立っても、4進法の1桁として4は使えないため答えにできません。未知の進法を求める問題では、等式の解と表記の成立条件を分けて調べます。

問題が変わり、ある位に文字が置かれている場合も同じです。その文字は整数の数字として、0以上で進法の数より小さい必要があります。さらに先頭の位を指定された桁数にするなら、先頭の数字は0にできません。計算で見つけた候補を、元の表記に戻して確認します。

誤答から順番と0を直す

45を4進法へ直す基本例題で、余りを得た順に左から並べて (132)₄ と答えたとします。割り算の余り1、3、2自体は正しくても、最初の1を16の位に置いています。10進法に戻すと 1 × 16 + 3 × 4 + 2 = 30 となり、元の45には戻りません。

図3のように、余りを記録するときは最初の行に「1の位」と添えます。次の行を4の位、最後を16の位とすれば、右から1、3、2と置くことができます。正しい表記 (231)₄ を戻すと45です。逆順という言葉だけが不安なら、各余りの横に位の名前を書いてから並べ直します。

別の誤りは、余り0を飛ばすことです。例えば10進法の 17 を4で割ると、17 ÷ 4 = 4 余り1、4 ÷ 4 = 1 余り0、1 ÷ 4 = 0 余り1です。答えは (101)₄ で、16 + 0 × 4 + 1 = 17 に戻ります。真ん中の0を消した (11)₄ は 4 + 1 = 5 なので、元の数とは一致しません。

また、余りが進法の数以上になったら割り算を見直します。4で割るときの余りは0、1、2、3のいずれかです。例えば余り4と書いたら、商を1増やして余りを0に直せるため、割り算が終わっていません。商と余りを使って「割る数 × 商 + 余り」が元の数になるかも一行ずつ点検します。

練習問題

先に4問を解き、答えは後の節で確認してください。各数は指定された進法で表し、進法を添えるか、指定どおり整数で答えます。

3進法の (2102)₃ を10進法の整数で表してください。
10進法の整数 38 を2進法で表し、進法を添えてください。
10進法の整数 76 を5進法で表し、進法を添えてください。
n を2以上の整数とします。(13)ₙ が10進法の 10 と等しいとき、n を整数で求めてください。

時間を決めて取り組む場合も、答えを書いたら逆向きの計算を残します。1は得た10進法の数を再び3進法に直し、2と3は得た表記を10進法に戻します。4は数字がその進法で使えるかと、等式が成立するかの両方を調べます。途中で時間が足りなくなった場合は、空欄のまま答えを推測せず、どの位まで決まったかを記録して、練習後に残りを解き直します。