数検5級 空間の直線と平面—交わりと平行を模型で分けて位置関係を読む練習｜武蔵野個別指導塾

直方体の辺を延長し、交点と同じ平面にあるかを順に調べて、ねじれの位置を見極めます。

よくあるのは、箱の模型を見た受験者が、交わらない2本の直線をどれも平行と考える場面です。紙に描いた箱では、奥行きのある辺と横向きの辺が離れて見えます。延長しても出会わないとして、それだけで平行と決めてよいでしょうか。

空間には、交わらず、しかも平行でない2直線があります。箱のどの面に辺があるか、辺を両向きに延ばすと何が起きるかを手掛かりに、直線と平面の関係を整理します。図の線の傾きだけで答えを決めず、模型の形に戻って説明する練習です。

箱のどこを見る問題か

出方の型の1つは、指定された2本の辺をそれぞれ含む直線について、交わる、平行、ねじれの位置のいずれかを選ぶものです。線分の端で止めず、直線として両側へ延ばして考えます。共通の頂点が見えれば交わりますが、頂点を共有しなくても延長すると交わる場合があります。

もう1つは、直線と平面の関係を問う型です。直線が平面に含まれる、1点で交わる、平行である、という区別に加えて、交わるときに垂直かどうかも調べます。面のふちにある辺を見て「面と平行」と答えると、面に含まれる場合を取り落とします。

3つ目は、ある条件に合う辺や面を挙げる型です。1つ見つけて終わらず、指定された候補を順に調べ、抜けや重複がないか数えます。以下では特に断らない限り、辺の名前で直線を表し、面の名前でその面を含む平面を表します。直方体はつぶれていない立体とし、見えない辺も存在します。

交点と同じ平面を手掛かりにする

直線はどちらの向きにも限りなく続くものです。2直線が1点を共有すれば交わり、直角に交われば垂直です。同じ平面上にあって交わらない2直線は平行です。一方、同じ平面上にない2直線は、ねじれの位置にあります。ねじれの位置の直線は交わらず、平行でもありません。

図1のように、直方体の手前の面をABFE、奥の面をDCGHとします。上側がABCD、下側がEFGHです。対応する頂点を結ぶAE、BF、CG、DHは箱の高さ方向の辺です。文字の配置を先に押さえ、指で実際の辺をなぞると、紙上の交差と空間の交点を区別しやすくなります。

図1のようにABとAEはAで交わり、直方体の隣り合う辺なので垂直です。ABとDCは上の面ABCDにあり、向かい合う辺なので平行です。ABとCGは交わらず、向きも異なります。ABを含む上の平面とCGが出会う点はCですが、Cは直線AB上にありません。したがってABとCGは交わりません。また、平行ならABと同じ向きになるはずですが、CGは高さ方向なので平行ではなく、ねじれの位置です。

平面は面をふちの外まで広げたものです。直線が平面上の1点を通り、その点を通る平面内の2本の交わる直線の両方に垂直なら、その直線は平面に垂直です。直線と平面が共有する点を持たないとき、直線はその平面に平行です。直線が平面に含まれる場合は共有点がたくさんあるため、この意味の平行とは区別します。

2つの平面では、直方体の向かい合う面を含む平面は平行です。隣り合う面を含む平面は共通の直線で交わり、直方体では垂直です。紙上で2つの面が離れて見えても、平面を延ばしたときの関係を考えることが必要です。

箱が手元にないときは、紙に頂点の対応を表してから考えます。上面をA、B、C、Dの順に一周し、それぞれの真下にE、F、G、Hを置きます。上面と下面の対応する辺は平行で、高さ方向の4本も互いに平行です。この対応を使えば、隠れた辺を描かなくても関係を追えます。

例えばADとBFは、ともに箱の辺ですが、ADは奥行き方向、BFは高さ方向です。BFが上面に達する点BはAD上にないため、2直線は交わりません。向きも平行でないのでねじれの位置です。対してADとBCは上面の向かい合う辺で、同じ面上にあり平行です。相手の辺を替えるときは、前の判定をそのまま持ち込まず、共通点と向きを調べ直します。

線分同士なら端を越えて続きませんが、直線の位置関係を問われたら両側を延長します。問題文が辺そのものを尋ねているか、辺を含む直線を尋ねているかにも目を向けます。模型の棒が短くて届かないことは、延ばした直線が交わらない証拠にはなりません。まず対象をはっきりさせると、説明の食い違いを防げます。

基本例題：辺ABを基準にする

上と同じ直方体ABCD-EFGHを使います。辺の名前はそれを含む直線を表すものとします。直線ABと、直線BF、DC、CGの位置関係をそれぞれ「垂直に交わる」「平行」「ねじれの位置」から1つ選び、理由を述べてください。

まずABとBFを見ます。ABはAとBを通り、BFはBとFを通ります。共通の点はBなので、2直線はBで交わります。直方体の頂点Bで、横向きのABと高さ方向のBFは直角に交わります。したがって答えは「垂直に交わる」です。

次にABとDCです。図2のように、2本は上の面ABCDの向かい合う辺です。直方体の面は長方形なので、同じ平面上の向かい合う辺を延長しても交わりません。答えは「平行」です。紙での長さや傾きが多少違って見えても、長方形の辺という条件を使います。

最後にABとCGです。CGは高さ方向、ABは横方向で、互いに平行ではありません。CGが上の平面ABCDと交わるのはCであり、CはAB上にありません。そのため直線を延長してもABとCGに共通点はありません。交わらず平行でもないので、答えは「ねじれの位置」です。

図2のように、同じABが基準でも相手を変えると関係が変わります。答えを元の箱へ戻し、Bで実際に出会うか、ABとDCが同じ面の向かい合う辺か、CGが上面に達するCがAB上にないかを順に確かめます。最後の組は「紙の上で離れている」ことだけを理由にしないのがポイントです。

少し難しい例題：面も含めて探す

同じ直方体で、12本の辺を含む直線のうち、平面ABCDに垂直なものを辺の名前で全部挙げてください。また、平面ABCDに平行なものも全部挙げてください。面に含まれる直線は平行なものに数えません。

辺は上面のAB、BC、CD、DA、下面のEF、FG、GH、HE、高さ方向のAE、BF、CG、DHに分けられます。まず高さ方向のAEを考えます。Aで上面内のABとADに直角に交わるため、AEは平面ABCDに垂直です。同様にBF、CG、DHも上面に垂直です。答えはAE、BF、CG、DHの4本です。

次に平面ABCDと共有点がない辺を探します。下面を含む平面EFGHは上面を含む平面と平行です。よって下面内の直線EF、FG、GH、HEは平面ABCDと交わらず、平行です。答えはこの4本です。

残るAB、BC、CD、DAは上面に含まれます。平行として数えないという条件に従えば、ここではどちらの答えにも入りません。12本を4本ずつ3組に分けて調べたので、どの辺にも戻れます。例えばEFは下面に含まれ、上面とは共有点を持たないという元の条件に合います。AEはAで上面と交わるため平行な組へは入れません。

誤答から見直す

ABとCGを「交わらないから平行」と答えたとします。図3のように、2本は箱の異なる方向の辺です。ABは上の面に沿い、CGは上面と下面の間を通ります。紙の上で線が交わっていないことを確認するだけでは、平行という結論は出ません。

原因は、平面上の2直線について覚えた「交わらなければ平行」を空間全体に広げてしまうことです。平行といえるのは、同じ平面上にあり、延ばしても交わらないときです。図3のようにCGをたどって上面に達するCを見れば、直線ABとは出会わないことが確認できます。さらに高さ方向と横方向は平行でないので、ねじれの位置と直します。

別の間違いとして、紙に描いた線が交差しているから空間でも交わると決めることがあります。透視された図では、異なる奥行きの線が紙上で重なることがあります。交点と見える場所が、両方の直線に共通する空間の点かを頂点や面の情報で確かめます。線の重なりが見えない場合も、延長先で交わる可能性を残して調べます。

面との関係でも、直線が面のふちを走るのに「面と平行」と答える誤りがあります。ふちの辺は面に含まれるので、共有点がありませんとはいえません。まず直線上の点が面に含まれるか、含まれなければ延長して面と出会うかを調べ、平行か交わるかを決めます。

候補を挙げる問題では、答えの数だけを覚えても別の条件に対応できません。基準の面を変えれば、同じ辺が面に含まれる側から垂直な側へ移ることもあります。たとえば上面を基準に垂直だったAEは、側面ABFEを基準にすればその面に含まれます。どの面を基準にしたかを声に出してから、候補の辺を1本ずつ分類します。

練習問題

各問の直方体は、上面がPQRS、下面がTUVWで、対応する頂点をPT、QU、RV、SWで結んだものです。PQRSとTUVWはそれぞれ順に長方形の周を回る頂点です。辺の名前はそれを含む直線、面の名前はそれを含む平面を表します。

1. 直線PQと直線QUの位置関係を、「垂直に交わる」「平行」「ねじれの位置」から1つ選び、交点も答えてください。
2. 直線PQと直線SRの位置関係を、同じ3つの選択肢から1つ選び、理由を述べてください。
3. 直線PQと直線 RVの位置関係を、同じ3つの選択肢から1つ選び、理由を述べてください。
4. 12本の辺を含む直線から、平面PQRSに平行な直線を辺の名前で全部挙げてください。面に含まれる直線は数えません。
5. 平面PQRSと平面QUVRの位置関係を「平行」「垂直に交わる」から1つ選び、交わる場合は共通する直線も答えてください。

答えと考え方

1. 垂直に交わり、交点はQです。PQとQUはQを共有する隣り合う辺で、横方向と高さ方向が直角です。Qが両方の辺の端点であることを問題の頂点配置に戻して確かめます。

2. 平行です。PQとSRは上面PQRSという同じ長方形の向かい合う辺です。面を戻ってたどると、それぞれPからQ、SからRへ進む辺で、両端が異なります。同じ面で交わらず、直線を延長しても平行です。

3. ねじれの位置です。RVが上面と交わる点はRですが、Rは直線PQ上にありません。またRVは高さ方向でPQと平行ではありません。交点と平行のどちらでもないことを元の箱に戻して確かめます。

4. TU、UV、VW、WTの4本です。下面TUVWを含む平面は上面の平面PQRSと平行なので、下面の辺を含む直線は上面に出会いません。高さ方向の4本は上面に交わり、上面の4本は面に含まれるため、条件に入らないことも確かめます。

5. 垂直に交わり、共通する直線はQRです。面QUVRは直方体の側面で、上面PQRSと辺QRを共有します。それぞれの面を延長してできる2平面も直線QRで交わります。側面と上面は直角なので、答えは問題の箱の面の関係に合います。

覚えておくこと

直線は両向きに延ばして交点を調べます。
同じ平面上で交わらない2直線は平行です。
同じ平面上にない2直線はねじれの位置です。
直線が平面に含まれる場合と平行な場合を区別します。
図の見た目を頂点と面の条件に戻します。

つまずいた場所を見分ける

個別指導で確かめるなら、まず模型の2本を指して「どこまで延ばしたか」「交点はどの点か」を本人に説明してもらいます。端点が違うだけで交わらないと判断した場合は、面を延長して同じ平面内で出会う例を描き直します。交点がないという判断の後で、同じ面に置けるかどうかを問い直すと、ねじれの位置と平行の混同を見つけやすくなります。

直線と平面の問題で手が止まるときは、辺のふちが面に含まれるか、面を突き抜けるか、面から離れているかを模型で順に示してもらいます。保護者が一緒に見る場合も、正解の名前を先に伝えるより、どの点や面を手掛かりにしたかを聞くと考え方が見えます。箱を回しても変わらない関係を、頂点と面の言葉で説明する力が判断の支えです。