数検4級 二等辺三角形と直角三角形｜性質と合同条件を選び証明につなげる｜武蔵野個別指導塾

等しい角に向かい合う辺を選び、二等辺三角形の底角や直角三角形の斜辺を使って合同の根拠をたどります。

よくあるのは、等しい角から辺を選び直す復習紙の前で、どの辺が角に向かい合うのか迷う場面です。角のすぐ横にある辺を選ぶと、二等辺三角形の逆の性質を使ったつもりでも、違う辺を等しいと書いてしまいます。頂点の名前をたどり、角と向かい合う辺を指で示すところから始めましょう。

条件から何を取り出すか

二等辺三角形と直角三角形の問題では、図の見た目から答えを決めず、与えられた条件を使える形に直します。次のような型を見分けると、最初の一歩を選びやすくなります。

1つ目は、2辺が等しい三角形で、残りの角を求める型です。等しい辺に向かい合う角が等しいことと、三角形の内角の和が180°であることを使います。頂角が与えられた場合と底角が与えられた場合では、先に引く数が違います。

2つ目は、等しい角から等しい辺を示し、二等辺三角形だと判断する型です。これは辺から角へ進む性質の逆です。角の両側の辺ではなく、角を含まない向かい側の辺に注目します。

3つ目は、2つの直角三角形について、条件を照らして合同を示す型です。直角をはさむ辺と斜辺を区別し、対応する頂点の順番をそろえてから合同条件を書きます。合同が示された後なら、対応する辺や角が等しいと結論できます。

角度を求める問題と証明する問題は、同じ図でも求めるものが違います。数値を出すだけでなく、等しいといえる理由を問われたら、仮定から結論までの道筋を言葉にします。

辺と角の向かい合う関係

図1のように、三角形ABCで辺ABと辺ACが等しいとき、BCを底辺、角Aを頂角、角Bと角Cを底角と呼びます。このとき、2つの底角は等しくなります。辺ABに向かい合うのは角C、辺ACに向かい合うのは角Bです。

図1では、等しい辺を同じ印で示しています。底角が等しいという性質は、辺が等しいことから角について述べています。一方、角Bと角Cが等しいという条件から出発するときは、その逆を使ってABとACが等しいといえます。逆も成り立つことを確認して使うため、元の性質と混同せず、出発点を見ます。

例えば角Bを見たとき、点Bを端に含まない辺はACです。角Cに向かい合う辺はABです。図の向きを回しても、この頂点と辺の関係は変わりません。底辺という名前は、紙の下側に水平にある辺という意味ではありません。

直角三角形では、直角に向かい合う辺を斜辺と呼びます。2つの直角三角形について、斜辺と他の1辺がそれぞれ等しいとき、または斜辺と1つの鋭角がそれぞれ等しいとき、合同です。鋭角は90°より小さい角です。これらは直角であることが前提なので、直角の印や条件を先に確認します。

斜辺以外の辺や鋭角は、対応する位置をそろえて比べます。長そうに見える辺を斜辺と決めるのではなく、直角の向かい側を選びます。直角三角形の辺の長さを別の公式で求める話には進まず、ここでは合同の根拠に絞ります。

基本例題：底角を求める

問題。三角形ABCはAB = ACの二等辺三角形で、頂角Aは40°です。底角Bと底角Cの大きさを、それぞれ度を単位とする整数で求めてください。

図2のように、等しい辺ABとACの向かいの角に注目します。図の印は条件を整理するためのもので、見た目の大きさを測って答えを決めるものではありません。

AB = ACなので、二等辺三角形の底角は等しいという性質から、角B = 角Cです。この共通の大きさをx°とおきます。三角形の内角の和は180°なので、次の式になります。

40 + x + x = 180

同じ大きさの角が2つあるので、左辺を整理します。

40 + 2x = 180

両辺から40を引きます。

2x = 140

両辺を2で割ると、x = 70です。したがって、角Bは70°、角Cも70°です。

元の図へ戻すと、2つの底角は70°で等しく、40°と合わせて40 + 70 + 70 = 180°です。与えられた頂角と内角の和の両方に合います。底角が等しい根拠を先に書いたので、2つを同じxとおく理由も明確です。

もし40°を底角と読み違えると、違う式ができます。文字Aが頂角に付いているか、等しい2辺が集まる頂点かを、式の前に確かめてください。図が上下逆になっても、頂角は等しい2辺にはさまれた角です。

もう一歩：直角三角形を見つけて証明する

問題。三角形PQRはPQ = PRの二等辺三角形です。点Hは辺QR上にあり、PHはQRに垂直です。三角形PQHと三角形PRHが合同であることを証明し、QHとRHの関係を述べてください。

まず、垂直という条件から角PHQと角PHRはいずれも90°です。したがって、三角形PQHと三角形PRHは直角三角形です。点Hはどちらの三角形でも直角の頂点なので、対応はPとP、QとR、HとHです。

証明を順に書きます。三角形PQHと三角形PRHにおいて、仮定よりPQ = PRです。また、PHは共通な辺なのでPH = PHです。角PHQ = 角PHR = 90°ですから、PQとPRはそれぞれ斜辺です。直角三角形の斜辺と他の1辺がそれぞれ等しいので、三角形PQHと三角形PRHは合同です。よって、合同な図形の対応する辺からQH = RHです。

ここでQH = RHを最初から仮定にしてはいけません。それは合同を示した後に得る結論です。また、PHが共通であることは、2つの辺が図の中で同じ線分を指しているという事実です。斜辺が等しいという仮定と合わせて使えます。

条件の分かれ目は、直角が確定しているかどうかです。PHがQRに垂直と書かれていなければ、図で垂直に見えても直角三角形の合同条件は使えません。その場合は、与えられた別の条件を調べる必要があります。反対に直角がわかっていても、斜辺に対応しない2辺を斜辺として比べてはいけません。

誤答をたどり直す

角B = 角Cの三角形ABCで「AB = BC」と答えたとします。原因は、角Bの隣にある辺を選び、角に向かい合う辺を調べなかったことです。図3のように角Bの向かいはAC、角Cの向かいはABです。二等辺三角形の逆の性質から、正しくはAC = ABです。

図3では、角の名前に含まれる頂点を端にもたない辺を選ぶと対応を確かめられます。BCは角Aに向かい合います。角Aについて条件がないのに、BCを等しい辺の一方に加えることはできません。

別の誤りとして、直角三角形で「斜辺と1つの角が等しいから合同」と書き、等しい角として2つの直角を挙げる場合があります。直角はどちらにもあるため、斜辺と直角だけでは形は決まりません。斜辺のほかに対応する1辺か、対応する鋭角が等しいことを確認してから条件を選びます。

証明の最後で対応順を変える失敗にも注意します。三角形PQHと三角形PRHなら、QとR、HとHが対応します。結論がQH = RHなら、この順から確かめられます。途中で別の頂点に対応を変えると、合同そのものが正しくても結論を読み違えます。

練習：条件を線と言葉に直す

次の4問は、先にまとめて考えてから解答を見てください。角度は度を単位とする整数で答え、証明では根拠と対応する頂点を示します。

1. 三角形DEFはDE = DFで、頂角Dが52°です。角Eと角Fをそれぞれ求めてください。
2. 三角形JKLで角J = 48°、角K = 48°です。等しい2辺を辺の名前で答え、角Lを求めてください。
3. 直角三角形ABCと直角三角形DEFで、角Cと角Fは直角です。AB = DE、AC = DFです。2つの三角形が合同であることを証明し、BCに対応する辺を答えてください。
4. 三角形XYZはXY = XZで、角Yが37°です。角Xと角Zをそれぞれ求めてください。

解答と確かめ

1. 底角は等しいので、それぞれをa°とします。52 + a + a = 180より、2a = 128、a = 64です。角E、角Fはともに64°です。52 + 64 + 64 = 180で、等しい底角という条件にも戻ります。

2. 等しい角J、角Kに向かい合う辺は、それぞれKL、JLです。よってKL = JLです。角Lは180 − 48 − 48 = 84°です。48 + 48 + 84 = 180で、角Jと角Kも等しいため、元の条件と一致します。

3. 三角形ABCと三角形DEFにおいて、角Cと角Fはともに直角なので、ABとDEは斜辺です。仮定よりAB = DE、AC = DFです。直角三角形の斜辺と他の1辺がそれぞれ等しいので、三角形ABCと三角形DEFは合同です。対応はAとD、BとE、CとFであり、BCに対応する辺はEFです。斜辺同士と直角から伸びる辺同士が、それぞれ元の条件に合っています。

4. XY = XZなので、底角Yと底角Zは等しく、角Z = 37°です。内角の和から角X = 180 − 37 − 37 = 106°です。106 + 37 + 37 = 180で、2つの底角も等しく、元の二等辺三角形の条件に合います。

練習2は角から辺へ、練習4は辺から角へ進みます。同じ三角形の性質でも矢印の向きが逆なので、何が与えられ何を求めるかを、問題文の最初に印を付けて区別します。練習3は辺の長さを計算するのではなく、合同条件の名前と対応を使う問題です。

条件が足りるかを点検する

練習3で、もしAB = DEという斜辺の条件だけが書かれ、AC = DFがなかったらどうでしょうか。直角と斜辺の長さが同じでも、直角をはさむ辺の組み合わせは変えられます。したがって、その条件だけでは合同とは決められません。図を重ねたように見えても、根拠としてもう1つの条件が必要です。

同様に、直角三角形で斜辺と鋭角を使うときも、どの角が対応するかを読みます。例えば三角形ABCと三角形DEFで角Cと角Fが直角、AB = DE、角A = 角Dなら、斜辺と1つの鋭角がそれぞれ等しいので、対応順をABCとDEFにして合同を示せます。角Bは角Aと合わせて90°、角Eは角Dと合わせて90°なので、残りの鋭角も等しくなります。

一方、角A = 角Eと与えられた場合は、AとEが対応します。直角のCとFも対応するため、残るBとDが対応します。この場合、同じ三角形ABCに対してDEFという順に並べず、EDFと並べて対応を表します。記号を並べる前に、直角、与えられた鋭角、残った頂点という順で組を作ると間違いを見つけられます。

二等辺三角形の角度でも、結果を条件へ戻すことが判断の支えです。底角が等しくても、3つの角の和が180°でなければ答えは成立しません。逆に角の和が180°でも、指定された2つの底角が異なれば、等しい辺という条件を満たしません。両方を点検して初めて、計算結果と図の条件がつながります。

また、二等辺三角形の条件が「角が2つ等しい」と示されているとき、等しい辺を先に図へ書き込みたくなるかもしれません。その印は与えられた条件ではなく、逆の性質を使って得た結果です。証明では「2つの角が等しいので、その向かい合う2辺が等しい」と理由を添えます。先に印を付けるときも、あとから根拠を書き落とさないようにします。

求める辺が合同の対応する辺であるかは、頂点の組で確認します。片方の辺の両端をそれぞれ対応先に移し、その2点を結ぶ辺が答えです。片方の端だけを合わせて判断すると、共有する辺と結論にしたい辺を取り違えることがあります。

覚えておくこと

二等辺三角形では、等しい辺に向かい合う底角が等しくなります。
2つの角が等しければ、向かい合う2辺も等しくなります。
直角三角形では、斜辺と他の1辺、または斜辺と1つの鋭角がそれぞれ等しければ合同です。
合同を示した後に、対応する辺や角の等しさを結論に使います。

どこで止まったかを見分ける

お子さまが角から辺を選べないときは、角の頂点を隠して、残った2頂点を結ぶ辺を指せるか確かめます。選べるのに証明が止まる場合は、仮定と結論に別の印を付け、結論を根拠に戻していないかを見ます。

個別指導で確かめるなら、直角の位置、斜辺、対応する頂点を順に言葉にしてもらうと、合同条件を選ぶ前の迷いが見えます。辺と角の対応を確かめた一行が、その先の証明を支えます。