高校物理 平面運動と相対速度—観測する立場を決めて速度の向きと成分をそろえる｜武蔵野個別指導塾

船と流れの速度を成分で合成し、対岸までの時間や到着位置、真向かいへ渡れる条件を確かめます。

よくあるのは、船の速度から川の流速を足すか引くか迷う場面です。船に取り付けた計器が示す水に対する速度と、岸から見た船の速度は同じとは限りません。流れがあると、船が水を押して進む間に、水そのものも岸に対して移動するからです。どの物体から見た速度かを式に書き添えれば、足し算と引き算の意味を図で追えます。

答案で問われる3つの型

1つ目は、平面上の速度を水平と鉛直など互いに垂直な成分に分け、合成した速度の向きと大きさを求める型です。矢印の長さだけを足すのではなく、同じ軸の成分を符号つきで足します。直角を作る2成分が求まれば、三平方の定理で大きさを出せます。

2つ目は、2つの物体の速度から、一方から見た他方の速度を求める型です。観測者も動いているので、地面から見た2つの速度の差を取ります。どちらを引くかを逆にすると、大きさが同じでも向きが反対になります。

3つ目は、船が目標地点へ着くための向きや、そもそも目標へ進めるかを調べる型です。川を横切る成分と流れに沿う成分を別々に考えます。船の速さに上限があると、流れを打ち消す成分を作れないこともあります。数字を代入する前に条件を確認しましょう。

学校の答案では、式だけでなく観測する立場と正方向が採点の手掛かりになります。単位をそろえ、求める速度がどの立場のものかを一行で明記してください。放物運動の到達位置を計算する場合も成分の考え方は共通ですが、ここでは相対速度そのものに集中します。

矢印の始点と終点をそろえる

速度は大きさと向きを持つベクトルです。東を x の正、北を y の正に決めると、速度を (x成分, y成分) と表せます。例えば西向きの成分は負、南向きの成分も負です。斜めの矢印は、東西方向と南北方向の矢印を続けて描いた合成として表せます。

図1のように、岸から見た船の速度は、水から見た船の速度と岸から見た水の速度を合成します。船を A、水を B、岸を C とすると、AのCに対する速度は「AのBに対する速度 + BのCに対する速度」です。中間のBをつなぐ順に読むと、どの量を足すかが見えます。

同じ関係を引き算に直すと、AのBに対する速度は「AのCに対する速度 − BのCに対する速度」です。引く速度は矢印を逆向きにしてから足します。AのBに対する速度とBのAに対する速度は互いに逆向きで、大きさは等しくなります。

加速度も向きのある量です。ある時間の速度の変化を、その時間で割ったものが平均加速度です。例えば速度の東向き成分が変わらず北向き成分が増えるなら、速度の変化も平均加速度も北向きです。速さが変わらなくても速度の向きが変われば、速度の変化は0ではありません。速度の矢印を同じ始点から描き、後の矢印の先端から前の矢印の先端へではなく、前の先端から後の先端へ結ぶと変化の向きが出ます。

水の流れが一定なら、岸に対する水の加速度は0です。この条件では岸に対する船の加速度と水に対する船の加速度は等しくなります。流れが変化する場合はその加速度も成分ごとに加えます。速度の合成と加速度の合成を混同せず、それぞれ同じ時間における量を比べましょう。

基本例題：岸から見た進路

幅120 mの川が東へ2 m/sで一様に流れています。船は水に対して真北へ3 m/sの一定速度で進みます。出発点を原点、東をxの正、北をyの正とします。船は対岸まで一定速度で進み、風の影響はないものとします。岸から見た船の速度の各成分、速さ、到着までの時間、出発点の真北からの到着位置を求めてください。速さは根号を残し、他は整数と単位と方向で答えます。

図2のように、水に対する船の速度は北、水の岸に対する速度は東です。岸に対する船の速度を求めるため、両方を同じ座標の成分で書きます。

水に対する船の速度は (0, 3) m/s、水の岸に対する速度は (2, 0) m/sです。したがって、岸に対する船の速度は

(0, 3) + (2, 0) = (2, 3) m/s

です。東へ2 m/s、北へ3 m/sの成分を持ちます。2つの成分は垂直なので、速さは √(2² + 3²) = √13 m/sです。速さを5 m/sとすることはできません。5は互いに直角な成分を単純に足した数で、矢印の長さではないからです。

対岸までの北向きの距離は120 mです。岸に対する北向きの速度は3 m/sなので、到着時刻をt秒とすると

3t = 120

t = 40 s

です。この間、東向きには2 m/sで進むので、東への移動距離は2 × 40 = 80 mです。したがって到着位置は出発点の真北から東へ80 mです。求めた40 sを元の運動に戻すと、北へ3 × 40 = 120 m、東へ2 × 40 = 80 mとなり、対岸に着く条件と一致します。

流速が増えると、この例では北向きの成分は変わらず、到着時刻も変わりません。一方で東向きの移動距離は増えます。この結論は船の水に対する速度が真北へ一定という条件に基づきます。船が岸から見て真北へ進むように向きを変える場合は、次のように別の条件を立てます。

発展例題：真向かいへ進める条件

川の流れは東へ4 m/sで一定です。船は水に対する速さを5 m/sに保ち、岸から見て真北に進みたいとします。東をxの正、北をyの正とし、船は一定速度で進みます。必要な船の水に対する速度の成分と、岸から見た速さを整数と単位と方向で求めてください。また、流速が東へ6 m/sになった場合に同じ速さの船が真北に進めるか答えてください。

岸から見た東向き成分を0にするには、船の水に対する東向き成分を -4 m/sにします。水に対する北向き成分をu m/sとすると、船の水に対する速さが5 m/sなので

(-4)² + u² = 5²

u² = 25 − 16 = 9

北へ進む条件からu = 3です。水に対する船の速度は西へ4 m/s、北へ3 m/sの成分を持ちます。流れを足すと岸に対する成分は (-4 + 4, 3 + 0) = (0, 3) m/sです。岸から見た速さは北へ3 m/sです。元の条件に戻すと、水に対する速さは√(4² + 3²) = 5 m/sで、東西成分も0となります。

流速が6 m/sなら、それを打ち消すには水に対して西向きに6 m/sの成分が必要です。しかし速さが5 m/sの矢印の成分の大きさは5 m/sを超えられません。したがって真北には進めません。無理に二乗して負の数の平方根を求める前に、必要な成分が船の速さを超えていないか確かめます。

流速がちょうど5 m/sなら、西向き成分に速さを使い切ります。北向き成分は0なので、東西の流れを打ち消せても対岸へ向かう速度は生じません。真北へ進むには流速が船の水に対する速さより小さいことが必要です。速度が一定という条件の下では、進路の可否はこの成分の比較で判定できます。

引く順番を間違えた答案を直す

図3は岸に対して東へ進む2つの物体を表します。Aが東へ7 m/s、Bが東へ2 m/sなら、Bから見たAは東へ5 m/sです。誤答「Bから見たAは西へ5 m/s」は、Bの速度からAの速度を引いた場合に対応します。

原因は、引き算の順番を速さの大小で決めてしまうことです。修正するときは、まず「見られる物体Aの岸に対する速度 − 観測者Bの岸に対する速度」と書きます。東を正とすれば7 − 2 = 5 m/sです。Bから見ると、1秒ごとにAとBの東向きの位置の差が5 m広がるので、東向きという答えを位置関係でも確認できます。

逆にAから見たBなら2 − 7 = -5 m/sで、西向きです。2つの答えは観測者と対象を入れ替えた分だけ逆向きになります。速さの数値だけが一致しても、向きまで確認しなければ正解とは言えません。

また、船の水に対する速度と岸に対する速度を同じ矢印として扱う誤りもあります。流れがあると両者の差は水の岸に対する速度です。水が静止する極端な場合に両者が一致するか、水が動く場合に差が流速と一致するかを確かめると、合成式の異常に気づきやすくなります。

練習：立場を変えて読む

各問で東をxの正、北をyの正とし、速度はそれぞれ一定とします。答えは指定された形で、速度には単位と方向を付けてください。図は必要に応じて自分で描きます。

1. 岸から見て、歩行者Pは東へ8 m/s、歩行者Qは東へ3 m/sで動きます。Qから見たPの速度と、Pから見たQの速度を整数で求めてください。
2. 静かな空気に対し航空機は北へ12 m/sで進み、空気は地面に対して西へ5 m/sで流れます。地面から見た航空機の速度の成分と速さを整数で求めてください。
3. 川幅が90 mで、水が西へ1 m/sで流れています。船は水に対して真北へ6 m/sで進みます。到着時刻と真北の対岸からのずれを整数と単位と方向で求めてください。
4. ある物体の地面に対する速度は、2 s間に (1, 2) m/sから (5, -4) m/sへ変化しました。平均加速度の成分を整数と単位で求めてください。

解答と確かめ

1. Qから見たPは8 − 3 = 5 m/sで東向きです。Pから見たQは3 − 8 = -5 m/sなので西向き5 m/sです。1秒後の2人の位置の差は、同じ地点から出発したと考えると東へ5 mです。観測者を逆にすれば差も逆向きになり、両方の答えと合います。

2. 航空機の空気に対する速度は (0, 12) m/s、空気の地面に対する速度は (-5, 0) m/sです。合成すると (-5, 12) m/sで、西へ5 m/s、北へ12 m/sです。速さは√(5² + 12²) = 13 m/sです。この成分から空気の速度 (-5, 0) を引くと (0, 12) m/sに戻り、問題の条件に一致します。

3. 岸から見た船の速度は (-1, 6) m/sです。北へ90 m進む時刻は90 ÷ 6 = 15 sです。その間の東向きの変位は -1 × 15 = -15 mなので、真北の対岸から西へ15 mです。15 sを戻すと北へ6 × 15 = 90 m、西へ1 × 15 = 15 mとなり、対岸の位置とずれを再現します。

4. 速度の変化は (5 − 1, -4 − 2) = (4, -6) m/sです。2 sで割ると平均加速度は (2, -3) m/s²です。成分は東向き2 m/s²、北向き -3 m/s²です。各成分の変化量を2倍で戻して初めの速度に加えると (1 + 4, 2 − 6) = (5, -4) m/sになり、後の速度と合います。平均加速度はこの2秒間の変化を表し、途中の各瞬間の加速度が一定だったとまでは言えません。

計算の途中で判断を止める場所

船が対岸に着く問題では、最初に北向きの速度が正かを調べます。0なら川幅が正のとき到着時間は求まりません。負なら船は対岸から遠ざかるため、正の到着時刻を答えることはできません。式から負の時刻が出た場合、それは出発後の到着を意味しないと読み取ります。

速度の成分を求めた後には、その成分が問題で与えられた速さを再現するか確認します。目標の方向を優先して必要な成分を置けても、船が出せる速さを超えていれば条件は成立しません。一方、成分が許される範囲でも、対岸への成分が0なら到着できません。向きと大きさの条件を両方確かめることで、計算結果を実際の場面に結びつけられます。

手元に残す要点

観測者を明記し、対象の速度から観測者の速度を引きます。
合成と分解は同じ座標の成分ごとに行います。
速さは成分の二乗の和の平方根です。
必要な成分が元の速さを超える場合、その進路は取れません。
答えを位置や元の速度に戻して向きと単位を確かめます。

自分の答案から詰まりを見つける

答えの大きさは合うのに向きが逆なら、まず引き算の左右に対象と観測者の名前を添えてください。成分は合うのに速さが違うなら、直角な矢印を描き、三平方の定理を使ったかを見直します。時刻が合うのに到着位置が違う場合は、岸に対する速度を使ったか、同じ時刻を両成分に使ったかを調べます。

個別指導で確認する際には、完成した式を眺めるだけでなく、どの矢印が水から見た船で、どれが岸から見た水なのかを本人の言葉で指してもらうと、立場の取り違えを見つけられます。進めない条件についても、必要な成分を矢印で表せるかを確かめます。観測する立場を固定すれば、相対速度の符号には理由が残ります。