数検5級 投影図と展開図—立面図と平面図を照合して立体の形を復元する練習｜武蔵野個別指導塾

立方体の離れた辺が重なる理由と、正面と真上から見た形の対応をたどる投影図と展開図です。

よくあるのは、受験者が展開図で離れた辺が重なる対応を見落とすという場面です。紙の上で隣り合っていない辺でも、折り上げると同じ辺に集まることがあります。逆に、紙の上で近く見える辺が組み立て後に接するとは限りません。面を1枚ずつ動かし、頂点と辺を追うと、立体の姿を筋道立てて考えられます。

どの向きから、どの面を見るか

投影図では、立体を正面や真上など決められた方向から見て、面や辺を平面に表します。ここでは正面からの立面図と真上からの平面図を照合します。展開図では、立体の面を切り開いた図から、組み立てたときの面や辺の対応を考えます。複雑な切断は扱いません。

練習する型は3つあります。1つ目は、正面と真上の図から横幅・高さ・奥行きを対応させる型です。2つ目は、展開図を折ったときに向かい合う面や重なる辺を探す型です。3つ目は、候補が立体になるか、面の重なりや不足を調べる型です。どれも、見た目の似た図を選ぶ前に、条件を言葉に直すところから始めます。

同じ立面図になる立体が複数ある場合もあります。そのとき正面の図だけで立体を決めることはできません。平面図を合わせても一意に決まらないことがあるので、与えられた条件や候補を最後まで読みます。図に書かれていない長さを、絵の見かけから決めないことも大切です。

投影と展開の約束

立面図は、定めた正面から投影面へ垂直な方向に見た図です。平面図は真上から同じように見た図です。遠近法の絵と違い、奥にあるものを小さく描く方法ではありません。立面図には横幅と高さ、平面図には横幅と奥行きが表れます。2つの図で共通する横幅を対応させると、同じ位置を探しやすくなります。

図1のように、直方体を正面と真上から見ると、どちらも長方形です。ただし、立面図の縦は高さ、平面図の縦は奥行きです。同じ紙面上で縦に描かれていても、立体では別の方向を表します。立面図だけから奥行きは読めません。平面図を加えることで、その直方体の奥行きも確認できます。

図1のように、横幅を両方の図で同じ向きに取ります。問題で見る方向が矢印などで指定されていれば、紙の上下だけに頼らず、その指示に合わせます。隠れて見えない辺の表し方も問題の約束を読み取り、勝手に線を足したり消したりしないようにします。

展開図は、面を辺に沿って切り開き、平らに並べたものです。折り目でつながった2面は立体でもその辺を共有します。一方、外周にある辺のうち、組み立てて同じ場所に重なる2本は、切り開く前には同じ辺です。辺の両端の頂点も、それぞれ対応して重なります。辺の中央だけでなく両端を追うと、向きを逆に読んだ間違いにも気づけます。

実際に紙を切って折るときは、面の内側に印をつけると向きを見失いにくくなります。紙を使えないときも、基準の面を決め、周りの面を順に立てる動きを頭の中で再現します。途中で2枚が同じ位置に重なれば、閉じた立体としては組み立てられません。面の枚数が合っていても、配置まで調べる必要があります。

展開図の外周を指で一周すると、切り離された辺が何本あるかを確認できます。外周の辺は組み立て後に対になって閉じるので、ある辺の相手を探したら、その相手が別の辺にも重なると考えていないか調べます。ただし、外周の形や紙の上での近さだけで相手は決められません。どの面に属する辺かを先に押さえます。

面に名前がない問題では、自分で仮の文字を書き込むと説明しやすくなります。折り目と外周を区別し、固定した面から順にたどります。途中で向かい合う面がわかれば、そこは辺を共有しないことも手掛かりです。向かい合う面の判断があいまいな場合は、先に周囲の面を立てて位置を確かめます。

基本例題：立方体の辺を追う

次の展開図は同じ大きさの正方形6枚からなります。中央の面をA、その左をB、右をC、上をD、下をEとし、Dのさらに上をFとします。Aを底として折り、正方形6面の立方体を作ります。Bの上辺と重なる外周の辺を、面の名前とその辺の位置で答えてください。図は紙を上から見た向きで読みます。

図2のように、まずAを机に置いたまま、BとDをそれぞれAとの境目で立てます。Bは左側の壁、Dは奥側の壁になります。Bの上辺はAから遠い側の端ではなく、紙の上でDに近い側の端です。折り上げると、その辺は左奥の縦の辺になります。

次にDの左辺を追います。Dも立てるので、紙の上の左辺は同じ左奥の縦の辺に移ります。したがって答えは「Dの左辺」です。図2の色のついた2辺は紙の上では離れていますが、折ると1本に重なります。

頂点でも確かめます。Bの上辺の右端とDの左辺の下端は、もともとAの左上の頂点でつながっています。残るBの上辺の左端とDの左辺の上端が折ることで重なります。両端の組が一致するため、辺全体も一致します。この確認は、隣接する辺を1本ずつ選ぶときの根拠になります。

残りの面も閉じるか調べましょう。CとEを立て、FをDから折り返すと、FはAの向かいに来ます。側面4枚が重ならず、底とふたがそろうので、この配置は立方体になります。Bの上辺をFの辺と答えると、Fはふたに当たるため、BとDの間の縦の辺を説明できません。立てる順番を変えても完成後の対応は変わりませんが、基準面を固定すると追いやすくなります。

少し難しい例題：2方向の図を合わせる

底面が水平な直方体について、正面から見ると横4 cm、縦3 cmの長方形、真上から見ると横4 cm、縦2 cmの長方形です。正面と真上の図の横方向はそろっています。直方体の横幅、高さ、奥行きをそれぞれcmで答えてください。また、候補として横幅4 cm、高さ3 cm、奥行き5 cmの直方体を考えたとき、両方の図に合うか答えてください。

立面図の横は横幅なので4 cm、縦は高さなので3 cmです。平面図の横も横幅で4 cmと一致し、平面図の縦は奥行きなので2 cmです。答えは横幅4 cm、高さ3 cm、奥行き2 cmです。平面図の縦2 cmを高さにすると、立面図の縦3 cmと混同してしまいます。

答えを元の図に戻します。横4 cm、高さ3 cmの正面は指定の長方形と一致します。横4 cm、奥行き2 cmの真上の図も一致します。候補の奥行きを5 cmにすると、正面は横4 cm、縦3 cmのままですが、真上は横4 cm、縦5 cmになります。したがって候補は両方には合いません。正面だけで正しいと判断しないことが分かれ目です。

反対に、平面図に合うからといって高さも正しいとは限りません。高さを変えても真上の外形が変わらない直方体があるからです。2つの図は互いに不足する情報を補いますが、立体の種類が限定されていなければ内部の形などまで決まるとは限りません。この例では直方体という条件を使って3方向の長さを決めています。

誤答を直す：近い辺を結ぶ前に

図2の展開図で、Bの上辺に重なる辺を「Fの左辺」としたとします。紙の上でBに近い方向にある面をたどっても、折った後にその辺がどこに来るかを確かめなければ、対応は決まりません。FはDを介してふたになる面であり、Fの左辺は立方体の上側に来ます。Bの上辺は側面同士の境目になるので、位置が異なります。

図3のように、まずAを底に固定し、BとDを側面として立てます。Bの上辺とDの左辺は、Aの左上の頂点から立ち上がる同じ辺になります。Fはその後にDから折り返して、底の反対側をふさぎます。面の役割を決めてから辺を追えば、紙の上の距離に惑わされません。

図3のように、辺の端点に注目する方法も使えます。重なる2辺は長さが等しいだけでなく、端点同士が同じ2つの頂点に集まらなければなりません。等しい長さの辺は立方体にたくさんあるため、長さの一致だけでは相手を選べません。

もう1つの間違いは、平面図の縦をそのまま高さと読むことです。修正するときは、図の余白に「正面の縦は高さ」「真上の縦は奥行き」と書き込みます。どの方向から見た図かが不明な場合は、まず問題の矢印や説明を探します。図が一部欠けていたり条件が足りなかったりするときは、見た目から欠けた長さを補わず、与えられた情報だけで決められるかを確認します。

時間が足りなくなった場合は、面全部を一度に想像しようとせず、求める辺に接する2面だけを先に立てます。途中まででも基準面と追跡した辺を記しておけば、戻って見直す位置が明確です。紙の模型がうまく折れない場合も、折り目の位置と面のつながりを図に戻して調べます。模型のゆがみを、辺の対応そのものの証拠にはしません。

投影図の見直しでも、元の立体に戻す手順が役立ちます。正面の長方形を描いたら、それに奥行きを与えて直方体を考え、真上から見た長方形を描きます。指定の平面図と重ならなければ、横幅、高さ、奥行きのうち何を取り違えたかを調べます。数字が合っていても向きが違えば、条件を満たしたとはいえません。

練習問題

問題は先にまとめて解き、答え合わせでは条件へ戻してください。面の名前と上下左右は、展開図を紙の上から見た向きです。

1. 直方体の立面図は横6 cm、縦4 cmの長方形、平面図は横6 cm、縦3 cmの長方形です。横方向はそろっています。横幅、高さ、奥行きをそれぞれcmで答えてください。

2. 同じ正方形6枚の展開図で、中央の面をP、その左をQ、右をR、上をS、下をT、Sのさらに上をUとします。Pを底として立方体を作るとき、Qと向かい合う面を名前で答えてください。

3. 問題2と同じ展開図を折るとき、Rの上辺と重なる外周の辺を、面の名前とその辺の位置で答えてください。

4. 底面が水平な直方体の立面図は横7 cm、縦2 cm、平面図は横7 cm、縦5 cmの長方形です。横方向はそろっています。横幅7 cm、高さ5 cm、奥行き2 cmの直方体は両方の図に合いますか。合わない場合は、それぞれの図の縦が何cmになるかも答えてください。

答えと解き方

1. 横幅6 cm、高さ4 cm、奥行き3 cmです。立面図から横幅と高さを、平面図から横幅と奥行きを読みます。答えを戻すと正面は横6 cm、縦4 cm、真上は横6 cm、縦3 cmとなり、2つの条件に合います。平面図の縦と立面図の縦は違う方向です。

2. Rです。Pを底にするとQは左の側面、Rは右の側面として立ち、互いに向かい合います。SとTも向かい合い、UがPの反対側を閉じます。6面を配置し直すとQとRが別の側にあり、同じ位置に重なっていないことも確かめられます。

3. Sの右辺です。RとSをPの周りで立てると、Rの上辺とSの右辺は右奥の縦の辺になります。もとの図ではRの上辺の左端とSの右辺の下端がPの右上の頂点を共有します。残る端点も折ると重なるため、2辺が一致します。問題2の向かい合う面を探す操作と、辺を追う操作を区別してください。

4. 合いません。候補を正面から見ると縦5 cm、真上から見ると縦2 cmです。問題の立面図の縦2 cm、平面図の縦5 cmとは入れ替わっています。横幅7 cmは両図に合いますが、縦の意味が異なるため候補にはできません。高さ2 cm、奥行き5 cmに直せば、指定された2つの図へ戻ります。

覚えておくこと

立面図の縦は高さ、平面図の縦は奥行きです。
共通する横幅と見る方向をそろえます。
展開図は基準面から隣の面を順に折ります。
重なる辺は両端の頂点も対応します。
答えを元の図と条件へ戻します。

つまずきを見分けるには

お子さまが答えを選べても、どの面を固定し、どの辺がどこへ移ると考えたかを聞いてみます。辺の長さが等しいことだけを理由にしていたら、端点を指で追い、2つの頂点がそれぞれ重なるかを確かめます。図を回して見失う場合は、面に名前を書いたまま基準面を置き直します。

個別指導では、正面の縦と真上の縦をそれぞれ立体のどの方向に対応させたか、本人の言葉で説明してもらいます。片方の図だけで決めた場合は、もう片方に戻して候補を描き直します。判断の根拠を面と辺に結びつければ、離れた辺の対応も追えます。