数検3級 関数y=ax²の変域—区間にゼロが入るかで最大値と最小値を分ける練習｜武蔵野個別指導塾

端点の値が同じでも原点が最小になる例から、係数の符号と区間を手がかりに考える変域の手順をたどります。

よくあるのは、受検者がxの範囲の両端を代入し、2つの答えを比べて終える場面です。端の値は正しくても、その間に原点が入ると、そこで端より小さい値や大きい値を取ることがあります。グラフの一部分をたどり、どこまでの高さが含まれるかを調べましょう。ここではy=ax²の形に限り、与えられた区間に端点が含まれる場合を扱います。

端から端までの高さを読む

変域は、変数が取る値の範囲です。xの変域が決まると、その範囲で動くxに対応して、yが取る値の範囲も決まります。xが整数に限られるという条件がなければ、端点の間の小数や分数も含めて考えます。最大値と最小値を見つけたら、間の値も含めて不等号で表します。

自作の問題には、次のような判断の型があります。どれも最初にxの区間を数直線に置き、0の位置を確かめます。

• 区間が0をまたぐときは、両端と0を候補にします。端の値が等しい場合でも、途中の0を調べます。
• 区間が0の片側にあるときは、0から近い端と遠い端を比べます。負の側では、数として大きい端が0に近いことに注意します。
• aが負のときは、正のときと高さの順序が逆になります。二乗した値の大小を決めてから、負の数を掛けると間違いを防げます。

この分類は解くための整理です。問題の出る頻度を表すものではありません。計算の速さより、候補を落とさずに選ぶことが先です。

0からの距離と二乗の関係

図1のように、数直線上でxの区間を見ます。端点と0を含む区間では、0から最も近い位置は0そのものです。0から遠い位置は2つの端点のうち距離が大きい方です。両端の距離が同じなら、どちらでも同じ二乗になります。

図1では左端が-3、右端が2なので、0からの距離は左端の方が大きくなります。二乗は符号を消す計算で、(-3)²は9、2²は4です。xの数としては-3の方が小さいものの、二乗は大きくなります。負の数を代入するときは括弧を付けて、負号を含めた数を2回掛けます。

aが正なら、x²が大きいほどyも大きくなります。したがって0を含む区間では、yの最小値は0で、最大値は0から遠い端で取ります。一方、aが負なら、x²が大きいほどyは小さくなります。0を含む区間では最大値が0になり、遠い端で最小値を取ります。a=0ならyは常に0で、最大値も最小値も0です。

区間が0を含まない場合、最小の二乗は0に近い端で取り、最大の二乗は遠い端で取ります。区間が負の側だけにある場合は、左端の方が遠く、右端の方が近くなります。正の側だけならその逆です。0が端点そのものである場合も、0は区間に含まれるので候補に入ります。

たとえば区間が-5以上-2以下なら、0からの距離はそれぞれ5と2です。途中で0には届かないため、二乗の範囲は4以上25以下です。0を候補にするかどうかは、グラフ全体ではなく、与えられた区間で決めます。

基本例題：原点を通る部分を残す

【問題】関数y=2x²で、xの変域が-2以上2以下です。yの変域を整数を使った不等号で表しましょう。

図2のように、xの区間は0を含みます。両端の値と途中の0に対応する値を順に調べます。図はこの区間のグラフを示し、左右の点の高さと原点を比べています。

1. 左端x=-2を代入すると、y=2×(-2)²です。
2. (-2)²=4より、y=8です。
3. 右端x=2を代入すると、y=2×2²=8です。
4. 0は-2以上2以下に入るので、x=0を代入します。
5. y=2×0²=0です。
6. a=2は正なので、0から離れるほどyは大きくなります。
7. 最小値は0、最大値は8です。
8. 答えは0≦y≦8です。

両端で8になるからといって、yが8に固定されるわけではありません。たとえば区間内のx=1ではy=2です。xを連続して動かすと、グラフも途中を飛ばさずにつながるので、0と8の間の高さも取ります。端の8は実際にx=-2または2で取れ、0もx=0で取れるため、両方に等号を付けます。

検算では、最大と最小を生むxが元の区間に入るかまで戻ります。-2、0、2はいずれも条件を満たし、それぞれの代入結果は8、0、8です。さらにx²は0以上4以下なので、2倍したyが0以上8以下になることも確かめられます。両端の計算が合っていても、0の候補が抜ければ変域は正しくなりません。

係数が負のときの分かれ目

【問題】関数y=-3x²で、xの変域が-1以上3以下です。yの変域を整数を使った不等号で表しましょう。

まず-1≦0≦3なので、0を候補にします。左端、右端、0でのyを順に求めると、x=-1でy=-3、x=3でy=-27、x=0でy=0です。0からの距離は左端が1、右端が3ですから、二乗が最も大きいのは右端です。

ここが判断の分かれ目です。係数が正なら二乗が大きいところでyも大きいのですが、今回は-3を掛けるため、二乗が大きいところでyは最も小さくなります。最小値は-27、最大値は0なので、答えは-27≦y≦0です。不等号では小さい数を左に書きます。

元の条件に戻して、x=3でy=-3×9=-27、x=0でy=0を確認します。どちらのxも区間内です。また、この区間では0≦x²≦9です。負の数-3を掛けると大小が逆になるため、-27≦-3x²≦0となり、答えと一致します。端の-3は範囲の途中にある値で、最大値ではありません。

係数の符号を見落としたと感じたら、値を数直線に並べ直します。-27は-3より左にあり、0は両方より右です。マイナスが付いた数どうしでも、数字の部分が大きい方をそのまま大きい値と判断しないようにします。

誤答を原点から直す

基本例題で、両端から「y=8」と答えたとします。両端への代入は正しいのに、答えは誤りです。図3のように両端の間に0があり、x=0でy=0となるためです。端点の高さだけを比較する手順では、グラフの一番低いところを取り逃します。

図3では候補として8、0、8を並べています。0を加えてから大小を比較し、0≦y≦8に直します。最小値だけを書き足して終えるのではなく、求められた変域の形で上下の端を結び直します。

別の誤りは、区間が負の側にあるときに、左端のxが小さいからyも小さいと決めることです。たとえばy=x²で-4≦x≦-1なら、両端のyは16と1です。0から遠い-4の二乗が大きいため、正しい変域は1≦y≦16です。xの大小とyの大小を同じ向きに並べる前に、0からの距離を見ます。

もう一つは、0が区間の外にあるのに、放物線全体の頂点を使うことです。上の区間に0は入らないため、y=0にはなりません。グラフを頭に描いたら、指定された区間の部分だけを残して考えます。逆に0が端に含まれる場合は、端であることと0であることの両方に注意し、候補から除きません。

練習問題

次の4問はそれぞれ独立しています。xは指定された範囲の実数を取り、端点も含みます。各問ともyの変域を、整数または既約分数を使った不等号で表しましょう。まず4問を解き、その後で答えと照らします。

1. y=3x²、-1≦x≦2。
2. y=x²、-5≦x≦-3。
3. y=-2x²、1≦x≦4。
4. y=-(1/2)x²、-4≦x≦4。

答えと解き方

1. 答えは0≦y≦12です。区間に0が入ります。左端では3×(-1)²=3、右端では3×2²=12、0では0です。係数が正なので最小値は0、遠い右端で最大値12を取ります。x=0とx=2はどちらも条件内で、元の式に戻すとそれぞれ0と12になります。区間全体では0≦x²≦4なので、3倍した範囲も答えと一致します。

2. 答えは9≦y≦25です。区間は負の側にあり、0は入りません。0から遠い左端-5ではy=25、近い右端-3ではy=9です。係数は正なので二乗の大小がそのままyの大小です。x=-3と-5は指定範囲の端に含まれ、代入すると9と25に戻ります。0を最小値とすると、区間外のxを使ったことになります。

3. 答えは-32≦y≦-2です。区間は正の側にあり、近い端1でx²=1、遠い端4でx²=16です。-2倍すると、それぞれ-2、-32となり大小が逆になります。元の式にx=1と4を入れれば、それぞれ-2と-32です。両端は条件内にあり、その間では1≦x²≦16なので、yがこの範囲の外に出ないことも確かめられます。

4. 答えは-8≦y≦0です。0を含む区間で、両端は0から同じ距離4にあります。x=-4と4のどちらでもy=-(1/2)×16=-8です。x=0ではy=0です。負の係数なので、0が最大値、両端が最小値になります。0≦x²≦16に負の1/2を掛けた結果も-8以上0以下で、元の範囲に戻した確認と一致します。

範囲の端を答えに戻す

変域を書くときは、最小値と最大値がどこで実現するかを併記すると、候補の誤りを発見しやすくなります。たとえばxの範囲が0から6までで、係数が正なら、0で最小値を取ります。右端では二乗が最大です。0は端点と頂点を兼ねるため、候補を重複して数える必要はありませんが、代入を省いてよいという意味ではありません。どちらの端も範囲に含まれていることを確認します。

一方、区間が左右対称でなく、左端と右端の距離が異なるときは、数直線上で長さを比べます。左端が負、右端が正だからといって、右端が必ず遠いわけではありません。負の値の大きさを比べる操作と、0からの距離を比べる操作を区別しましょう。距離は負にならず、-7から0までの距離は7です。両端の距離が同じなら、代入結果も同じですが、途中に0があれば値はそこでも変わります。

係数が負の場合は、二乗の範囲を先に書く方法も役立ちます。たとえば0≦x²≦16に-1/2を掛けると、左端は0、右端は-8です。大小が反転するので、順に並べ直して-8≦y≦0と書きます。右端と左端を入れ替えずに0≦y≦-8と書くと、同時に満たす数がありません。式の操作後に数直線で大小を点検すると、符号の取り違えに気づけます。

計算の途中で候補が同じ値になった場合にも、候補のxを消さずに残しておくと便利です。2つの異なるxが同じyに対応することは、この関数では自然です。最小値と最大値が一致する場合は、yがその1つの値を取ることを意味します。ただし両端の値が一致するだけでは、その間の値まで一致するとは限りません。原点を含むかどうかを調べてから判断します。

答案を見直す際には、各端の値を出した式と、候補が区間に入る理由を分けて書いてみましょう。計算が正しくても候補が区間外なら答えに使えません。逆に候補が正しくても負の数の二乗を誤れば値が変わります。間違いの場所を分けて探すことで、次の問題で直すべき手順がはっきりします。

端の値を不等号に書くときは、最大値を先に計算したとしても、小さい方を左に置き直します。問題が求めるのが最大値だけか変域全体かも読み取ります。変域を求める場合は、値を2つ並べるだけでなく、その間の値を含む範囲として表します。

覚えておくこと

• 数直線で端点と0の位置を確かめます。
• 0を含む区間では、端点に加えて0も候補です。
• 二乗は0から遠いほど大きくなります。
• aが負なら二乗とyの大小の向きは逆です。
• 候補を代入し、最小値から最大値まで不等号で表します。

どこで迷ったかを見分ける

答えが合わなかったときは、最終行だけを消す前に候補の選び方を見ます。0が区間内なのに候補にないなら数直線に戻り、0が区間外なのに候補にあるなら指定された部分を塗り直します。候補は合っているのに値が違うなら、負のxを括弧に入れた二乗と係数の掛け算を別々に確かめます。

個別指導では、お子さまに端点、0からの距離、係数の符号を順に説明してもらうと、どの判断で止まったかを確かめられます。最後に最大値と最小値を取るxを元の条件へ戻し、不等号の向きと等号まで見直します。変域の両端には、それぞれ対応するxがあります。