数検3級 相似の条件—対応する頂点をそろえて三角形の根拠を書く練習｜武蔵野個別指導塾

頂点の順から辺と角の対応を読み、平行線を使う証明と辺の比を使う証明を練習します。合同との違いも確かめられます。

よくあるのは、2つの三角形が相似だとわかった受検者が、頂点の順を変えたまま辺の比を立ててしまう場面です。図の向きが違うと、見た目で近い位置にある辺を対応させたくなります。けれども、対応は置かれた位置ではなく、等しい角や辺の比から決まります。相似の条件を選び、頂点を並べてから証明を書く手順を練習しましょう。

何を手がかりに相似を判断するか

三角形の相似を問う問題には、角から判断する型、辺の比から判断する型、辺とその間の角を組み合わせる型があります。どの型でも、最初に見るのは2つの三角形のどの部分が対応するかです。相似だとわかった後に順番を適当に並べると、正しい根拠があっても結論の記号や比がずれてしまいます。

角の型では、2組の角がそれぞれ等しいことを示します。図形の条件から等しい角を探し、それぞれの頂点を対応させます。例えば平行な直線から得られる同位角や錯角、交わる直線の対頂角を使う場合があります。等しく見えるからという理由ではなく、与えられた条件と角の性質を根拠にします。

辺の型では、対応する3組の辺の比がすべて等しいことを示します。各比を同じ順序で作り、約分して比較します。2組の比だけが等しくても、残る辺や角について情報がなければ、この条件は使えません。もう一つの型では、2組の辺の比と、その2辺にはさまれた角がそれぞれ等しいことを示します。等しい角が辺にはさまれているかどうかが分かれ目です。

ここでは三角形の相似条件と対応、短い証明を扱います。面積比や立体の体積比を求める計算には進まず、まず相似といえる根拠を言葉にします。

頂点の並びは対応の地図

相似な図形は、形が同じで、大きさが同じとは限らない図形です。三角形では、対応する角はそれぞれ等しく、対応する辺の長さの比は一定です。相似を表す記号は「∽」です。△ABC∽△DEF と書いたとき、AとD、BとE、CとFが順に対応します。辺ではABとDE、BCとEF、CAとFDが対応します。

図1のように、頂点を同じ順にたどると対応が読み取れます。右の三角形は左と向きが異なりますが、向きや裏返しは対応を変える理由にはなりません。文字の順を入れ替えて △ABC∽△DFE と書けば、BとFが対応する別の主張になります。結論の文字は飾りではなく、どの角と辺を組にするかを表しています。

図1の対応なら、辺の比は AB:DE = BC:EF = CA:FD と書けます。すべて左の三角形から右の三角形の順に比べています。逆に DE:AB = EF:BC = FD:CA としてもよいのですが、一部だけ逆にすると比がそろいません。相似比を計算する前に、頂点を縦に並べて確認すると取り違えを防げます。

三角形の相似条件は次の3つです。

1. 3組の辺の比がすべて等しい。
2. 2組の辺の比とその間の角がそれぞれ等しい。
3. 2組の角がそれぞれ等しい。

「その間の角」とは、比べる2辺が交わる頂点の角です。ABとACなら間の角は∠Aです。ABとBCなら∠Bです。角の型で2組を使えるのは、三角形の内角の和が180°なので残りの角も等しくなるためです。3つの条件を同時に示す必要はありませんが、選んだ1つの条件に必要な情報はそろえます。

合同は、形も大きさも同じことです。合同な三角形は相似ですが、相似な三角形が必ず合同とは限りません。対応する辺の比が1:1なら大きさも一致し、合同といえます。角が等しいだけでは辺の実際の長さは決まらないので、相似から直ちに合同と結論しないようにします。

基本例題: 平行線から2組の角を探す

三角形ABCの辺AB上に点D、辺AC上に点Eがあり、DとEはそれぞれ端点とは異なります。DEはBCに平行です。AB = 6 cm、AC = 8 cm、AD = 3 cm、AE = 4 cmとします。△ADEと△ABCが相似であることを証明し、対応する辺ADとABの比を最も簡単な整数の比で答えてください。

図2のように、調べる三角形を小さい△ADEと大きい△ABCに分けます。点Aは共通ですが、DはBに、EはCに対応するかを角から確かめます。長さは最後に比の確認にも使います。

証明を1行ずつたどります。

1. △ADEと△ABCにおいて、共通の角なので ∠DAE = ∠BAC。
2. DEはBCに平行なので、同位角より ∠ADE = ∠ABC。
3. 2組の角がそれぞれ等しいので、△ADE∽△ABC。
4. 対応する辺は ADとABなので、AD:AB = 3:6 = 1:2。

最初の角は、DがAB上、EがAC上にあるため同じ開きです。2行目では、ADとABが同じ直線上にあり、DEとBCが平行であることを使っています。等しい角の頂点を順に並べれば、AにA、DにB、EにCが対応します。したがって相似の記号の右側はABCという順になります。

答えを元の条件に戻すと、AE:ACも4:8 = 1:2です。2組の辺が同じ比になっていることは、得られた対応と矛盾しません。ただし、この2組の比の確認だけを角の証明の代わりに書く場合は、その間の角が等しいという根拠も必要です。数値がなくても平行の条件と共通の角から相似を示せることに注目してください。

証明で「平行だから相似」とだけ書くと、どの角を比べたかが読み手に伝わりません。等しい角を2組書き、最後に相似条件を添えることで、結論までの道筋を短く示せます。角の名前は頂点を中央に置いて書くので、∠ADEの頂点はDです。

少し難しい例題: 辺とその間の角をそろえる

△PQRと△STUで、PQ = 4 cm、PR = 6 cm、ST = 10 cm、SU = 15 cm、∠QPR = ∠TSUとします。2つの三角形が相似であることを証明し、△PQRに対応する順で右側の三角形を書いてください。辺の比は最も簡単な整数の比で表します。

まず、等しいと与えられた角はPとSの角です。PQとPRは∠QPRをはさみ、STとSUは∠TSUをはさみます。そこでPQをSTに、PRをSUに対応させて比べます。

PQ:ST = 4:10 = 2:5。 PR:SU = 6:15 = 2:5。 ∠QPR = ∠TSUは仮定です。 2組の辺の比とその間の角がそれぞれ等しいので、△PQR∽△STUです。

比べた辺の両端から、PとS、QとT、RとUが対応します。PQ:STとPR:SUはどちらも2:5で、同じ倍率を表します。与えられた長さへ戻しても、4を5/2倍すると10、6を5/2倍すると15です。角の頂点もPとSにそろうので、証明中の対応は条件と一致します。

ここで判断が分かれるのは、等しい角が比べた2辺の間にあるかどうかです。もし等しいと与えられたのが別の頂点の角だったら、上の2組の辺の比が等しいという情報と合わせても、この相似条件はそのまま使えません。別の角や辺について追加の根拠を探します。図が似て見えても、不足した条件を見た目で補わないことが大切です。

辺の比が同じということと、辺の長さそのものが同じということも区別します。この例では対応する辺の比が2:5なので、2つは相似ですが合同ではありません。大きさの違いを残したまま形の一致を示すのが、ここでの相似の証明です。

誤答を直す: 頂点を入れ替えた比

△ABC∽△DEF、AB = 4 cm、BC = 6 cm、DE = 10 cmのとき、対応する辺EFの長さを求める場面を考えます。答えはcmを単位とする整数で表します。ある誤りは、図3のように AB:DE = BC:DF と置くことです。左から2番目の頂点Bに対応するのはEなので、BCに対応する辺はEFです。DFはCAに対応します。

図3のように対応を並べ直すと、正しい式は AB:DE = BC:EF です。EFをx cmとすると、4:10 = 6:x、つまり4x = 60なので、x = 15です。答えを元に戻すと、AB:DE = 4:10 = 2:5、BC:EF = 6:15 = 2:5で、対応する辺が同じ比になっています。

誤答の原因は、文字の順ではなく、図の中で辺が置かれた向きで組を決めたことにあります。2つの三角形を回転したり裏返したりしても相似の関係は変わるわけではありません。式を書く前に A↔︎D、B↔︎E、C↔︎F とメモし、辺の両端をそれぞれ対応させます。BCの両端はEとFに移るので、EFが選べます。

逆に「対応する角が2組等しいから合同」と書く誤りもあります。角の条件で言えるのは相似です。合同まで示すには、さらに大きさが一致する根拠が必要です。相似条件の名前と結論の記号を一緒に点検しましょう。

練習問題

次の問題を先に解いてから、後の答えで対応と根拠を確かめてください。証明では使う相似条件まで書き、比は最も簡単な整数の比で表します。

1. △JKLと△MNPで、∠J = ∠N、∠K = ∠Pです。相似であることを証明し、△JKLに対応する順で相手の三角形を書いてください。
2. △ABCと△XYZで、AB = 3 cm、BC = 5 cm、CA = 4 cm、XY = 9 cm、YZ = 15 cm、ZX = 12 cmです。相似であることを証明し、AB:XYを答えてください。
3. △DEFと△GHIで、DE = 6 cm、DF = 8 cm、GH = 9 cm、GI = 12 cm、∠EDF = ∠HGIです。相似であることを証明し、対応する頂点の順を書いてください。
4. △RST∽△UVWで、RS = 5 cm、ST = 7 cm、UV = 15 cmです。VWの長さをcmを単位とする整数で求め、元の比に戻して確かめてください。

練習問題の答えと解き方

1. △JKLと△NPMにおいて、仮定より ∠J = ∠N、∠K = ∠P。2組の角がそれぞれ等しいので、△JKL∽△NPMです。残るLとMも対応します。内角の和から ∠L = 180° − ∠J − ∠K、∠M = 180° − ∠N − ∠Pとなり、残る角の対応も確かめられます。相手の文字を与えられた順のままMNPと書かないようにします。

2. AB:XY = 3:9 = 1:3、BC:YZ = 5:15 = 1:3、CA:ZX = 4:12 = 1:3です。3組の辺の比がすべて等しいので、△ABC∽△XYZです。答えの比は1:3です。元の長さに戻すと、3、5、4をそれぞれ3倍して9、15、12になります。辺の両端を照合すると、AとX、BとY、CとZの対応も一貫しています。

3. DE:GH = 6:9 = 2:3、DF:GI = 8:12 = 2:3です。仮定より ∠EDF = ∠HGIで、これらはそれぞれ比べた2辺の間の角です。2組の辺の比とその間の角がそれぞれ等しいので、△DEF∽△GHIです。DとG、EとH、FとIが対応します。6と8をそれぞれ3/2倍すると9と12に戻り、等しい角の頂点もDとGで一致します。

4. 頂点の順から、RSにUV、STにVWが対応します。VWをx cmとすると、5:15 = 7:xです。5x = 105より、x = 21。答えは21 cmです。与えられた長さへ戻すと、5:15 = 1:3、7:21 = 1:3です。どちらも左の三角形から右の三角形へ3倍なので、正の長さとして場面に合います。

覚えておくこと

相似の記号の両側は、対応する頂点を同じ順に並べます。
角2組、辺3組の比、辺2組の比とその間の角のうち、使える条件を選びます。
比べる辺と角の対応は、図の向きではなく根拠で決めます。
相似と合同を区別し、比の向きもそろえます。

どこでつまずいたかを見分ける

証明が止まったときは、条件を知らないのか、等しい角を図から探せないのか、対応する頂点を並べられないのかを分けて見ます。条件名は言えても、2辺にはさまれた角を指せなければ、辺の両端をたどる練習から始めます。答えが合っていても比の対応が逆なら、各辺の端の文字を一つずつ照合します。

個別指導では、まずお子さまに2つの三角形を指でたどってもらい、等しい角の理由と相似記号の頂点の順を声に出して確かめます。保護者が家庭で見るときも、答えの記号だけでなく「どの角がなぜ等しいか」を尋ねると、次に確かめる箇所が見えてきます。対応の根拠が言葉になれば、向きの違う三角形にも同じ筋道で取り組めます。