共通テスト物理基礎の運動方程式｜実験表から力と加速度の関係を確かめる｜武蔵野個別指導塾

台車の表で質量や合力をそろえる行を選び、摩擦と向きを含めて加速度を求めます。判断の軸は運動方程式です。

よくあるのは、放課後に台車の実験表を開き、力と加速度を比べたいのに、どの行を選べばよいか迷う場面です。数字が大きい行どうしを選んでも、質量まで変わっていると、加速度の違いを力の違いだけで説明できません。まず同じ条件を探し、次に変えた量と結果を読みます。台車に働く力が複数あるときは、押す力をそのまま式に入れず、向きを考えた合力を使います。

表のどこを比べるか

資料を読むときには、次の3つの型を区別します。表の数値はすべて説明のために作ったもので、実際の測定結果ではありません。

1. 質量が同じ行を選び、合力と加速度の関係を調べます。合力が同じ向きに2倍、3倍になるとき、加速度も同じ向きに2倍、3倍になるかを見ます。
2. 合力が同じ行を選び、質量と加速度の関係を調べます。質量が2倍になると加速度は半分になります。同じ力なら重い台車ほど速度の変化が小さくなります。
3. 押す力と摩擦力が別に示されているとき、両者の向きをそろえて合力を求めます。そのうえで質量と加速度の関係に戻します。

どの型でも、最初に比較する行を特定します。2つの条件が同時に変わった行は、力だけ、または質量だけの効果を切り分けるための比較には使えません。ただし、その行でも、数値がそろっていれば運動方程式が成り立つかは調べられます。「比較できない」と「計算できない」は別の判断です。

台車に働く力を1つにまとめる

物体に働く力の向きを考えて足し合わせたものが合力です。台車とおもりをまとめて1つの物体とみるなら、質量にはその両方を含め、そのまとまりの外から働く力を数えます。台車単体を調べるときは台車単体の質量と、台車に働く力を対応させます。

図1のように水平な床の上で台車を右に押し、左向きに摩擦力が働くとします。右を正とすれば、合力は「右向きの押す力 − 左向きの摩擦力」です。重力は下向き、床から台車への垂直抗力は上向きに働きます。台車が上下に加速しない条件ではこの2つはつり合うので、水平方向の合力には含めません。

図1のように、加速度の向きは合力の向きと一致します。質量を m、正方向の合力を F、加速度を a とすると、運動方程式は F = ma です。F が負なら a も負になり、正に選んだ方向と反対向きに加速します。速度と加速度は別の量なので、右向きに進む台車が左向きに加速して速さを減らすこともあります。

力の単位は N、質量は kg、加速度は m/s² です。1 N は 1 kg の物体に 1 m/s² の加速度を生じさせる合力です。表に g が使われていたら kg に直し、力の欄が押す力か合力かを見てから式に入れます。摩擦が無視できるという条件なら、水平な押す力がそのまま水平方向の合力になります。

基本例題：同じ条件で行を選ぶ

水平な床を動く台車を水平に右へ押します。床との摩擦と空気抵抗は無視でき、上下方向には加速しないとします。次の表はこの条件で作った資料です。質量は台車と載せたおもりの合計です。加速度は右向きを正として示しています。

質量を一定にして力と加速度を比べる行、力を一定にして質量と加速度を比べる行をそれぞれ選びます。さらに C の加速度と E の合力を式から求め、いずれも小数と単位で答えます。図2のように、一定にする列を先に見ると、行の選択と計算を分けられます。

まず質量の列を見ると A、B、C はいずれも 1.2 kg です。力は 0.6 N、1.2 N、1.8 N と変わり、加速度は 0.5 m/s²、1.0 m/s²、1.5 m/s² です。A を基準に力が2倍、3倍になると、加速度も2倍、3倍になっています。摩擦を無視できるため、この力は合力です。

次に力の列を見ると B、D、E はいずれも 1.2 N です。D の質量 0.6 kg を基準にすると、B は2倍、E は4倍です。加速度は D の 2.0 m/s² に対して B が半分の 1.0 m/s²、E が4分の1の 0.5 m/s² です。力が一定のときの逆比例を、この3行で比べられます。

C は摩擦を無視するので F = 1.8 N、m = 1.2 kg です。F = ma に代入して、順に次のようになります。

1.8 = 1.2 × a

a = 1.8 ÷ 1.2 = 1.5 m/s²

表の 1.5 m/s² と一致します。逆に 1.2 kg と 1.5 m/s² を掛けると 1.8 N になり、元の押す力に戻ります。正の値なので向きは右です。

E では m = 2.4 kg、a = 0.5 m/s² です。F = ma に入れると、合力 F = 2.4 × 0.5 = 1.2 N です。右向きの合力 1.2 N を質量 2.4 kg で割ると 0.5 m/s² に戻り、表の加速度と一致します。図2の B は両方の比較に使えますが、どちらの比較でも一定にする量は異なります。

A と E は加速度がともに 0.5 m/s² でも、質量と力が両方違います。この2行を使って、力だけを変えた結果や質量だけを変えた結果は判断できません。同じ加速度を生むには、質量に応じて合力も変わることは F = ma から確認できます。

摩擦のある表では何を引くか

別の水平な床で、質量 2.0 kg の台車が右向きに滑っています。台車を右向きに一定の力で押し、床は台車に左向き 1.0 N の摩擦力を及ぼします。空気抵抗は無視し、上下方向には加速しません。押す力と加速度を表した自作資料を考えます。

P と Q の水平方向の合力をそれぞれ小数と単位で求め、加速度の比が押す力の比と等しいかを答えます。さらに、台車がまだ右向きに滑っている間に押す力を右向き 0.4 N に変えた場合の加速度を、右を正とした小数と単位で求めます。摩擦力はその間も左向き 1.0 N とします。

P の合力は 3.4 − 1.0 = 2.4 N、Q の合力は 5.0 − 1.0 = 4.0 N で、ともに右向きです。運動方程式に戻すと P は 2.4 ÷ 2.0 = 1.2 m/s²、Q は 4.0 ÷ 2.0 = 2.0 m/s² となり、表の値を再現します。逆に質量と表の加速度を掛けると 2.4 N と 4.0 N です。それぞれに左向きの摩擦力の大きさ 1.0 N を足すと、元の押す力 3.4 N と 5.0 N に戻ります。

Q の加速度を P で割った比は 2.0 ÷ 1.2 = 5/3 です。一方、押す力の比は 5.0 ÷ 3.4 = 25/17 なので等しくありません。合力の比なら 4.0 ÷ 2.4 = 5/3 となり、加速度の比と一致します。等しい質量で比例する相手は、摩擦を引いた後の合力です。

押す力を 0.4 N にした場合、右を正とした合力は 0.4 − 1.0 = -0.6 N です。よって a = -0.6 ÷ 2.0 = -0.3 m/s² です。2.0 × (-0.3) = -0.6 N と戻せ、摩擦力 -1.0 N と押す力 +0.4 N の和とも一致します。台車が右向きに滑っている間は左向きに加速し、速さが減ります。停止後の摩擦はこの条件だけでは決めず、ここで計算を終えます。

誤答を表と力の向きへ戻す

誤答の例として、上の P の押す力 3.4 N を合力とみなし、3.4 ÷ 2.0 = 1.7 m/s² とする場合があります。原因は、押す力を台車に働く唯一の水平な力と扱ったことです。図3のように、左向きの摩擦 1.0 N を差し引き、2.4 ÷ 2.0 = 1.2 m/s² と直します。

図3のように、答えの加速度に質量を掛けた値が、矢印を向き込みで足した合力に戻るかを調べます。誤答の 1.7 m/s² では 2.0 × 1.7 = 3.4 N となり、摩擦を含む合力 2.4 N に戻りません。途中の数が表のどの量を表すかを書けば、間違いの位置を見つけられます。

もう1つの誤りは、左向きの加速度を必ず「左向きに進む」と読むことです。正負が示すのは選んだ軸に対する加速度の向きです。速度の向きは別に条件から読みます。右向きに進行中で加速度が負なら、直ちに左へ動くのではなく、まず右向きの速さが減ります。

確かめる4問

以下はそれぞれ独立した自作の条件です。小数で答える指定のある量は、示された値をそのまま正確に扱い、単位を付けてください。各問では、計算結果が元の条件に戻ることも確かめます。

問1　押す力を変える

水平な床の上の質量 1.5 kg の台車を右に押します。摩擦と空気抵抗は無視でき、上下に加速しません。右向きの力を 0.9 N とした行と 1.5 N とした行について、加速度をそれぞれ右向きの小数と単位で求めます。後者の力は前者の 5/3 倍です。加速度の比も同じか答えます。

問2　質量を変える

水平な床の上で、摩擦と空気抵抗を無視できる台車を右向き 2.4 N で押します。上下に加速しません。台車と荷物の合計質量が 0.8 kg、1.6 kg、3.2 kg の3通りの加速度を、右向きの小数と単位で求めます。1.6 kg の場合を基準に、3.2 kg の場合の加速度が何倍かも分数で答えます。

問3　摩擦を見落とした計算

水平な床を右向きに滑る質量 2.5 kg の箱を右向き 4.5 N で押します。左向きの摩擦力は 1.0 N、空気抵抗は無視でき、上下に加速しません。ある人は加速度を右向き 1.8 m/s² と答えました。この答えが条件に合うか判定し、正しい加速度を右向きの小数と単位で求めます。

問4　向きのある合力

水平な床を左向きに動く質量 0.6 kg の物体に、右向き 0.7 N の力と左向きの力が働いています。他の水平方向の力は無視でき、上下に加速しません。加速度は左向き 1.5 m/s² です。左向きの力の大きさを小数と単位で求めます。また、右を正とすると加速度を +1.5 m/s² と書いた答案は条件に合うか判定します。

答えと、条件に戻す確かめ

問1

合力は押す力に等しく、a = F ÷ m です。最初の行は 0.9 ÷ 1.5 = 0.6 m/s²、次の行は 1.5 ÷ 1.5 = 1.0 m/s² で、どちらも右向きです。比は 1.0 ÷ 0.6 = 5/3 となり、力の比と一致します。

それぞれの答えに質量を掛けると 1.5 × 0.6 = 0.9 N、1.5 × 1.0 = 1.5 N です。摩擦を無視する条件で元の力に戻るので、行の値と向きがそろっています。

問2

同じ合力 2.4 N を各質量で割ります。0.8 kg では 2.4 ÷ 0.8 = 3.0 m/s²、1.6 kg では 2.4 ÷ 1.6 = 1.5 m/s²、3.2 kg では 2.4 ÷ 3.2 = 0.75 m/s² です。いずれも右向きです。3.2 kg の加速度は 1.6 kg の場合の 0.75 ÷ 1.5 = 1/2 倍です。

逆に質量を掛けると、0.8 × 3.0、1.6 × 1.5、3.2 × 0.75 はいずれも 2.4 N です。各行で同じ右向きの力を与えた条件に戻ります。質量を2倍にしたのに加速度も2倍とした答案は、合力まで4倍に変えてしまいます。

問3

1.8 m/s² は条件に合いません。右を正にすると合力は 4.5 − 1.0 = 3.5 N です。したがって a = 3.5 ÷ 2.5 = 1.4 m/s² で、右向きです。

答えから合力へ戻すと 2.5 × 1.4 = 3.5 N です。左向きの摩擦 1.0 N を補えば、右向きに押す力は 3.5 + 1.0 = 4.5 N と元の条件に戻ります。誤答の 1.8 m/s² は合力を 4.5 N とした値で、摩擦を引いていません。

問4

右を正にすると、加速度は -1.5 m/s² です。合力は 0.6 × (-1.5) = -0.9 N です。左向きの力の大きさを L N とすると、0.7 − L = -0.9 なので、L = 1.6 N です。

戻して確かめると、0.7 − 1.6 = -0.9 N、これを 0.6 kg で割ると -1.5 m/s² です。左向きという条件に一致します。+1.5 m/s² と書いた答案は右向きの加速度を意味するため、条件に合いません。左向きに動いているという速度の情報と、左向きの加速度の情報を別々に読み取ります。

手元に残す4行

同じ質量の行では、加速度は合力に比例します。
同じ合力の行では、加速度は質量に反比例します。
向きを決めて合力を出し、F = ma に入れます。
答えを元の力と加速度に戻して確かめます。

途中のどこで止まったかを見つける

行の選択で止まるなら、一定にしたい列に印を付け、その値が一致する行を探します。数値を選べても式が立たないなら、対象を台車単体にしたのか、荷物を含むのかを確認します。対象の質量と、その対象に働く力がずれていれば、式の形が正しくても答えは合いません。

個別指導で確かめるときは、押す力と合力に別の印を付け、摩擦の向きと正方向を図に書いた後、本人がどの数を引いたかを説明します。答えの符号に迷う場合は、右を正とした式から左向きの合力を再現できるかを一緒に追います。表の比較条件と力の向きをそろえると、運動方程式の数字には意味が戻ります。