中3定期テスト 数学の三平方の定理—ワークの直角と斜辺を確認して長さの式を立てる｜武蔵野個別指導塾

斜辺の見分け方や対角線の式、誤答の直し方をたどり、答案の点検に生かす三平方の定理です。

よくあるのは、学年末のワークで斜辺に印を付けず計算する場面です。数字を見つけるとすぐに二乗して足し、答えが合わずに計算を繰り返してしまいます。まず範囲表の単元とページを開き、授業で扱った型をワークの該当箇所と照合しましょう。小テストの答案に残る直角の印や途中式も見直し、提出条件を確かめたうえで、どこから直すかを決めます。

範囲表とワークで出方を分ける

三平方の定理の問題では、まず直角三角形の辺の長さを求める型を探します。斜辺を求める問題と、直角をはさむ辺を求める問題では、同じ定理を使っても最後の計算が違います。ワークに両方があれば、それぞれの問題番号の横に求める辺を書き出してください。答えが合った問題も、式のどちら側に斜辺の二乗を置いたかまで見ます。

次に、3辺の長さから直角三角形かどうかを調べる型を探します。これは定理の逆を使う問題です。直角が与えられている問題と区別し、最も長い辺の二乗と残りの辺の二乗の和を比較します。さらに長方形の対角線を求める型が範囲にあれば、対角線で区切られた直角三角形を図に取り出します。ここでは平面の図形を扱い、空間の図形には広げません。

学期ごとの範囲は学校の資料に従って埋めます。二期制なら学期の欄を前期・後期に読み替えます。空欄に自分の資料の内容を写すと、未習の型を練習する前に、提出すべき箇所を見つけられます。

ワークの間違いを「辺の選択」「二乗の計算」「平方根の整理」に分けると、直す順番がはっきりします。小テストで式は正しいのに根号を整理し損ねたなら、辺の選択からやり直す必要はありません。逆に式の最初で斜辺を取り違えていたら、その後の計算が正しくても最初の図に戻ります。

直角の向かい側にある辺を探す

直角三角形で、直角をはさむ2辺の長さを a、b、直角の向かい側の辺の長さを c とします。c が斜辺です。三平方の定理は a² + b² = c² と表せます。辺の長さを足す式ではなく、それぞれの長さを二乗して比べる式です。斜辺は直角三角形の最も長い辺ですが、図の向きや紙の上での傾きで決めるのではありません。

図1のように、直角の印から向かい側へ目を移すと斜辺が見つかります。三角形を回転させても、斜辺は同じ辺です。ノートに図を写したら直角の頂点に小さな四角を描き、その向かいの辺に印を付けます。斜辺の二乗を式の片側に置いてから、残りの2辺の二乗を反対側に書くと、数を代入する前に関係を点検できます。

斜辺を求めるときは、直角をはさむ2辺の二乗を足します。一方、直角をはさむ辺を求めるときは、斜辺の二乗から、わかっているもう一方の辺の二乗を引きます。引き算は別の公式を覚えた結果ではなく、同じ等式を変形した結果です。求める長さを文字にして、どの辺が斜辺かを先に示すことが、計算の順序を決めます。

定理の逆は、3辺の長さについて、最も長い辺の二乗が残りの2辺の二乗の和に等しければ、その三角形が直角三角形であるというものです。直角の印がない図では、見た目が直角に見えても印を勝手に付けません。最長の辺を選び、等式が成り立つかを確かめてから、その向かいの角について結論を述べます。

基本例題：斜辺ではない辺を求める

直角三角形 ABC は角 A が直角です。斜辺 BC は 13 cm、辺 AB は 5 cm です。辺 AC の長さを、単位を付けて求めます。図2のように直角の向かいの BC に注目してから、未知の辺を x cm と置きます。

角 A をはさむ辺は AB と AC です。向かいの BC が斜辺なので、三平方の定理に代入すると次の式になります。

5² + x² = 13²

ここで 5² は 25、13² は 169 です。したがって 25 + x² = 169 となります。両辺から 25 を引くと、x² = 144 です。二乗すると 144 になる数には正と負がありますが、x は辺の長さなので正の値を取り、x = 12 です。答えは 12 cm です。

最後に元の図へ戻します。直角をはさむ辺を 5 cm と 12 cm にすると、それぞれの二乗の和は 25 + 144 = 169 で、斜辺 13 cm の二乗と一致します。求めた辺は斜辺より短く、辺の役割にも合います。この確認では、式が計算できたかに加え、問題文で与えられた辺に数を戻しているかを見ます。

小テストで 5² と 13² を足してしまった場合は、計算を消す前に、どちらを斜辺と読んだか答案の図に書きます。斜辺の数を足す側へ置いたことが原因なら、図に印を付け直し、等式を立てる段階からやり直します。引き算の計算だけを直しても、次の図で同じ取り違えが残ります。

平方根が整数にならない場合も、長さは正であることに注意します。問題に根号を使う指定があるときは、平方根を勝手に小数へ直しません。単位が付いた問題では、数の計算を終えてから答えに単位を添えます。長さの二乗を計算している途中と、長さそのものを答える最後を区別しましょう。

少し難しい例題：対角線と定理の逆

長方形 PQRS で、PQ = 8 cm、QR = 15 cm とします。対角線 PR の長さを単位付きで求め、続いて辺の長さが 8 cm、15 cm、17 cm の三角形が直角三角形かどうかを理由付きで答えます。

長方形の角 PQR は直角です。対角線 PR を引くと、三角形 PQR ができます。直角をはさむ辺は PQ と QR、斜辺は直角の向かいの PR です。対角線の長さを y cm とすると、8² + 15² = y² です。64 + 225 = 289 より y² = 289 となり、長さは正なので y = 17 です。対角線は 17 cm です。

元の長方形に戻して、8² + 15² = 17² を確かめます。64 + 225 と 289 は等しいので、求めた対角線は与えられた縦と横の条件に合います。対角線を辺とする直角三角形を選ばず、長方形の4辺をそのまま式に入れると、三平方の定理の形になりません。まず対角線が作る三角形を指でたどってください。

後半は問い方が逆です。直角が与えられたのではなく、3辺の長さが与えられています。最も長い辺は 17 cm です。その二乗 289 と、残りの2辺の二乗の和 64 + 225 は等しいので、三平方の定理の逆から、この三角形は直角三角形です。直角は 17 cm の辺の向かいにあります。長方形の計算で直角を根拠に長さを求めたことと、3辺の等式を根拠に直角を判定したことを分けて答案に残します。

等しくならないときは、定理の逆を使って直角だと結論できません。さらに、直角三角形なら定理の等式が成り立つため、等式が成り立たない三角形は直角三角形ではないと判断できます。最も長い辺を比べる側に選ぶ理由は、直角三角形ならその辺が斜辺になるからです。

誤答を図に戻して直す

基本例題で「5² + 13² = x²」と書いた答案を考えます。計算すれば x² = 194 ですが、この式は x を斜辺として扱っています。問題文では角 A が直角で、向かいの BC が 13 cm と指定されています。図3のように、まず直角と斜辺を対応させると、式の置き間違いが見えます。

原因は、知らない辺をいつも斜辺と決めてしまうことです。修正すると 5² + x² = 13² です。ここから x² = 144 とし、長さが正であることを使って 12 cm と答えます。答えを元の辺に戻し、5² + 12² = 13² となることまで確かめます。

別の誤りとして、正しい式から x² = 144 までは進み、x = 144 と書くことがあります。この場合の原因は斜辺の選択ではなく、二乗された値と長さの混同です。144 を二乗しても 144 には戻らないことを確認し、二乗すると 144 になる正の数を探します。さらに、計算途中で 169 − 25 を間違えた場合は、引き算を筆算し直してから平方根に進みます。誤りの場所ごとに戻る地点を変えると、必要な練習が選べます。

練習問題

次の問題は授業で扱った型を確認するための自作問題です。長さは正とし、長さを求めるときは単位を付け、根号を含む場合は簡単な形で答えてください。先に4問を解き、直角の印と式を残してから解答を見ましょう。

1. 角 D が直角の三角形 DEF で、DE = 6 cm、DF = 8 cm です。斜辺 EF の長さを求めます。
2. 角 G が直角の三角形 GHI で、斜辺 HI = 10 cm、GH = 4 cm です。辺 GI の長さを求めます。
3. 長方形 JKLM で JK = 7 cm、KL = 24 cm です。対角線 JL の長さを求めます。
4. 3辺が 7 cm、9 cm、12 cm の三角形は直角三角形ですか。最も長い辺に注目し、理由とともに答えます。

答えと解き方

1. EF を p cm と置きます。直角の向かいが EF なので、6² + 8² = p² です。36 + 64 = 100 より p = 10 で、答えは 10 cm です。元の図で 6² + 8² = 10² となり、与えられた2辺と一致します。求めた辺が斜辺であることも、長さの大小から確認できます。

2. GI を q cm とすると、4² + q² = 10² です。q² = 100 − 16 = 84 なので、q = √84 = 2√21 です。答えは 2√21 cm です。元の条件に戻すと、4² + (2√21)² = 16 + 84 = 100 = 10² です。根号を含んでも、二乗して与えられた斜辺に戻るか確かめられます。

3. 角 JKL が直角なので、対角線 JL を r cm とすれば 7² + 24² = r² です。49 + 576 = 625 ですから、正の長さは r = 25 です。答えは 25 cm です。長方形の隣り合う辺と対角線に戻し、7² + 24² = 25² を確かめます。対角線を含む三角形を取り出したかが式の入口です。

4. 最も長い辺 12 cm の二乗は 144 です。残りの2辺の二乗の和は 7² + 9² = 49 + 81 = 130 で、144 と等しくありません。直角三角形なら最長の辺が斜辺となり二乗の等式が成り立つため、この三角形は直角三角形ではありません。3辺は三角形を作れる長さで、7 + 9 > 12 も満たしています。図の見た目ではなく与えられた長さに戻して判断します。

覚えておくこと

• 直角の向かい側が斜辺です。
• 直角をはさむ2辺の二乗の和は斜辺の二乗です。
• 逆を使うときは最長の辺と残りの2辺を比べます。
• 答えを元の辺に戻し、等式と単位を確かめます。

解き直しの順序を決める

斜辺を求める問題と直角をはさむ辺を求める問題を並べ、両方の図で直角の向かいを指してみます。同じ辺の位置に同じ記号を置けなくても構いません。式に入れる前に、どの数が斜辺に対応するかを言葉で説明できることを確かめます。図が横向きになっても、直角の印との関係は変わりません。

途中式が合っているのに最後の答えが違う場合は、二乗した値から長さへ戻すところに線を引きます。根号の整理が必要な問題では、整理する前と後をそれぞれ二乗して同じ値に戻るか見ます。答え合わせで違いを見つけたときは、正答を写す前に、最初に変わった行を探してください。原因が見つかれば、次の問題ではその行を特に注意して書けます。

直角かどうかを判定する問題では、最長の辺を選んだ理由と、二乗の値を比べた結果を両方書きます。等しい場合は定理の逆、等しくない場合は直角三角形なら成り立つ等式が崩れることを根拠にします。判定の言葉だけでは、辺の選び方や計算の間違いを後から見つけにくくなります。

提出前に答案を見直す

提出前には、範囲表とワークの該当箇所を照合し、丸付けや直しの条件を確認します。解き直しでは元の答えを隠し、図の直角に印を付けるところから自分で進めます。小テストの誤答と見比べ、斜辺を選ぶ前に止まるのか、正しい式からの計算で止まるのかを分けて記録します。

個別指導で答案を見るときは、直角の印、斜辺の指定、二乗の等式、平方根を選んだ理由、元の条件への戻しを順に確認します。お子さまが答えを言えた場合も、どの辺を斜辺と判断したか説明できるかを尋ねると、偶然の正解と手順の定着を見分けやすくなります。直角から辺を選ぶ一手が、長さの式を支えます。