高校物理 定常波と固有振動—端の条件から弦と気柱の波長と振動数を決める｜武蔵野個別指導塾

閉管の変位の節と腹を起点に、弦と気柱の波長を求めます。隣接する共鳴の長さや、うなりから残る2つの振動数候補も確かめられます。

よくあるのは、閉管の閉じた端を変位の腹として描いてしまう場面です。音が反射する端だから大きく揺れると考えると、管の長さに入る波長の割合が逆になります。閉じた端では空気が壁を通り抜けられないので、空気の変位は節です。まず何の変位を描くかを決め、端から隣の節や腹までの距離を数えます。

弦の振動と管の中の音は見た目が異なりますが、どちらも往復する波が重なってできる振動を境界条件から調べられます。ここでは理想化した弦と気柱を扱い、音源や観測者の運動による振動数の変化は扱いません。

答案で問われる形

出方の1つは、両端を固定した弦の長さと山の数から波長を求め、波の速さを用いて振動数を出す問題です。弦の形が一瞬まっすぐになっても、そこにある点がすべて節なのではありません。時間がたっても変位しない位置を探します。

もう1つは、開管や閉管の共鳴する長さ、または共鳴する振動数を求める問題です。閉管は閉じた端が変位の節、開いた端が変位の腹です。両端が開いていれば両端が腹となります。端の条件が異なれば、同じ長さでも入る波の形が変わります。

さらに、近い振動数の音を同時に鳴らし、うなりの回数から未知の振動数を絞る問題があります。差の絶対値からは高い側と低い側の2通りが残るため、追加条件で選びます。公式に数字を入れる前に、求めるものが波長、振動数、あるいはうなりの回数のどれかを答案に書きます。

節と腹を端から配置する

同じ振動数、波長、振幅を持つ2つの波が反対向きに進んで重なると、定常波ができます。各点はそれぞれの位置で振動し、振幅が0の点が節、振幅が最大の点が腹です。進行波の山が移動するように、定常波の節と腹の位置が進んでいくわけではありません。実際の共鳴では損失や反射の条件により理想形からずれますが、以下は問題に与えられた理想条件で考えます。

図1のように、隣り合う節の間隔は波長の半分、節から隣の腹までは波長の4分の1です。腹から隣の腹も波長の半分です。固定した弦の端は動けないため節、自由に横へ動ける理想的な弦の端は腹です。管では空気の変位について、閉端を節、開端を腹とします。圧力の変化の節と腹は変位の場合と逆なので、何を描く図かの確認が欠かせません。

閉管の最も短い基本振動では、図1の節から隣の腹までの部分を使います。閉端から開端までが節から隣の腹なので、長さは波長の4分の1です。次の形はその間に節と腹の組が増え、長さは波長の4分の3になります。図の曲線は変位の大きさを示す模式図で、空気が管に垂直に動くという意味ではありません。音の空気の変位は管の方向です。

長さを L、波長を λ、速さを v、振動数を f とすると、波の基本関係は v = fλ です。弦の両端固定と開管の両端開放では、端から端までに半波長が整数個入り、L = nλ/2 です。整数 n は1以上です。閉管では端が異なるため L = (2n − 1)λ/4 となります。式を覚えた後も、端の節と腹を描いて長さに入る4分の1波長の個数を数えれば、式の使い違いを防げます。

固有振動は境界条件を満たす形で生じる振動です。外から周期的に力を加える振動数が固有振動数に近いと振幅が大きくなる現象を共鳴といいます。気柱では音源の振動数に合う長さで共鳴を見つけられます。開口端補正が与えられたときは、開端の変位の腹が実際の端より外にあるとみなし、有効長にその補正を加えます。補正値を与えない以下の問題では補正を無視します。

許される形を比べる

両端固定の弦では、最も低い振動数の形は両端に節、その間に腹が1つです。次の形は中央にも節ができ、腹が2つになります。同じ長さと速さなら、半波長の数が増えるほど波長は短くなり、振動数は高くなります。基本振動を基準にすれば、両端固定の弦の固有振動数は整数倍に並びます。両端開放の管も変位の腹から腹までに半波長を整数個入れるため、同じ整数倍の並びです。

閉管の基本振動は節から腹までの4分の1波長です。次に許される形は4分の3波長、その次は4分の5波長が入る形です。同じ管と音速なら固有振動数は基本振動数の3倍、5倍と続きます。2倍の振動数を入れると、閉端を節にしたとき開端も節になり、開端が腹という条件に合いません。両端の条件を紙に記してから、許されない形も一度描くと違いを確認できます。

うなりは定常波の節の数を数える操作とは別です。近い振動数の音が観測点で重なり、強弱が周期的に変化します。差が小さいほど強弱の繰り返しは遅く、振動数が一致すれば差によるうなりは生じません。波の速さや管の長さから固有振動数を求めてから、別の音との振動数の差を調べる問題では、この2段階を分けて記します。

基本例題：固定した弦の2つの腹

長さ 1.2 m の一様な弦の両端を固定し、弦を伝わる波の速さを 120 m/s とします。腹が2つある固有振動について、波長を m、振動数を Hz で求めてください。答えは整数または有限小数で表します。振幅は小さく、速さは一定とします。

図2のように両端は節で、中央にも節があります。弦の左端から右端へ進むと、節、腹、節、腹、節の順です。隣の節までが半波長なので、長さに半波長が2つ入ります。

図2の長さに注目し、次のように立式します。

L = 2 × λ/2 = λ

したがって λ = 1.2 m です。波の速さは1秒間に波形が進む距離で、1周期に1波長だけ進むことから v = fλ です。波長を先に決めてから代入すると、

f = v/λ = 120/1.2 = 100 Hz

となります。答えは波長 1.2 m、振動数 100 Hz です。戻して確かめると、半波長は 0.6 m で、2つ合わせて弦の長さ 1.2 m です。また 100 × 1.2 = 120 m/s となり、与えた速さに一致します。腹の個数を波長の個数と取り違えると波長を半分にしてしまいます。節から次の節までをまず印で区切ることが修正の近道です。

なお、弦を右に進む波の例を y = a sin{2π(t/T − x/λ)} とすると、同じ位相は t が増えるにつれて x も増える位置へ移ります。反対向きの波が重なると節の位置は固定されます。波が運ぶ向きと弦の各点の上下の変位は別の情報です。

閉管で隣の共鳴を使う

片端を閉じた長さを変えられる管に、振動数 400 Hz の音を入れます。音速を 320 m/s とし、開口端補正を無視します。管の長さを短い方から増やしたとき、最初とその次に共鳴する長さを m で求めてください。答えは有限小数で表します。気柱の変位について理想的な端の条件を使います。

まず波長は λ = v/f = 320/400 = 0.8 m です。閉端は節、開端は腹ですから、最初の共鳴では管の中に4分の1波長が入ります。よって L₁ = 0.8/4 = 0.2 m です。次の共鳴では節と腹をさらに1組加えるので、L₂ = 3 × 0.8/4 = 0.6 m です。答えは 0.2 m と 0.6 m です。

確かめると、最初は 0.2 m が波長の4分の1、次は 0.6 m が4分の3です。両者の差 0.4 m は半波長で、そこから波長を戻すと 0.8 m、振動数は 320/0.8 = 400 Hz です。長さの差を4分の1波長とする誤りは、隣の共鳴で両端の条件を保ったまま節と腹を1組増やす図を描くと見つかります。

ここで分かれ目になるのは、固定した長さで振動数を変えるか、同じ振動数で長さを変えるかです。前者では許される波長が変わり、後者では波長が一定です。開口端補正を e として与えられる場合、閉管の有効長は L + e です。一定の e なら隣接する共鳴の実際の長さの差では補正が消えますが、最初の長さから波長を求めるときには補正を加える必要があります。

誤答を図で直す

閉管の基本振動で、閉端を腹、開端を節とする絵を描き、「端から端まで4分の1波長だから正しい」と判断する誤答があります。長さの割合だけなら正しくても、変位の境界条件は逆です。壁で空気が管の向きに動けないことを見落としたのが原因です。

図3のように閉端に節、開端に腹を置き直します。節から腹までの4分の1波長を描いた後、問題が圧力変化を尋ねていれば、そこで初めて節と腹を入れ替えて読んでください。変位と圧力の区別を書き添えると、同じ図を使っていても何を答えたかが明確です。

また、うなりの回数を2つの振動数の和としてしまう誤答もあります。近い振動数の波では重なりが強まる状態と弱まる状態が繰り返され、その繰り返しの振動数は差の絶対値です。例えば一方が高いか低いかを決める条件がない場合は、差を足す場合と引く場合を両方残します。片方を勝手に捨てないことが修正になります。

手を動かす問題

次の各問では波の速さが一定で、振幅は小さく、端の条件は理想的とします。数値は計算のために与えた条件です。答えは指定の単位を付け、整数または有限小数で表してください。

1. 両端を固定した長さ 0.9 m の弦に腹が3つある振動が生じています。弦を伝わる波の速さが 90 m/s のとき、波長を m、振動数を Hz で求めてください。
2. 両端が開いた長さ 0.75 m の管で、音速を 300 m/s とします。開口端補正を無視し、基本振動の波長を m、振動数を Hz で求めてください。
3. 片端を閉じた管の実際の長さが 0.48 m、開口端補正が 0.02 m です。音速を 340 m/s とするとき、基本振動の波長を m、振動数を Hz で求めてください。
4. 振動数 256 Hz の音と未知の音を同時に鳴らすと、1秒間に4回うなります。未知の音の振動数の候補を Hz で求め、未知の音が 256 Hz より高いときの値も答えてください。

問題の答えと確かめ

1. 両端と腹の間にある節を数えると、半波長が3つです。0.9 = 3λ/2 より λ = 0.6 m、f = 90/0.6 = 150 Hz です。半波長 0.3 m を3つ並べると 0.9 m、150 × 0.6 = 90 m/s に戻ります。腹3つを3波長としないよう、節間を数えます。

2. 両端が変位の腹である基本振動では、その間に半波長が入ります。0.75 = λ/2 より λ = 1.5 m、f = 300/1.5 = 200 Hz です。半波長は 0.75 m で管の長さに一致し、200 × 1.5 = 300 m/s です。閉管の4分の1波長を流用すると端の片方が節になってしまいます。

3. 開端の外側まで含む有効長は 0.48 + 0.02 = 0.50 m です。基本振動では 0.50 = λ/4 なので λ = 2.0 m、f = 340/2.0 = 170 Hz です。波長の4分の1から補正 0.02 m を引くと実際の長さ 0.48 m に戻ります。170 × 2.0 = 340 m/s も満たします。

4. 未知の振動数を f Hz とすると、|f − 256| = 4 です。したがって f = 252 Hz または 260 Hz です。どちらも 256 Hz との差は4 Hzで、1秒間に4回という条件に戻ります。高いという追加条件がある場合は 260 Hz を選びます。回数から差は決まっても、大小は別の情報が必要です。

問題を解いた後は、得た波長を図に戻して端の条件を満たすか確認します。求めた振動数に波長を掛け直し、計算条件で与えた波の速さに戻るかを調べます。単位も Hz × m = m/s と確かめます。条件が1つでも合わなければ、数値の丸めより先に図の節と腹を見直します。

答案に残す要点

• 固定端と閉管の閉端は変位の節です。
• 弦の自由端と管の開端は変位の腹です。
• 節と隣の腹の間隔は波長の4分の1です。
• 境界条件から波長を決め、v = fλ を使います。
• うなりは2つの振動数の差の絶対値で数えます。

途中のどこで迷ったか

自分の答案で、最初に端の節と腹を書けているかを見てください。そこが逆なら、式の計算より先に、弦や空気が端で動けるかを言葉に戻します。端は正しくても波長が違う場合は、隣の節までの距離を半波長として図に区切りを入れます。共鳴の長さを並べる問題では、振動数を固定したのか長さを固定したのかも欄外に記します。

個別指導で確かめるなら、描いた図を指しながら「これは変位か圧力か」「次の共鳴でどの節と腹が増えるか」を説明し、式の各項と対応させます。うなりは差から2候補を出したうえで追加条件を使えているかを見ます。図の端から式にたどる順序が、答案の取り違えを見つける手がかりです。