数検4級 一次関数による料金比較｜同額になる点と利用範囲を照らして判断する｜武蔵野個別指導塾

基本料金と時間ごとの料金を式にし、同額の交点が利用可能な時間に含まれるかを確かめます。

よくあるのは、交点より手前と後で選択が逆になったメモを見て、どちらの料金が安いか混乱する場面です。初めに払う金額が小さくても、利用時間が長くなると、時間あたりの料金の違いが合計に効いてきます。同額の時刻を見つけた後、利用できる時間の範囲と合わせて判断しましょう。

ここで扱うのは、基本料金と時間に応じた料金を合わせる、自作の施設利用プランです。税や追加条件は問題に書かれたものだけを使います。料金表を式にし、式を比べ、その結果を元の場面に戻すまでが一続きの作業です。

比べる問題の3つの型

1つ目は、決められた利用時間で2つの料金を計算する型です。たとえば、基本料金と1時間あたりの料金がそれぞれ示されたら、時間を掛けて基本料金を足します。基本料金の大小だけで判断すると、長く利用した場合の増え方を見落とします。

2つ目は、同じ金額になる利用時間を求める型です。2つの合計をそれぞれ式で表し、等しいとして方程式を作ります。答えは時間だけでなく、そのときの金額まで求める場合があります。グラフの交点は、横軸に時間、縦軸に料金をとったときの「同じ時間で同じ金額」の点です。

3つ目は、利用できる範囲の中でどちらを選ぶか考える型です。計算上の同額の時間が負になったり、上限より大きくなったりすることもあります。その場合、直線を延ばして得た交点を、そのまま実際に利用できる境目として扱えません。また、時間が整数に限られる場合は、境目が整数でなければ等しい料金となる利用時間はありません。

基本料金と増える分を分ける

利用時間を x 時間、合計料金を y 円とします。基本料金を b 円、1時間あたりの料金を a 円とすると、y = ax + b です。b は利用時間が 0 時間のときに式が示す金額で、a は時間が 1 時間増えるごとに料金が増える額です。図1のように、時間に比例して増える分と、初めに決まる分を分けて読めます。

たとえば、基本料金が 300 円、1時間あたり 80 円なら、x 時間の料金は 80x + 300 円です。4時間なら 80 × 4 + 300 = 620 円です。時間あたりの料金 80 円を基本料金に掛けるのではなく、利用時間に掛けます。単位を見ると、円と時間を混ぜずに済みます。

表を作る場合は、両プランに同じ利用時間を入れます。時間をそろえずに金額だけ比べても、公平な比較になりません。交点を表す組は、時間と金額をこの順に並べた (x, y) です。横軸と縦軸の意味が逆になると、読み取った数字の単位も逆になってしまいます。

料金の差を考える方法もあります。A の料金から B の料金を引き、結果が負なら A が安く、正なら B が安いと判断できます。差が 0 のときは同額です。どちらを先に引いたかを明記しておけば、符号と結論が結び付きます。

利用時間の刻み方にも注意します。たとえば 1 時間単位と書かれていれば、1 時間半の利用は選べません。一方、途中の時間も利用できる条件なら、1 時間と 2 時間の間にも判断すべき値があります。表の数値だけで判断する前に、問題に刻み方が書かれているかを見て、表に載せる値と実際に選べる値を区別します。

直線の位置を使う場合は、同じ横座標の2点の高さを比べます。上にある直線の方が料金は高く、下にある直線の方が安いことになります。交点で高さが同じになり、傾きの違う直線ではその前後で上下関係が入れ替わります。図を正確に読むには、横軸の時間と縦軸の料金の目盛りをそれぞれ確認する必要があります。

2つの時間あたりの料金が同じなら、料金の差は時間が増えても変わりません。基本料金も同じなら範囲内のどの時間でも同額で、基本料金が違えば同額にはなりません。この場合は、交点が必ず1つあると決めつけず、差を整理して考えます。

基本例題：同額の境目を見つける

ある工作室の利用プラン A は、基本料金 200 円と1時間あたり 100 円を合わせた金額です。プラン B は、基本料金 500 円と1時間あたり 50 円を合わせた金額です。0 時間以上 10 時間以下の範囲で、時間は途中の値もとれるものとします。同額になる時間を時間単位で、そのときの金額を円単位で求め、それぞれが安い時間の範囲を答えてください。

A の合計を y 円、利用時間を x 時間とすると、基本料金と増える分から

A: y = 100x + 200

です。同じ x 時間について、B は

B: y = 50x + 500

となります。図2のように、同じ時間に2つの金額が一致する点を探します。

同額の条件は、2つの右辺が等しいことです。式を順に整理します。

100x + 200 = 50x + 500

100x − 50x = 500 − 200

50x = 300

x = 6

したがって、同額になるのは 6 時間です。この値は指定された 0 時間以上 10 時間以下の範囲に入っています。A の式へ戻すと、100 × 6 + 200 = 800 円です。B でも 50 × 6 + 500 = 800 円となり、条件どおり一致します。交点は (6, 800) です。

安い範囲は、差を使うと根拠を示せます。A の料金から B の料金を引くと、

(100x + 200) − (50x + 500) = 50x − 300 = 50(x − 6)

です。x が 6 より小さければ x − 6 は負なので、A の料金の方が小さくなります。x が 6 より大きければ差は正なので、B の方が安くなります。6 時間では差が 0 です。指定範囲と重ねると、0 時間以上 6 時間未満は A、6 時間は同額、6 時間より長く 10 時間以下は B です。

場面へ戻して確かめると、2 時間なら A は 400 円、B は 600 円です。8 時間なら A は 1000 円、B は 900 円です。境目の両側で結論が入れ替わることも見えます。ただし2点の計算だけでは全範囲の根拠にならないため、差の式とあわせて使います。

境目が利用できるとは限らない

別の展示室では、プラン C が基本料金 120 円と1時間あたり 90 円、プラン D が基本料金 400 円と1時間あたり 50 円です。利用時間は 0 時間以上 5 時間以下で、途中の値もとれるものとします。同額になる利用時間があるか、また範囲内でどちらが安いかを答えます。

x 時間の料金を等しいとすると、

90x + 120 = 50x + 400

40x = 280

x = 7

です。7 時間なら C は 750 円、D も 750 円ですが、7 時間は利用できる上限の外です。したがって、この条件で同額になる利用時間はありません。

差は C から D を引いて 40x − 280 = 40(x − 7) です。利用範囲では x は 7 より小さいので、この差は常に負です。よって範囲内では C が安くなります。端の 0 時間では 120 円と 400 円、5 時間では 570 円と 650 円で、結論と一致します。

ここでの分かれ目は、計算した時間が条件内にあるかどうかです。交点が範囲の端にある場合、その端は同額として含めます。時間が整数に限られる場合は、小数や分数の境目を求めても、実際に選べる整数の時間を別に調べます。範囲の指定を読む前に「交点より右側」と答えを確定しないようにしましょう。

誤答を原因から直す

基本例題で「6 時間より長くても A が安い」と答えたとします。原因は、基本料金が安い A をずっと安いと思い、1時間ごとの増え方を比較していないことです。A は 1 時間につき 100 円、B は 50 円増えるため、同額になった後は A の方が高くなります。

図3では、6 時間で同額になった後の 8 時間を比べています。A は同額の 800 円から 2 時間で 200 円増え、B は 100 円増えます。差の式 50(x − 6) も 8 時間で正なので、A が高いと読めます。

もう1つの誤りは、交点の 6 を料金の 6 円として書くことです。横軸の値には時間、縦軸の値には円を付けます。x = 6 を両方の料金式へ入れて 800 円を確かめ、(6, 800) と順序を保てば直せます。

計算が合っていても、境目を両方の「安い範囲」に含める誤りがあります。同額の時刻には一方が他方より安いとはいえません。「未満」「より長い」「以下」を使い、同額の時刻を別に書くと端の扱いが明確になります。

練習問題

どの問題も料金は書かれた2項目の合計とし、途中の値をとれるかどうかは各条件に従います。金額は円、時間は時間単位で答えてください。

1. 貸し工具のプラン E は基本料金 240 円と1時間あたり 70 円、プラン F は基本料金 440 円と1時間あたり 30 円です。0 時間以上 8 時間以下で途中の時間も利用できます。同額になる時間と金額、各プランが安い時間の範囲を求めてください。
2. 音声ブースのプラン G は基本料金 180 円と1時間あたり 60 円、プラン H は基本料金 300 円と1時間あたり 40 円です。利用は 1 時間以上 4 時間以下で途中の時間も可能です。同額になる利用時間の有無と、範囲内で安いプランを答えてください。
3. 作業机のプラン J は基本料金 150 円と1時間あたり 80 円、プラン K は基本料金 300 円と1時間あたり 50 円です。利用時間は 0 時間以上 8 時間以下の整数に限ります。同額となる利用時間と、その前後で安いプランを答えてください。
4. 練習室のプラン L は基本料金 100 円と1時間あたり 90 円、プラン M は基本料金 200 円と1時間あたり 60 円です。利用時間は 0 時間以上 6 時間以下の整数に限ります。同額となる利用時間の有無と、安いプランを時間ごとに分けて答えてください。

練習の答えと道筋

1. E と F の式はそれぞれ 70x + 240、30x + 440 です。同額なら 70x + 240 = 30x + 440 なので、40x = 200、x = 5 です。どちらも 590 円になります。E から F を引いた差は 40(x − 5) ですから、0 時間以上 5 時間未満は E、5 時間は同額、5 時間より長く 8 時間以下は F です。元の料金を 5 時間で計算すると、240 + 70 × 5 = 590、440 + 30 × 5 = 590 と一致します。

2. 60x + 180 = 40x + 300 を解くと、20x = 120 から x = 6 です。6 時間で双方 540 円ですが、指定された 1 時間以上 4 時間以下には入りません。差 G − H は 20(x − 6) なので、この範囲では負です。G が安く、同額の利用時間はありません。1 時間で 240 円と 340 円、4 時間で 420 円と 460 円となり、範囲の端でも条件に合います。

3. 80x + 150 = 50x + 300 から、30x = 150、x = 5 です。5 時間は選べる整数で、両方 550 円です。J − K は 30(x − 5) なので、0、1、2、3、4 時間では J、6、7、8 時間では K が安くなります。5 時間の料金は 150 + 80 × 5 と 300 + 50 × 5 の両方から 550 円と確かめられます。

4. 90x + 100 = 60x + 200 から、30x = 100、x = 10/3 です。料金が等しくなる計算上の時間は 10/3 時間ですが、整数時間という条件に合いません。L − M は 30x − 100 です。0、1、2、3 時間では負なので L が安く、4、5、6 時間では正なので M が安くなります。3 時間では L が 370 円、M が 380 円、4 時間では L が 460 円、M が 440 円です。10/3 時間を式に戻せば両方 400 円になり、等しい点の計算自体も確認できます。

要点を残す

基本料金と時間あたりの料金を分け、同じ時間 x で2つの式を作ります。 同額の式を解き、時間と料金の両方を元の条件に戻します。 差の符号で安い方を判断し、同額の境目は別に扱います。 最後に時間の範囲と、整数に限るかどうかを確認します。

つまずいた位置を見つける

お子さまが式を作る前に止まるときは、基本料金と1時間あたりの金額に別の印を付け、2時間分なら何円増えるかを言葉で確かめます。式は作れても結論が逆になるときは、どちらからどちらを引いた差なのかを確認し、差が正のときに高い方を指してもらいます。

個別指導で確認するなら、解いた時間を両方の式に戻せるか、さらに時間の範囲に入るかを順番に見ます。グラフだけを見て判断した場合も、横軸と縦軸の単位を言葉にすると、同額の時間と料金を取り違えた位置が見つかります。料金比較は、式の答えを利用条件へ戻して初めて決まります。