数検準2級 データの分析の四分位数—並べ替えと区切り方から箱ひげ図を読み取る｜武蔵野個別指導塾

奇数個と偶数個の区切り方を自作データで比べ、箱ひげ図の位置から散らばりを読むときは四分位数が鍵です。

よくあるのは、受験者が記録を見つけた順に眺め、そのまま中央に書かれた値を取る場面です。真ん中の場所は合っていても、記録順と大きさの順が違えば中央値は変わります。まず小さい順に並べ、何個あるかを数えるところから始めましょう。以下の数値は考え方を練習するために作った記録です。

問われる形を見分ける

四分位数の問題では、値を順番に整理して中央付近を探す作業と、その結果を図に対応させる作業がつながります。代表的な型は次の3つです。

1. 並びがばらばらの記録から、中央値と第1・第3四分位数を求める型です。個数が奇数か偶数かで中央の取り方が変わります。
2. 第1四分位数と第3四分位数の差から四分位範囲を求め、中央付近の散らばりを比べる型です。最大値と最小値の差とは別の量です。
3. 箱ひげ図の箱の端やひげの端を目盛りで読み取り、分布について言えることを選ぶ型です。箱の中にある個々の値まで読み取れるとは限りません。

どの型でも、値そのものと、並べたときの位置を区別します。たとえば「4番目」は場所を表し、「4」はデータの値です。4番目の値が必ず4とは限りません。また、同じ値が繰り返し現れても、記録の個数だけ数えます。同じ数字をまとめて1個にすると中央の位置がずれてしまいます。元の記録と並べた後の個数が一致するか、計算前に必ず照合しましょう。

中央で分けて、さらに中央を取る

中央値は、データを小さい順に並べたときの中央の値です。個数が奇数なら真ん中の1個を取ります。偶数なら中央にある2個の平均を取ります。中央値が実際の記録にない値になることもありますが、中央を表す値として正しい結果です。

四分位数を求めるときは、並べたデータを中央値の位置で下半分と上半分に分けます。個数が奇数の場合、中央の1個はどちらの半分にも含めません。偶数の場合は中央の2個の間で分け、各半分に同じ個数を入れます。その後、下半分の中央値を第1四分位数、上半分の中央値を第3四分位数とします。全体の中央値は第2四分位数とも呼びます。

図1のように、9個の値なら5番目を全体の中央値として取り除き、残る4個ずつの中央を探します。下半分も上半分も偶数個なので、それぞれ中央の2個を平均します。ここでは下半分が2、4、6、8、上半分が12、14、16、18です。第1四分位数は5、第3四分位数は15です。

図1で中央の10を上下の両方に入れると、各半分の個数と中央値が変わります。どの区切り方を使ったかを書いておけば、計算が合わないときも原因を探せます。同じ値が中央値の両側にある場合も、中央の「位置」の1個を除き、残りはそのまま数えます。

四分位範囲は、第3四分位数から第1四分位数を引いた値です。第1四分位数から第3四分位数までの幅を表し、中央付近の散らばりを比べる目安になります。一方、範囲は最大値から最小値を引いた値で、端の値に影響されます。両者の名前と引き算の相手を混同しないようにしましょう。

箱ひげ図には、最小値、第1四分位数、中央値、第3四分位数、最大値の5つを目盛りに対応させます。箱は第1四分位数から第3四分位数まで、箱の中の線は中央値です。ひげは箱の端から最小値または最大値まで伸びます。箱の幅は四分位範囲に等しく、図の横方向の位置は数の大小を示します。

箱ひげ図を2つ比べるときは、先に共通の目盛りかどうかを見ます。異なる縮尺で描かれた箱の見た目の長さをそのまま比べても、四分位範囲の大小は決められません。第1・第3四分位数をそれぞれ読み、差を計算すれば、縮尺が異なっていても幅を比較できます。

また、箱の中の線が箱の中央にないこともあります。中央値から第1四分位数までの距離と、第3四分位数から中央値までの距離が異なるときです。箱の中心を目測して中央値にするのではなく、線が示す目盛りを読み取ります。図からは人数や各記録の正確な値までは決まらない場合があるので、人数の比較や個々の値を問われたら、元のデータが与えられているかも確認します。

基本例題：記録を並べて箱にする

ある日の読書時間を、8人分、記録した順に並べると、単位は分で、18、8、22、12、16、10、20、14でした。第1四分位数、中央値、第3四分位数、四分位範囲を分単位の整数で求め、箱ひげ図の5つの位置を答えましょう。

まず記録を小さい順に並べます。個数が変わっていないかも確かめます。

8、10、12、14、16、18、20、22

8個なので、全体の中央は4番目と5番目の間です。

中央値 = (14 + 16) ÷ 2 = 15

中央値の位置で4個ずつに分けます。下半分は8、10、12、14、上半分は16、18、20、22です。どちらも中央の2個の平均を取ります。

第1四分位数 = (10 + 12) ÷ 2 = 11

第3四分位数 = (18 + 20) ÷ 2 = 19

四分位範囲 = 19 − 11 = 8

したがって答えは順に11分、15分、19分、8分です。箱ひげ図に必要な最小値は8分、最大値は22分なので、5つの位置は小さい順に8、11、15、19、22分です。

図2のように、同じ間隔の目盛りの上で5つの値を位置に移します。箱の両端は11と19、箱の中の線は15です。左のひげは8まで、右のひげは22までです。

図2の箱の幅は19 − 11 = 8分で、計算した四分位範囲と一致します。記録に戻って見ると、下半分の中央は10分と12分の間、上半分の中央は18分と20分の間です。中央値の15分も14分と16分の間にあり、8個が4個ずつに分かれています。最小と最大も並べた両端に戻して確認できます。

箱の左半分と右半分が同じ幅でも、それぞれの区間にある実際の値が等間隔とは限りません。図が示すのは5つの位置であり、各人の読書時間をすべて復元する図ではないからです。数値を答えるときは、図から読み取れる位置と元の記録が必要な情報を区別します。

少し難しい例題：同じ中央値でも幅を比べる

2組の工作時間を、それぞれ7人分記録しました。単位は分です。A組は17、9、13、15、11、19、21、B組は15、7、19、13、23、11、17です。各組の中央値と四分位範囲を分単位の整数で求め、中央付近の散らばりを比べましょう。

まずA組を小さい順に並べると、9、11、13、15、17、19、21です。7個の中央は4番目の15です。この15を除くと下半分は9、11、13、上半分は17、19、21です。それぞれ3個の中央を取り、第1四分位数は11、第3四分位数は19となります。四分位範囲は19 − 11 = 8分です。

B組は7、11、13、15、17、19、23の順です。中央の4番目は15で、そこを除いた下半分は7、11、13、上半分は17、19、23です。第1四分位数は11、第3四分位数は19なので、四分位範囲は19 − 11 = 8分です。

両組の中央値は15分、四分位範囲は8分で、中央付近の幅は同じです。ただしA組の範囲は21 − 9 = 12分、B組の範囲は23 − 7 = 16分です。端まで含めた幅はB組のほうが大きくなります。中央値と四分位範囲が同じだからといって、記録のすべてが同じとは言えません。

元の記録に戻しても、両組とも15分より前後に3個ずつ並びます。また、下側の3個の中央が11、上側の3個の中央が19であることをそれぞれ確かめられます。奇数個のときに中央の15を上下へ入れると、半分の個数が4個になり、別の値を計算してしまいます。まず中央の1個を印で分けることが分岐点です。

誤答から並べ直す

5回の移動時間が、記録順に14、6、18、8、10分だったとします。中央値を整数の分単位で求めるとき、記録順の3番目を見て18分とする答えは誤りです。5個の中央が3番目という位置の判断は合っていますが、大きさの順に並べる前にその位置を選んだことが原因です。

図3のように、まず6、8、10、14、18と並べ直します。3番目は10なので、中央値は10分です。実際に10より小さい記録は6と8の2個、大きい記録は14と18の2個で、中央にあることも確かめられます。

図3の誤答は、場所の数え方を直す前に、対象の並びを直す必要があります。反対に並べ替えが正しいのに答えが違う場合は、個数の数え落としや偶数個の中央2個を平均し忘れていないかを見ます。値の重複を消した場合は元の記録と個数を照合し、消した分を戻します。

箱ひげ図の読み間違いにも同じように原因があります。箱の端を最小値と読んだ場合、ひげの先まで目を移します。第3四分位数と最大値が一致する記録では右のひげが長さ0になることもありますが、両者は別の意味を持つ位置です。図の形だけで名前を決めず、5つの値と目盛りの対応を確認します。

練習問題

次の記録は練習用に作ったものです。時間を計る場合も、答えの単位と指定された形まで書いてみましょう。答えと解き方は問題の後にまとめています。

1. 6鉢の植物の高さは、記録順に24、12、18、30、15、21 cmです。中央値、第1四分位数、第3四分位数、四分位範囲をcm単位で求め、小数が必要な場合は小数で答えましょう。
2. 9個の袋の重さは、小さい順に3、5、5、7、9、9、11、13、15 gです。中央値、第1四分位数、第3四分位数をg単位の整数で求めましょう。
3. ある記録の箱ひげ図で、最小値、第1四分位数、中央値、第3四分位数、最大値は順に4、8、12、18、26点です。四分位範囲と範囲を点単位の整数で求め、箱の幅とひげを含む全体の幅に対応させましょう。
4. 5回の作業時間は小さい順に2、4、6、8、x分です。xは8以上の整数で、範囲が10分です。xと中央値を分単位の整数で求めましょう。

答えと解き方

1. 並べ替えると12、15、18、21、24、30です。中央値は (18 + 21) ÷ 2 = 19.5 cm、第1四分位数は下の3個の中央で15 cm、第3四分位数は上の3個の中央で24 cmです。四分位範囲は24 − 15 = 9 cmです。中央値の19.5 cmは元の6個では18と21の間に位置します。値が記録に含まれなくても、中央の2個の平均なので正しい答えです。

2. 中央の5番目が9 gです。これを除いた下半分は3、5、5、7、上半分は9、11、13、15です。第1四分位数は (5 + 5) ÷ 2 = 5 g、第3四分位数は (11 + 13) ÷ 2 = 12 gです。同じ5や9も別々の記録として数えると、上下に4個ずつ残ります。

3. 四分位範囲は18 − 8 = 10点、範囲は26 − 4 = 22点です。箱の端の差が10点で、ひげの両端の差が22点です。中央値12点を使って差を取るのではなく、問われた2つの幅の端を選びます。

4. xは8以上なので、最小値は2、最大値はxです。x − 2 = 10よりx = 12です。並びは2、4、6、8、12となり、中央値は3番目の6分です。12 − 2 = 10分で元の範囲に戻り、12は8以上という条件も満たします。

覚えておくこと

• 小さい順に並べ、重複も記録の個数として数えます。
• 中央値で上下に分け、奇数個なら中央の1個を除きます。
• 下半分と上半分の中央値が第1・第3四分位数です。
• 四分位範囲は第3四分位数 − 第1四分位数です。
• 箱とひげの端を目盛りと対応させます。

つまずいた行から戻る

個別に解答を見るときは、まず元の記録と並べ替えた行を照合します。個数が違うなら重複や書き落としを探し、個数が同じでも順番が違うなら隣同士を比べます。次に中央を示した印を見て、奇数個の1個か偶数個の2個かを確認します。

第1・第3四分位数だけが違うときは、上下に分けた行へ戻ります。全体の中央値を上下に含めたのか、それぞれの中央2個を平均し忘れたのかを見分けられます。箱ひげ図だけが違う場合は、5つの数値と目盛りの位置を一本ずつ対応させます。並べた位置の確認が、四分位数を読む出発点です。