中3定期テスト 数学の関数y=ax²—ワークの表とグラフを往復し変域の見落としを直す｜武蔵野個別指導塾

関数y=ax²の表と放物線を照らし合わせ、0をまたぐ区間では頂点と両端を比べて、yの変域を不等号で表せるようにします。

よくあるのは、範囲表の変域を見て、xの両端の値しか調べない場面です。ワークの答え合わせで端の計算が合っていても、途中にある0を見落とすと、yの範囲は正しく決まりません。範囲表のページと提出条件を開き、ワークの表やグラフ、小テストの答案を並べて、どこで値の動きが変わるかを探します。

範囲表とワークで出方を仕分ける

学校の範囲表に書かれた単元とページを、ワークの問題番号に結び付けます。次の表は、手元の資料を見て埋めるためのものです。授業で扱った型と提出の条件も書き込み、未習の内容を勝手にテスト範囲に加えないようにします。二期制なら学期の欄を前期・後期に読み替えます。

まず、式にxの値を代入して表を埋め、座標を打つ型を探します。次に、与えられた点から比例定数aを求める型や、2点の間の変化の割合を求める型を見ます。さらに、xの変域からyの変域を求める型を分けます。同じ式が使われても、表は個々の値、変化の割合は2点間の増加量、変域は範囲内の値全体を扱います。

ワークで丸が付いた問題にも途中式を残せているかを見ます。小テストで符号を落としたなら、答えの横に「負の数を二乗してからaを掛ける」と書き直します。表を埋められてもグラフの軸を読み違えた場合は、計算を繰り返す前に座標の順序を直します。範囲表と小テストを結ぶと、何を先に解き直すかが具体的になります。

小テストの誤りから表と座標へ戻る

関数y=ax²では、xの値を二乗し、その結果にaを掛けるとyが決まります。aは比例定数で、x²に掛かる数です。例えばaが2なら、xが-2のとき、まず(-2)²=4、次にy=2×4=8です。-2²と括弧なしに書くと計算の対象を読み違えやすいため、負の値を代入するときは括弧を付けます。

座標は横方向のx、縦方向のyの順に(x, y)と書きます。図1のように、y=2x²ではxが-2と2のどちらでもyは8です。同じ高さの点がy軸をはさんで並び、原点を通る曲線になります。xが0のときyも0なので、原点はこの関数のグラフの頂点です。

図1の左右の点は、xの符号が違っても二乗した値が等しいことを表しています。y軸に関して対称という性質を使えば、片側の点を打った後、反対側にも対応する点を探せます。ただし対称だからといって、軸の目盛りを読まずに点を置いてはいけません。xとyの尺度が異なる用紙でも、それぞれの目盛りで位置を決めます。

aが正ならグラフは原点から上へ開き、aが負なら下へ開きます。xが0に近づくとx²は小さくなり、0から離れると大きくなります。aが負のときは、その大小が負の数を掛けることで逆になる点に注意します。a=0ではyは常に0で、グラフはx軸そのものです。通常、放物線として考える問題ではaが0でない条件を確認します。

基本例題：点から式を作り、表と変域を読む

自作問題です。関数y=ax²のグラフが点(2, 8)を通ります。aを求め、xが-2、-1、0、1、2のときのyを表にし、-2≦x≦1におけるyの変域を不等号で答えましょう。

点を通るとは、その点のxとyを式に同時に代入して等式が成り立つことです。x=2、y=8を代入すると、8=a×2²です。二乗を先に計算して8=4a、両辺を4で割るとa=2となります。式はy=2x²です。確かめとしてx=2を戻すとy=2×4=8となり、指定された点に戻ります。

表の値も順に求めます。x=-2ではy=2×(-2)²=8、x=-1ではy=2×(-1)²=2です。x=0ではy=0、x=1ではy=2、x=2ではy=8です。符号の異なる-1と1、-2と2でそれぞれyが一致しています。

図2のように、指定されたxの区間は-2から1までです。その間には0が含まれます。xが-2から0へ近づくとyは8から0へ下がり、0から1へ進むとyは0から2へ上がります。表は整数の点を示し、グラフはその間の値も含めた動きを示しています。

一番小さいyは頂点の0です。一番大きいyは両端の8と2を比べて8です。したがって答えは0≦y≦8となります。端のx=-2とx=1も含む記号なので、対応する端の値も含みます。x=0も範囲内で実際にy=0となり、x=-2でy=8となるため、両端の等号を確かめられます。

表だけを見ると整数のxしかないように感じますが、変域にはその間の小数や分数も含まれます。曲線が途中で原点まで下がり、再び上がることを図2で追うと、端の値2を最小値とする誤りを避けられます。点を結ぶときは折れ線にせず、原点付近でも滑らかな曲線として描きます。

少し難しい例題：変化の割合と下に開くグラフ

自作問題です。関数y=-x²について、xが-1から2まで増加するときの変化の割合と、-1≦x≦2におけるyの変域を求めましょう。変化の割合は整数で、変域は不等号で答えます。

まず2点の値を求めます。x=-1ではy=-(-1)²=-1、x=2ではy=-(2²)=-4です。xの増加量は2-(-1)=3、yの増加量は-4-(-1)=-3です。変化の割合は、yの増加量をxの増加量で割るので、-3÷3=-1となります。

検算では、始めのy=-1に、変化の割合-1とxの増加量3の積を加えます。-1+(-1)×3=-4となり、終わりのyへ戻ります。変化の割合が負であることは、この2点を比べたとき終わりのyが低いという意味です。途中で常に下がり続けるという意味ではありません。

次に変域を考えます。a=-1なのでグラフは下へ開き、x=0で最も高いy=0を取ります。指定された区間に0が入るため、この値が最大値です。端のyは-1と-4で、小さい方は-4です。したがって-4≦y≦0となります。x=2で-4、x=0で0を実際に取ることも代入で確認できます。

変化の割合と変域は使う情報が違います。前者は指定された2点の差を使うので、間の頂点の値を計算に混ぜません。後者は途中の値も含めるので、0を通るか調べます。問題文の「から」「まで」と不等号に線を引き、求めるものを欄外に書いてから計算すると混同しにくくなります。

誤答を直す：両端の値が合っていても

基本例題の-2≦x≦1で、端のyが8と2だから「2≦y≦8」と答えたとします。端の代入は合っていますが、最小値を選ぶ段階で区間の途中を落としています。図3のようにx=0を区間に加えて調べると、y=0が答えの範囲から漏れているとわかります。

直すときは、まずxの区間を数直線やグラフの横軸に印を付けます。次に0を含むかを見て、含むなら頂点のyも候補にします。上に開く場合は頂点が最小、下に開く場合は最大です。残る側は両端の値を比べて決め、等号の有無を元の条件と照合します。

0を含まない区間なら、頂点を答えの候補に入れません。例えば区間が正の側に限られる場合、xが大きくなるほどx²が大きくなることを使います。負の側では、xが大きくなるにつれて0へ近づくため、x²は小さくなります。さらにaが負ならyの大小は逆になります。端の数を大きさ順に並べただけでは、yの順序は決まりません。

計算したyが誤っている場合は、変域の判断に進む前に代入へ戻ります。例えば負のxの二乗で負の値を書いたなら、同じ数を2回掛けることを確認します。一方、点の計算は正しいのに範囲を間違えた場合は、どのxを調べる必要があるかをグラフ上で説明します。誤りの場所を分けると、必要な解き直しが見えます。

確かめ問題

次の問題は自作です。まず問題を続けて解き、答え合わせのときに代入やグラフへ戻してください。

1. y=3x²で、x=-3のときのyを整数で求め、対応する点の座標を書きましょう。
2. y=ax²のグラフが点(-2, -12)を通ります。aを整数で求め、式を書きましょう。
3. y=2x²で、xが1から3まで増加するときの変化の割合を整数で求めましょう。
4. y=-2x²で、-3≦x≦1のときのyの変域を不等号で表しましょう。

答えと解き方

1. y=3×(-3)²=3×9=27です。座標は(-3, 27)です。xを先、yを後に書きます。座標を式へ戻すと27=3×9となり、元の条件を満たします。
2. -12=a×(-2)²=4aなのでa=-3です。式はy=-3x²です。x=-2を戻すとy=-3×4=-12となり、指定された点を通ります。yの負号をaの負号として正しく残せたかも見ます。
3. x=1のときy=2、x=3のときy=18です。増加量はxが3-1=2、yが18-2=16なので、変化の割合は16÷2=8です。始めのyに8×2を加えると18となり、終わりの値へ戻ります。
4. グラフは下に開き、区間に0を含むため最大値はy=0です。両端ではx=-3でy=-18、x=1でy=-2ですから、最小値は-18です。答えは-18≦y≦0です。x=-3とx=0をそれぞれ代入し、両端の値が区間内で実際に取れることを確認します。

問題3でyの値を18と求めても、それは変化の割合ではありません。始めと終わりの差を取り、xの増加量で割ったかを見ます。問題4で-18と-2だけを比べた場合は、x=0が条件に含まれることを図に書き入れてから解き直します。問題2でaを正とした場合は、二乗の結果が正であることと、yが負であることを式に戻して確認します。

解き直しの手順を答案に残す

グラフを描く問題では、最初に原点と軸の名前を確かめます。表のxの値を横軸で探し、そこから対応するyの高さへ進んで点を付けます。点を打った後に座標を逆向きに読み、表の組へ戻るか確かめると、縦と横を取り違えた点を見つけられます。左右の対応が崩れた場合は、曲線を引き直す前に各点の座標を点検します。

比例定数を求める問題では、与えられた点のxが0かどうかにも目を向けます。原点はどのaでも通るため、原点だけからaを決めることはできません。原点以外の点が与えられたら、xの二乗で割って求め、元の点を代入し直します。求めた数が負ならグラフは下へ開くので、与えられた点がx軸より下にあることとも照合できます。

変域で等号が付かない条件が授業で扱われた場合は、端の点を含むかどうかを図に書き込みます。端を含まなくても、その端に近づく値の範囲を考える必要があります。0が区間の内部にある場合は頂点を取れますが、0が含まれない端である場合は頂点の値そのものを取れません。まず範囲表にある授業の型を確認してから練習します。

計算と図が一致しないときは、答えを消す前に、どの座標からずれたかに印を付けます。その印を手掛かりに、代入の行と軸の目盛りを順に見直します。

覚えておくこと

• 座標はx、yの順に代入し、aを求めます。
• 変化の割合はyの増加量をxの増加量で割ります。
• 変域に0が含まれるときは頂点の値も調べます。
• グラフの開く向きと端の値を比べ、等号を確認します。

提出前のワークに戻る

ワークの該当ページで、表の空欄、座標、曲線、変域の答えを順に照合します。提出条件に途中式や丸付けの指定があれば、それに沿って整えます。小テストで間違えた問題は答えを隠して解き直し、どの行から前回と違うかを比べます。

個別指導で答案を見るなら、点の座標を代入した行、増加量の引き算、0を含む区間を図に示した印を確認します。表の値から違うのか、値は合うのに範囲を選び損ねたのかで、次に練習する箇所が変わります。保護者がお子さまの答案を見るときも、正誤の印だけでなく、頂点を調べた形跡があるかを一緒にたどれます。端と途中の両方に目を向ければ、放物線の変域は表とグラフで説明できます。