数検3級 標本調査の総数の推定—印を付けた個数の比から全体を見積もる練習｜武蔵野個別指導塾

粒を戻して混ぜる理由と、再抽出で印が見つからない場合を通じて、条件付きの見積もりとして総数を推定します。

よくあるのは、容器から粒を取り出して印を付けた後、戻さずに次の抽出を行ったのに、最初に印を付けた個数を使って全体との比を作ってしまう場面です。印のある粒が容器に入っていなければ、次に取り出した粒の中にその印は現れません。計算の前に、粒が今どこにあるかを追いましょう。ここでは自作の容器と粒を題材に、再抽出の比と、それが使える条件を考えます。

粒の数を見積もる3つの問い

1つ目は、印を付けた粒を戻し、よく混ぜてから取り出した標本の結果を使い、容器内の総数を推定する型です。容器全体での印の割合と、再抽出した標本での印の割合がほぼ等しいと考えて式を作ります。標本の割合はたまたま上下するので、得られるのは確定した総数ではなく見積もりです。

2つ目は、手順がその式の前提を満たすかを判断する型です。印の粒を戻し忘れた場合、混ぜ方に偏りがある場合、印が消える場合では、標本の割合を全体の割合と同じとみなす根拠が弱くなります。数が与えられていても、先に操作を確認します。

3つ目は、再抽出で印が見つからない場合です。印の個数を分母にして計算しようとしても、0では割れません。総数が無限だと決めることもできません。この結果だけからはこの比の式で有限の推定値を出せない、と判断します。

問題で与えられた「ほぼ等しい」という仮定の下の計算と、実際の調査でその仮定がどれくらい成り立つかは別の問いです。粒を数える計算が合っていても、容器の底に印の粒が固まっていれば、その計算結果を頼りにしにくくなります。

印の割合を対応させる

調べたい容器内の粒全体が母集団で、そのうち再び取り出して調べた粒が標本です。最初に取り出した粒には印を付け、すべて戻してから十分に混ぜます。印は再抽出まで消えず、新たな印も付かず、粒の出入りもないものとします。そうすれば、再抽出の直前の容器には、最初に印を付けた個数と同じ個数の印付きの粒があります。

図1のように、全体の印付きの割合と標本の印付きの割合を対応させます。全体の印付きの個数を A 個、総数を N 個、再抽出した個数を B 個、そのうち印付きの個数を C 個とします。N はまだわからない数です。

図1の左は全体、右はその一部です。対応する分子はどちらも印付きの個数で、分母はそれぞれの集まりの総数です。したがって、割合がほぼ等しいという仮定は A / N ≒ C / B と表せます。C が0でないとき、この比から N ≒ A × B / C です。記号の ≒ は、およそ等しいことを示します。

式をただ覚えるより、分子と分母を言葉に戻すと間違いに気づきやすくなります。例えば A / B は、異なる段階で数えた2つの個数の比であり、容器全体の印の割合ではありません。また、C は印なしの数ではありません。B 個から印なしの数を引いて印付きの数を求める問題では、引き算をしてから式に入れます。

よく混ぜて各粒が選ばれやすくなるようにしても、標本の割合は全体の割合と必ず一致するわけではありません。標本が変われば印付きの個数も変わりえます。正確な総数が必要なら、全数を数える方法も考えます。ここでの式は、標本から全体を推し量るためのものです。

戻して混ぜた粒から求める

例題。容器に同じ形の粒が入っています。最初に40個取り出して、それぞれに消えない印を付け、40個とも容器に戻してよく混ぜました。次に50個を無作為に取り出すと、そのうち印付きは10個でした。粒の出入りはなく、印の割合が全体と標本でほぼ等しいとして、容器内の総数を整数で推定してください。

図2のように、最初の40個は戻してあるので、再抽出の直前に容器内にある印付きの粒は40個です。再抽出した50個のうち印付きは10個です。総数を N 個と置き、対応する割合を順に書きます。

容器全体の印付きの割合は 40 / N です。

再抽出した標本の印付きの割合は 10 / 50 です。

割合がほぼ等しいので、40 / N ≒ 10 / 50 です。

10 / 50 = 1 / 5 です。

40 / N ≒ 1 / 5 なので、N ≒ 40 × 5 = 200 です。

したがって総数は約200個と推定します。図2の右側は50個の中に10個の印付きがあったことを示し、容器全体に10個しか印付きがないという意味ではありません。

答えを場面へ戻します。仮に全体が200個なら、印付き40個の割合は40 / 200 = 1 / 5です。標本でも10 / 50 = 1 / 5なので、問題で使った割合の仮定と一致します。200個は最初に印を付けた40個以上であり、再抽出の50個を取り出せる数でもあります。ただし、この一致は実際の総数が200個と証明されたことにはなりません。

印なしの数から進むとき

例題。別の容器から60個の粒を取り出し、すべてに印を付けて戻し、よく混ぜました。次に80個を無作為に取り出すと、印のない粒が68個でした。印は消えず粒の出入りもないものとし、印の割合が全体と標本でほぼ等しいとして総数を整数で推定してください。

ここで与えられた68個は印付きではありません。再抽出の80個は印付きと印なしに分かれるので、印付きは 80 − 68 = 12 個です。容器全体の印付きは、戻した60個です。総数を N 個として、60 / N ≒ 12 / 80 と置きます。

12 / 80 = 3 / 20 ですから、N ≒ 60 × 20 / 3 = 400 です。約400個と推定します。400個のうち印付きが60個なら、割合は60 / 400 = 3 / 20です。再抽出では12 / 80 = 3 / 20となり、条件に戻しても対応しています。400は60以上で、80個の再抽出も可能です。

判断の分かれ目は、問題文が数えているのが印付きか印なしかという点です。68をそのまま印付きとして使うと、別の割合を作ってしまいます。一方、最初の60個を戻していない場合は、同じ式をそのまま作れません。計算前に「戻す」「混ぜる」「印付き」の3点を順に確かめましょう。

割合が一致するとは限らない理由

同じ容器で手順を守っても、再抽出される粒の組は毎回同じとは限りません。先ほどの60個に印を付けた容器で、80個中12個という結果を得たとしても、別の抽出では印付きが11個や13個になる可能性があります。その場合、同じ60個を使っても計算される総数は変わります。どの結果が実際の総数に近いかは、標本の個数だけからは決められません。

印を付けた数が正しく記録されていることも必要です。例えば印を付けた後に1個を机の下に落としたまま戻すと、記録した数と容器内の印付きの数が食い違います。再抽出の前に、容器に戻した印付きの数を数え直す必要があります。さらに、印を付けることで粒がくっついたり、他の粒と区別して選ばれたりすると、よく混ぜても各粒の選ばれやすさがそろうとは限りません。

計算の答えが整数にならない条件も考えられます。その際は問題の指示に従って丸め、丸める前の値を残します。粒の総数は整数ですが、割合を近似して計算した値まで必ず整数になるわけではありません。小数の推定値を得たことと、小数個の粒が実在することは別です。丸めた後に割合を戻すと、丸めた分の差が出ることにも注意します。

戻し忘れの誤答を直す

最初に30個に印を付けた後、それらを容器に戻さず、残った粒をよく混ぜて40個取り出したとします。取り出した40個に、最初の印を付けた粒はありません。このとき「全体の印付きは30個、標本では印付きが0個だから、30 / N ≒ 0 / 40と置いて総数を求める」という答えは誤りです。

図3のように、印付きの30個は容器の外にあります。右側の標本の0個は、容器に印がない手順から当然生じた数です。印を付けた30個が容器内にあるものとして割合の分子に使うことはできません。また0を分母にして総数を計算することもできません。

直すには、最初の30個を全部戻し、印が消えないことを確かめ、よく混ぜてから改めて無作為に抽出します。その標本で印が何個見つかったかを数えて初めて、対応する割合を作れます。戻して混ぜても標本中の印付きが0個なら、今回の式では推定値を出せません。抽出をやり直すなど追加の情報を集めますが、次は必ず印が出るとは限りません。

別の失敗は、印を戻しても混ぜずに表面から粒を取ることです。印付きが表面に集中していれば、標本の割合が高くなり、総数を小さく見積もりやすくなります。逆に印付きが底に偏れば、大きく見積もりやすくなります。どちらに偏ったか不明なら、誤差の向きも決められません。印の有無で粒の選ばれやすさが変わらないようにし、容器全体から取り出せる方法を考える必要があります。

練習問題

いずれも自作の容器内の粒を考えます。問題1と2では、最初に印を付けた粒を全部戻して十分に混ぜ、印は消えず粒の出入りもなく、全体と再抽出標本の印の割合がほぼ等しいものとします。総数は整数で推定してください。

1. 容器から24個取り出してすべてに印を付け、戻しました。次に60個を無作為に取り出すと、印付きが8個でした。総数を推定してください。
2. 別の容器から45個取り出してすべてに印を付け、戻しました。次に70個を無作為に取り出すと、印なしが61個でした。総数を推定してください。
3. ある容器から20個に印を付けて全部戻し、よく混ぜました。次に30個を無作為に取り出したところ、印付きは0個でした。この結果だけから割合の式で総数を推定できるか、理由とともに答えてください。
4. 別の容器から36個に印を付けましたが、戻さずに残りから48個を取り出しました。この48個を使い、容器に36個の印付きがあるとした割合の式で総数を推定できるか、理由と手順の直し方を答えてください。

練習問題の答えと確かめ

1. 総数を N 個とすると、24 / N ≒ 8 / 60 です。したがって N ≒ 24 × 60 / 8 = 180 で、約180個です。全体を180個とすると印付きの割合は24 / 180 = 2 / 15、標本では8 / 60 = 2 / 15です。180個は印付きの24個以上で、60個の標本も取れるので、場面の個数の条件に合います。

2. 標本中の印付きは70 − 61 = 9個です。総数を N 個として、45 / N ≒ 9 / 70 です。N ≒ 45 × 70 / 9 = 350 となり、約350個です。350個中45個の割合は9 / 70で、標本中の9個の割合と一致します。標本の残りは70 − 9 = 61個で、印なしの条件にも戻ります。

3. この式では推定できません。20 / N ≒ 0 / 30 と対応させても、印付きの標本数0で割って N を出すことはできないからです。印を戻してよく混ぜた場合でも、偶然0個になることはあります。0個だった事実から容器に印付きが存在しないと断定せず、追加の抽出などで情報を得る必要があります。

4. 指定の式では推定できません。印付き36個は容器の外にあり、残りの48個を取り出すときの容器内の印付きは0個だからです。36個を全部戻してよく混ぜ、改めて無作為に抽出して印付きの個数を数えます。その個数が0でなければ割合を対応させられますが、標本の結果による誤差は残ります。

覚えておくこと

容器全体の印付き / 総数と、標本の印付き / 標本の総数を対応させます。 印を付けた粒は戻し、消えない印を保ち、十分に混ぜて抽出します。 標本中の印付きが0個なら、この比から総数を計算できません。 答えは条件に基づく推定値であり、確定値ではありません。

どこで止まったかを見分ける

式を作れないときは、容器全体と標本を別々の枠に書き、各枠の総数と印付きの個数を指さしてみます。印なしの数を分子に置いていたら、標本の総数から引く段階へ戻ります。式は作れるのに結果が場面に合わない場合は、戻した個数以上の総数か、標本の個数を取り出せるかを点検します。

個別指導で確かめる箇所は、操作の順序を言葉で説明できるか、標本の0個を割り算に入れずに扱えるか、答えを割合に戻せるかです。保護者がお子さまの説明を聞くときも、数値の正誤に加えて、印の粒が容器の内と外のどちらにあるかを尋ねると、つまずいた段階が見えます。再抽出の条件を押さえると、推定値の意味まで読めます。