高校情報I 論理演算と真理値表—条件を組み合わせて入力ごとの結果を整理する｜武蔵野個別指導塾

ORとXORの両方が真の行や括弧の内側を、誤答からたどり直す手がかりは真理値表です。

よくあるのは、2つの条件の「どちらかを満たす」と「片方だけを満たす」を同じ意味で読んでしまう場面です。例えば、提出物と確認欄のどちらかが済んでいるという条件には、両方が済んでいる場合も含まれます。片方だけが済んでいるという条件には、両方が済んでいる場合は含まれません。この差を入力の組ごとに整理する道具が真理値表です。自分の範囲表や授業ノートで記号の使い方を確かめながら、結果を出す順序を練習しましょう。

問題で求められるもの

出題の型には、演算の名前から表の空欄を埋めるものがあります。入力が両方とも1の行で、ORなら1、XORなら0です。名前を覚えたつもりでも、その行の値が逆になると表全体を間違えます。まず各演算が1を返す条件を言葉で書き、その条件を各行へ当てはめましょう。

別の型は、文章の条件を演算で表す問題です。「両方」「少なくとも一方」「一方だけ」「〜でない」の違いが手がかりです。文章中に「または」があっても、問題が両方を含むと定めているか、一方だけと定めているかを確認します。日常の言葉だけで判断せず、両方が成り立つ場合を条件に戻して考えます。

さらに、括弧のある式を表にする型もあります。入力の列の隣に途中の列を作り、括弧の内側から順に値を入れます。結果だけを暗算すると、NOTがどの範囲にかかるかや、途中の値の取り違えを見直しにくくなります。ここでは論理演算と表の読み方を扱い、回路を組み合わせる問題には立ち入りません。

0と1が表す判断

真理値は、条件が成り立つかどうかを表します。以下では成り立つときに1、成り立たないときに0を使います。数としての足し算や引き算をしているのではなく、条件の真偽を決めています。例えば「提出済み」を1と決めた場合、0は未提出を表します。問題が何を1とするかは、その都度確認してください。

図1のように、2入力の表ではAとBの組を4通り並べます。順序は、Aを0のままBを0、1と変え、次にAを1にしてBを0、1と変える形にします。行順が別に指定されていれば指定に従います。どの順でも入力の組を重複や漏れなく並べることが必要です。

ANDは両方が1のときに1です。ORは少なくとも一方が1のときに1で、両方が1の行も含みます。XORは排他的論理和と呼び、2つの入力が異なるとき、つまり一方だけが1のときに1です。NOTは1つの値を反転し、0を1、1を0にします。図1の右端はAに対するNOTであり、Bを反転した列ではありません。

最後の行を横に読むと、両方が1なのでANDとORは1ですが、XORは0です。最初の行は両方が0なので、AND、OR、XORはいずれも0です。入力が異なる2行ではORとXORはともに1となるため、その2行だけでは違いを見分けられません。表の4行をまとめて見る習慣が有効です。

NOTを式のどこにかけるかにも注意します。NOT A OR B は、Aだけを反転してからBとORを取ります。一方、NOT (A OR B) は、AとBのORを求めてから、その結果を反転します。以下の式は括弧内を先に計算し、NOTが直後の値または括弧全体にかかるものとします。授業で別の記号を使う場合も、まず対象となる範囲を確認します。

基本例題：受け取りの条件を表にする

受付で、Aを「用紙を持っている」、Bを「整理票を持っている」とします。それぞれ持っていれば1、持っていなければ0です。受け取り条件を「用紙または整理票の少なくとも一方を持ち、かつ整理票を持っていない」とします。入力の行順を 00、01、10、11 とし、途中列 A OR B、NOT B と結果の列を持つ真理値表を完成させてください。

条件を式に直すと (A OR B) AND (NOT B) です。「少なくとも一方」に両方を含め、その判定と「整理票を持っていない」の両方が必要なので、最後にANDを使います。図2のように、先に2つの途中列を作り、同じ行の値を最後に合わせます。

1行目は、どちらも持っていません。A OR Bは0、NOT Bは1なので、両方が1とはならず結果は0です。 2行目は、整理票だけを持っています。A OR Bは1ですが、NOT Bは0なので結果は0です。 3行目は、用紙だけを持っています。A OR BとNOT Bがともに1なので、結果は1です。 4行目は、両方を持っています。ORは1ですが、整理票を持っているためNOT Bは0で、結果は0です。

得られた結果を元の条件に戻しましょう。受け取り条件を満たす3行目では、用紙を持つため「少なくとも一方」が成り立ち、整理票を持たない条件も成り立ちます。ほかの3行は、少なくとも一方を持たないか、整理票を持たない条件に反するため、受け取れません。結果の列だけを見るのでなく、0の行が除かれる理由も言えると確かめになります。

式に直接値を代入するときも、同じ順番を守ります。例えば4行目なら、ORの結果1とNOT Bの結果0を最後にANDへ渡します。先にNOTをAへかけたり、最後のANDをORに変えたりすると、途中列と文章が対応しなくなります。表の列名を式から順に写してから計算すると、どの値を使ったかが残ります。

少し難しい例題：否定する範囲を分ける

掲示の確認について、Aを「見出しを確認した」、Bを「本文を確認した」とします。確認した状態を1とし、行順を 00、01、10、11 とします。条件Pは「両方の確認が終わっているわけではない」、条件Qは「どちらも確認していない」です。PとQをそれぞれ式に表し、途中列と結果を示してください。両者の結果が異なる入力も答えてください。

Pは、まず両方の確認を A AND B で判定し、その結果を反転します。式は NOT (A AND B) です。Qは、見出しを確認していないことと、本文を確認していないことの両方が必要です。式は (NOT A) AND (NOT B) です。

結果が異なるのは01と10の2行です。01では本文だけを確認しているので、両方が終わっているわけではなくPは1です。しかし、どちらも未確認というQは0です。10でも見出しだけを確認しているので、同じようにPは1、Qは0です。

00では確認が両方とも未完了ですから、PとQはともに1です。11では両方とも完了しているためPとQはともに0です。「両方が終わっていない」という言い方には解釈が揺れることがあるため、設問の文章をそのまま読み、必要なら「両方が終わっているわけではない」のように否定の対象を明確にします。式が与えられている場合は、括弧に含まれる範囲が判断の基準です。

誤答から条件へ戻る

基本例題で、AとBがともに1の行の A OR B を0とした誤答を考えます。原因は、ORを「片方だけ」と覚えて、XORの条件を当てはめたことです。図3のように、両方が1でも少なくとも一方は1なので、ORの値は1に直します。その後、NOT Bが0なので、最後のANDは0のままです。

この行では途中のORを間違えても、最後の結果はたまたま正答と同じ0になります。結果欄だけが合っていても途中の理解まで確かめたことにはなりません。逆に、Aが0でBが1の行はORもXORも1なので、そこだけを試しても混同には気づけません。両方が1の行を選んで演算そのものを比べることが修正の手がかりです。

もう1つの誤りは、NOT (A OR B) を (NOT A) OR B と読み替えることです。例えばAが0、Bが1なら、前者はORの1を反転して0、後者はNOT Aが1なのでORの結果が1です。同じ入力から異なる結果が出るため、括弧を消してはいけません。反転する範囲に印を付け、途中の値を書いてから外側へ進みます。

表が完成した後には、4つの入力組がそろっているか、列名が式の部分と一致するか、1行ずつ同じ行の値を使ったかを点検します。条件に合う行を探す問題では、見つけた行だけでなく残りの行にも戻ります。0の行を誤って落としたり、条件を満たす行を数え忘れたりするのを防げます。

練習：条件を表と照らす

次の4問は、各条件が成り立つ場合を1、成り立たない場合を0とします。2入力の行順はすべて 00、01、10、11 とし、答えの列はその順に示してください。途中列も求める問題では、指定した列を省かずに書きます。

1. Aを「カードに印がある」、Bを「封筒に印がある」とします。少なくとも一方に印がある条件と、一方だけに印がある条件をそれぞれ演算で表し、結果の列を答えてください。両者が異なる入力も答えます。
2. Aを「窓を閉めた」、Bを「照明を消した」とします。両方の作業が終わっているわけではない条件を式にし、A AND Bとその結果の列を答えてください。条件が0になる入力を、元の作業の状態で説明します。
3. Aを「赤い札を選ぶ」、Bを「青い札を選ぶ」とします。条件を「一方だけを選び、かつ赤い札を選ばない」とします。A XOR B、NOT A、最後の結果を列にし、条件を満たす入力を答えてください。
4. Aを「資料を読んだ」、Bを「図を見た」とします。Rを NOT (A OR B)、Sを (NOT A) OR B とします。A OR B、NOT A、R、Sの列を答え、RとSの結果が異なる入力をすべて挙げてください。

答えと解き方

1. 少なくとも一方は A OR B で、結果は順に 0、1、1、1 です。一方だけは A XOR B で、結果は順に 0、1、1、0 です。異なる入力は11です。両方に印があるとき、少なくとも一方には該当しますが、一方だけには該当しません。00ではどちらにも印がないので両方の条件が0、01と10では片方に印があるので両方が1です。

2. 式は NOT (A AND B) です。A AND Bの列は 0、0、0、1、結果の列は 1、1、1、0 です。結果が0になるのは11で、窓を閉めて照明を消した状態です。両方の作業が完了しているので、「両方が終わっているわけではない」は成り立ちません。残りの行では少なくとも一方が未完了なので、条件は成り立ちます。

3. A XOR Bの列は 0、1、1、0、NOT Aの列は 1、1、0、0 です。これらを行ごとにANDで合わせると結果は 0、1、0、0 です。条件を満たす入力は01で、青い札だけを選んでいます。赤い札を選ばず、一方だけを選ぶという元の2条件の両方に合います。10は一方だけを選びますが赤い札を選ぶので除かれ、00と11は一方だけという条件を満たしません。

4. A OR Bは 0、1、1、1、NOT Aは 1、1、0、0 です。RはORの結果を反転するので 1、0、0、0、SはNOT AとBのORなので 1、1、0、1 です。異なる入力は01と11です。01では図を見ているためRは0ですが、資料を読んでいないためSは1です。11では両方を行ったためRは0、Bが1のためSは1です。00と10はそれぞれ両者が1、0で一致します。

覚えておくこと

• ANDは両方が1、ORは少なくとも一方が1で1です。
• XORは入力が異なると1、NOTは対象の値を反転します。
• 括弧の中から途中列を作り、同じ行の値を外側へ渡します。
• 1の行と0の行を元の条件に戻し、入力の漏れも点検します。

どこで判断が変わったかを探す

結果が合わなかったときは、答えの列を消す前に、最初に食い違った途中列を探してください。ORとXORで両方が1の行だけ違うなら、それぞれの言葉の意味を表へ戻します。途中列は正しく最後だけ違うなら、同じ行の2つの値を最後の演算へ渡したかを確かめます。括弧の列から違うなら、NOTをかけた範囲を指で示して説明してみましょう。

個別指導で確かめる場合は、完成した答えに加え、列名を付けた下書きと、0にした行の理由を持っていくと判断の切れ目が見えます。条件を言葉から式へ直すところと、式から各行の値を出すところを別々に説明すれば、直す場所を絞れます。真理値表は、答えとその根拠を同じ行に残せる道具です。