中2定期テスト 平行四辺形—ワークの証明で性質と成立条件を使い分けて書く｜武蔵野個別指導塾

結論を理由にした証明を見直し、対角線の中点という仮定から平行四辺形の成立条件へつなぎます。

よくあるのは、ワークの理由欄に結論と同じ文を書いてしまう場面です。「平行四辺形である理由」を問われているのに、「平行四辺形だから」と書いても、まだ結論を支える材料がありません。範囲表と授業ノートを開き、どの性質を使い、どの条件を示す問題なのか、提出欄の矢印を引き直してみましょう。

提出欄を出発点にする

まず範囲表の単元名と、授業プリント、ワーク、小テスト、提出物の対応を手元で整理します。学期の欄があれば自分の範囲表の記載を写し、未習の内容は今回の準備から外します。例えば「対角線を使う証明」の横に、ワークの該当箇所と、理由を書き直したい問題を控えます。範囲や提出の条件は自分の学校の資料で確かめます。

問題を見直すときは、辺や角の大きさを求める型、平行四辺形の性質から等しい部分を示す型、四角形が平行四辺形になると証明する型に分けます。印を付けた誤答にも、仮定の読み落とし、合同の対応違い、結論を理由にした循環という分類を付けます。解答を提出できたことと、何も見ずに根拠をつなげられることは別です。訂正後には図と問題文だけを見て、理由欄をもう一度埋めてみます。

たとえば提出欄に「ABとCDが平行。なぜならABCDは平行四辺形だから」と書いたとします。問題の仮定が「ABCDは平行四辺形」であれば、この理由は使えます。しかし結論が「ABCDは平行四辺形」で、まだそれを証明していないなら使えません。同じ言葉でも、仮定か結論かで使える時点が変わります。

性質カードと成立条件カードを分ける

平行四辺形は、2組の対辺がそれぞれ平行な四角形です。すでに平行四辺形とわかっている図から、2組の対辺がそれぞれ等しい、2組の対角がそれぞれ等しい、対角線がそれぞれの中点で交わるという性質を使えます。対角線が交わる点をOとすれば、AOとOC、BOとODがそれぞれ等しくなります。どちらの対角線も、もう一方によって2等分されます。

一方、まだ正体のわからない四角形については、成立条件を使います。2組の対辺がそれぞれ平行、2組の対辺がそれぞれ等しい、2組の対角がそれぞれ等しい、対角線がそれぞれの中点で交わる、1組の対辺が平行でその長さが等しい、のいずれかを示せば平行四辺形といえます。1組の対辺が平行で、別の1組が等しいだけでは、最後の条件にはなりません。同じ1組について平行と等しい長さの両方が必要です。

図1のように、性質カードは平行四辺形から出発し、成立条件カードは平行四辺形に到着します。カードに書く文は覚え、問題では矢印の出発点が仮定や既に示した事実にあるか説明します。見た目が平行四辺形らしいことは根拠になりません。

長方形、ひし形、正方形も平行四辺形の仲間です。長方形は4つの角が直角、ひし形は4つの辺が等しく、正方形はその両方を満たします。長方形の対角線は等しく、ひし形の対角線は垂直に交わります。平行四辺形の対角線は互いに2等分しますが、いつも等しい長さや垂直になるわけではありません。特別な条件を問題文で確認してから使います。

対角線の情報が片方しかないときも注意します。たとえばAO = OCだけでは、OがACの中点だとわかっても、OがBDの中点とは限りません。もう一方のBO = ODがあるかを問題文で探します。図に同じ印が見えない場合も、印の有無だけで決めず、文章の仮定を確かめます。

辺についても同じです。2組の辺が等しい条件では、隣り合う辺ではなく対辺を組にします。四角形の名前がABCDなら、ABの対辺はCD、BCの対辺はDAです。頂点を順にたどって向かい合う辺を探すと、図を回転して描かれていても分類できます。条件が足りなければ無理に結論を書かず、どの組が不足しているかを記録します。

基本例題：対角線の中点から結論へ

次の問題と図は自作です。四角形ABCDの対角線ACとBDはOで交わり、AO = OC、BO = ODです。四角形ABCDが平行四辺形であることを証明しなさい。図の点はA、B、C、Dの順に四角形の頂点です。

図2のように、対角線が交わる点をはさんで、等しい長さが2組あります。証明欄には、仮定から合同を経て辺の平行を示す方法を書けます。

△AOBと△CODにおいて、

AO = CO、BO = DO（仮定）。

∠AOB = ∠COD（対頂角）。

よって、2組の辺とその間の角がそれぞれ等しいので、△AOBと△CODは合同です。

したがって、対応する角は等しいので、∠BAO = ∠DCOです。この2つは直線ABとCDに直線ACが交わってできる錯角です。錯角が等しいので、ABとCDは平行です。

同じ合同から、∠ABO = ∠CDOです。これは直線ABとCDの平行を再確認する角で、もう1組の辺の平行を示すには別の角が必要です。そこで、△AODと△COBを見ます。

AO = CO、DO = BO（仮定）、∠AOD = ∠COB（対頂角）です。2組の辺とその間の角がそれぞれ等しいので、△AODと△COBは合同です。対応する角より∠DAO = ∠BCOとなり、錯角が等しいのでADとBCは平行です。

以上より、2組の対辺がそれぞれ平行なので、四角形ABCDは平行四辺形です。仮定の等しさに戻ると、2本の対角線が互いに中点で交わっています。したがって、成立条件を直接使って「対角線がそれぞれの中点で交わるので」と短く証明することもできます。授業で使ってよいとされた条件を確かめ、指定された方法があればそれに従います。

合同の順序はAとC、OとO、BとDが対応するように書いています。対応する角を書くときは、角の真ん中の文字が頂点です。等しい辺を並べた後、間の角がその2辺にはさまれているかを確認すると、合同条件の取り違えを防げます。

条件が増えた例題：長方形まで進む

四角形EFGHの対角線EGとFHはPで交わり、EP = PG、FP = PH、EG = FHです。四角形EFGHが長方形であることを証明しなさい。対角線は四角形の内部で交わるものとします。

まずEP = PG、FP = PHから、対角線はそれぞれの中点で交わります。よって四角形EFGHは平行四辺形です。ここまでで平行四辺形の性質を使えるようになりますが、それだけでは長方形とは限りません。残ったEG = FHを使って、角が直角になることを示します。

△EFGと△FEHにおいて、EFは共通です。平行四辺形の対辺なのでFG = EHです。またEG = FHは仮定です。3組の辺がそれぞれ等しいので、△EFGと△FEHは合同です。対応する角から∠EFG = ∠FEHです。

平行四辺形の対辺FGとEHは平行です。直線EFを横切る同じ側の内角の和は180°なので、∠EFGと∠FEHの和は180°です。等しい角の和が180°ですから、それぞれ90°です。残る2つの角も平行四辺形の対角としてそれぞれ90°となり、4つの角が直角なのでEFGHは長方形です。

答えを条件へ戻すと、長方形は平行四辺形なので対角線は互いに2等分し、さらに対角線は等しい長さです。これは仮定と矛盾しない確認です。ただし、長方形の性質を最初から使って長方形を証明すると循環します。先に平行四辺形を示し、追加の条件で直角へ進む順序が要点です。授業で「対角線の長さが等しい平行四辺形は長方形」と学んでいれば、その成立条件を使う書き方もあります。

理由欄の循環を直す

基本例題の提出欄に「ABCDは平行四辺形。理由はABCDが平行四辺形だから」と書いた場合を考えます。結論をそのまま理由に移したので、AO = OCとBO = ODがなぜ必要だったのかが見えません。図3のように、まず結論の前に空欄を設け、そこに対角線が互いの中点で交わるという事実を入れます。

図3の修正では、等しい線分の組から中点を読み取り、成立条件につなぎます。中点とは、線分上にあり両端からの距離が等しい点です。線分上にあることは、対角線がOで交わるという問題の設定から確認します。等しい長さを書いただけで、別の線分の中点と取り違えないようにします。

別の失敗は、平行四辺形の性質を使う前に、図の見た目から平行と決めることです。まず問題文に平行とあるか、錯角などで示したかを探します。また、合同な三角形を書けても対応順が違えば、その後の角の等しさがずれます。頂点を指で追い、同じ順に辺と角を対応させてから理由欄を書き直します。時間内に最後まで書けなかった場合も、途中の事実と根拠を残し、次に必要な成立条件を余白に記録すると、解き直す場所が明確になります。

練習問題

次の問題はすべて自作です。図は各自で頂点を順に結び、問題文の条件を書き込んでください。証明問題は、仮定と結論を分け、使った性質や成立条件を理由として書きます。

1. 平行四辺形JKLMで、対角線JLとKMの交点をNとします。JN = 4 cm、KM = 14 cmのとき、NLとKNの長さをそれぞれcmで答え、理由を書きなさい。
2. 四角形QRSTで、QRとSTは平行で、QR = STです。四角形QRSTが平行四辺形であることを、成立条件を使って証明しなさい。
3. ひし形UVWXの対角線UWとVXの交点をYとします。UY = 5 cm、VY = 12 cmのとき、UWとVXの長さをそれぞれcmで答え、対角線の交わる角の大きさを答えなさい。
4. 四角形ABCDで、AB = CD、BC = DAです。対角線ACを引き、△ABCと△CDAの合同を利用して、ABCDが平行四辺形であることを証明しなさい。

答えと解き方

1. NL = 4 cm、KN = 7 cmです。平行四辺形の対角線は互いに2等分するため、JN = NL、KN = NMです。元の条件に戻すとJLは4 + 4 = 8 cm、KMは7 + 7 = 14 cmとなり、与えられた長さと合います。

2. QRとSTは四角形QRSTの1組の対辺です。この1組について、QRとSTは平行で、QR = STです。1組の対辺が平行でその長さも等しい四角形は平行四辺形なので、QRSTは平行四辺形です。結論から平行を取り出したのではなく、与えられた2つの条件から結論へ進んでいます。

3. UW = 10 cm、VX = 24 cm、交わる角は90°です。ひし形は平行四辺形なので対角線は互いに2等分し、WY = UY、XY = VYです。また、ひし形の対角線は垂直に交わります。10 cmと24 cmの半分はそれぞれ5 cmと12 cmで、条件に戻ります。辺がすべて等しい性質と、対角線が等しい長さという別の性質を混同しないようにします。

4. △ABCと△CDAにおいて、AB = CD、BC = DAは仮定、AC = CAは共通です。3組の辺がそれぞれ等しいので、△ABCと△CDAは合同です。対応する角より∠BAC = ∠DCA、∠BCA = ∠DACです。それぞれ錯角が等しいのでABとCD、BCとDAは平行です。よって2組の対辺がそれぞれ平行な四角形ABCDは平行四辺形です。結論から見ても2組の対辺がそれぞれ等しく、元の仮定と整合します。

次の1問で確かめること

仮定と結論を先に分け、性質は既にわかった図形から使います。 成立条件は、結論に必要な組がそろったか確かめて使います。 合同では頂点の対応をそろえ、等しい角と平行の根拠をつなぎます。

解き直しを相談につなげる

範囲表と解き直したワークを並べ、どの理由欄で止まったかを見ます。条件の名前が出ない場合はカードを分類し、名前は出ても使う方向が逆なら仮定と結論に印を付けます。合同の後で止まる場合は、対応する頂点と錯角を図に書き込みます。保護者の方がお子さまの答案を見るときも、正答だけでなく、根拠の出発点を指させるかを見ると、次の相談が具体的になります。

個別指導で確かめるなら、提出欄の元の文と訂正後の文、授業で認められた成立条件を持ち寄ります。途中が空いた問題は、どこまで仮定から言えたかを説明し、次の1行に必要な事実を一緒に探せます。根拠の矢印が結論へ届くと、証明欄の空白は自分の言葉で埋められます。