数検5級 反比例のグラフと利用—表の点と場面の条件から読み取る範囲を決める練習｜武蔵野個別指導塾

面積が一定の長方形を例に、反比例の曲線上の点と、辺の長さとして使える範囲を結びつけて考えます。

よくあるのは、受験者が反比例の曲線を原点につなぎ、時間を表す値に負の数まで答えるという場面です。式を計算することと、その値が場面に合うかを決めることは別の判断です。座標の平面では負の値も使えますが、経過時間や長方形の辺の長さとして使うときには条件が加わります。

グラフの点は、横と縦の値を組にして表します。点を打った後は、どんな線で結ぶか、さらに問題がその線のどの部分を求めているかを確かめましょう。

点を打つ問題と場面から選ぶ問題

反比例のグラフには、例えば次のような出方があります。どれも自分で考えるための例であり、出題を予告するものではありません。

1. 式から対応する値の表を作り、点を打って曲線を描く型です。正の値と負の値を使い、軸との関係も読みます。
2. グラフ上の点の座標から式を求め、別の点が同じ曲線上にあるかを調べる型です。対応する2つの数の積に注目します。
3. 面積が一定の長方形などを式で表し、辺の長さに合う部分を選ぶ型です。式が成り立つ範囲と場面で使う範囲を区別します。

一見すると右下がりの線は、比例の直線にも反比例の曲線にも見えることがあります。見た目の向きだけでは決めず、点の組と式に戻ります。比例なら y = ax で、原点を通る直線です。反比例なら y = a/x で、a が 0 でなければ2つに分かれた曲線です。ここでは a が 0 でない反比例を扱います。

積と座標から曲線を考える

反比例の式 y = a/x では、x と y の積 xy が一定の数 a です。x が 0 でなければ、対応する y は a を x で割って求められます。x = 0 のときは 0 で割ることになるため、y をこの式で決められません。原点は x = 0 の点なので、反比例のグラフ上にはありません。

図1のように、y = 6/x では (1, 6)、(2, 3)、(3, 2)、(6, 1) が対応します。どの組も積は 6 です。負の x を入れると y も負になり、(-1, -6)、(-2, -3) などが得られます。正の組と負の組はそれぞれ別の部分にあります。

図1の曲線は軸に近づいても、軸や原点を通りません。x を大きくすると y は小さくなりますが、有限の x について 6/x は 0 にはなりません。反対に x が 0 に近づくと、y の大きさは増えます。図の枠の外にも曲線は続きます。

点は表に書いた数だけではありません。例えば x = 1.5 なら y = 4 で、(1.5, 4) も曲線上です。点を十分に取り、間をなめらかにつなぎます。折れ線のように直線で点をつなぐと、途中の値を正しく表せません。なお a が負の場合は x と y の符号が反対になり、曲線は左上と右下に分かれます。

表から点へ移すときの手順

表の一番上の行を横の値、下の行を縦の値として読むときは、同じ列にある2つを組にします。別々の列から数を選ぶと、どちらも表に載っていても正しい座標にはなりません。まず1列を指でたどって (x, y) と書き、その後で横軸と縦軸に目盛りを取ります。負の数は原点から左または下へ進むことも、点を打つ前に確認します。

目盛りの間隔が同じとは限らないので、数字の並びを確かめてから点を置きましょう。例えば横軸が1目盛りで 2、縦軸が1目盛りで 1 を表す図では、同じ距離だけ動いても数の増え方は異なります。点の位置を見ただけで座標を決めず、各軸の目盛りを読みます。描いた後も、縦横の対応する数を式に代入すると読み間違いを見つけやすくなります。

点を増やす理由

2点を打てば直線は引けますが、反比例の曲線の曲がり方は2点だけではつかみにくいものです。離れた点の間にも値を選び、積が一定になる点を補ってみましょう。正の x について、x が大きくなるほど y は小さくなります。ただし、x が同じ幅ずつ増えたときに y が同じ幅ずつ減るとは限りません。そのため、一直線に結ぶ方法では途中の対応を表せません。

負の側にも同様に点を取ります。積が正なら負と負、積が負なら負と正の組です。符号を先に決めてから大きさを計算すると、点をどの側へ置くかを見通せます。2つの部分を原点でつなぎたくなったら、原点の座標を式に戻します。割る数が 0 になることに気づけば、線をそこでつなぐことはできません。

範囲を読むときの端の扱い

グラフから範囲を読む際には、横の範囲の両端をまず式に入れ、それぞれの縦の値を計算します。その後、正の部分で横が増えると縦がどう変わるかを見て、小さい値から順に答えます。横の小さい端と縦の小さい端が対応するとは限りません。面積一定の長方形では、横を長くすれば同じ面積を保つため縦は短くなります。

端を含まない条件なら、答える縦の範囲でも対応する端を含めません。例えば横がある値より大きいという条件と、ある値以上という条件は違います。図を読む前に問題文の言葉に印を付け、最後に答えの不等号や「以上」「より大きい」の表現を照合します。点が図の枠の外にある場合も、存在しないと決めず、式からその座標を計算します。

基本例題：点から式を決めて描く

反比例のグラフが点 (2, 4) を通ります。式を求め、x が -4、-2、-1、1、2、4 のときの点を打ってグラフを描きましょう。式の係数と表の値は整数で答えます。座標平面上の x は 0 以外の数を取るものとします。

まず式を y = a/x と置きます。点 (2, 4) は x = 2 のとき y = 4 という意味です。式に入れると、次のようになります。

4 = a/2

a = 8

したがって式は y = 8/x です。積を使っても 2 × 4 = 8 と求められます。横の値と縦の値を逆に読まないよう、代入前に座標の順を確認しましょう。

例えば x = -4 の列では y = 8 ÷ (-4) = -2 です。x = 1 の列では y = 8 ÷ 1 = 8 です。表の各列を座標に直し、横へ x、縦へ y の順に進んで点を打ちます。図2のように左右の点を別々になめらかに結びます。

図2では (2, 4) と (4, 2) の積がともに 8 です。負の側でも (-2) × (-4) = 8 ですから、もとの式に戻ります。点の間で x = 0 を通る線を引いていないことも確かめます。なお図の表示範囲の外にある (-1, -8) と (1, 8) も表に従って打つ点です。

比例との違いもこの点から確認できます。原点と (2, 4) を通る比例の直線なら y = 2x なので、x = 4 のとき y = 8 です。反比例の曲線では同じ x に対して y = 2 です。1点が共通しても、その先の点まで同じとは限りません。

少し難しい例題：面積と辺の範囲

面積が 24 cm² の長方形があります。横の長さを x cm、縦の長さを y cm とし、横は 2 cm 以上 8 cm 以下とします。y を x の式で表し、縦の長さの範囲を答えましょう。範囲の両端を整数のcmで示し、両端を含むかどうかも書きます。辺の長さ自体は整数に限りません。

面積は横と縦の積なので xy = 24 です。横の長さは正ですから、x で割れて y = 24/x となります。横が 2 cm のとき縦は 12 cm、横が 8 cm のとき縦は 3 cm です。正の範囲で横が大きくなると縦は小さくなるので、縦は 3 cm 以上 12 cm 以下です。

端を含む理由は、問題が横について「以上」「以下」としているからです。2 × 12 = 24、8 × 3 = 24 となり、端の長方形も条件を満たします。途中の横 4 cm に対しても縦は 6 cm で、4 × 6 = 24 です。これらの点を結ぶ曲線のうち、横が 2 から 8 までの部分が場面に対応します。

式を座標平面で考えれば負の組もあります。しかし辺の長さが負の長方形は作れません。さらに、正の組でも横が指定範囲の外ならこの問題の答えには入りません。式のグラフ全体から、場面の条件を満たす部分を選ぶのが分かれ目です。

誤答を直す：原点と負の時間

例えば一定の道のり 12 km を時速 x km で進むとき、かかる時間を y 時間とします。速さが正で一定なら y = 12/x です。誤って原点と曲線を結び、負の速さや負の時間までこの場面の答えに入れることがあります。

図3のように、座標平面の曲線を描く作業と、道のりの場面に使う部分を選ぶ作業を分けます。原点では x = 0 です。0 で割れないので (0, 0) は式を満たしません。また、進む速さとして与えた x は正で、必要な時間 y も正です。負の側の曲線は式のグラフにはありますが、この場面の速さと時間には使いません。

図3では正の側にある点 (3, 4) を使っています。時速 3 km で 4 時間なら 3 × 4 = 12 km となり、元の道のりに戻ります。例えば (-3, -4) も積は 12 ですが、負の経過時間を答えとして採用する理由にはなりません。数の組が式に合うか、数量の意味にも合うかを順に確かめます。

別の誤りは、表の点を定規でつないで直線にすることです。点 (3, 4) と (6, 2) の真ん中の横の値は 4.5 です。線分の真ん中なら縦は 3 ですが、4.5 × 3 = 13.5 となり道のり 12 km に戻りません。実際の時間は 12 ÷ 4.5 = 8/3 時間です。点の間も式に合うよう曲線を描きます。

グラフが示すのは点の位置だけでなく、その点に対応する2つの数量です。単位を書き添えると、縦の値が長さなのか時間なのかを取り違えにくくなります。条件に上限や下限がない場合も、数量として許される符号を確認します。

練習問題

各問の値は自作の設定です。点を読むときは横、縦の順を守り、計算後に条件へ戻してください。

1. y = 10/x のグラフについて、x = 2、5、-2 のときの y を整数で答え、3点の座標を示しましょう。x は 0 以外です。
2. 反比例のグラフが点 (-3, 2) を通ります。式を求め、点 (2, -3) がそのグラフ上にあるか答えましょう。係数は整数で表します。
3. 面積が 18 cm² の長方形の横を x cm、縦を y cm とします。横が 3 cm 以上 9 cm 以下のとき、y の式と縦の長さの範囲を答えましょう。範囲の両端の数値を整数のcmで示し、端を含めます。
4. 一定の道のり 20 km を時速 x km で進み、y 時間かかります。時速は 4 km 以上 10 km 以下です。y の式と時間の範囲を端を含めて答えましょう。範囲の両端の数値は整数の時間で示します。

練習の答えと解き方

1. 順に y = 5、2、-5 です。座標は (2, 5)、(5, 2)、(-2, -5) です。それぞれ積を調べると 2 × 5 = 10、5 × 2 = 10、(-2) × (-5) = 10 です。もとの式の積に戻るので、座標の対応も確認できます。

2. a = (-3) × 2 = -6 より、式は y = -6/x です。x = 2 を入れると y = -3 なので、点 (2, -3) はグラフ上にあります。点 (-3, 2) でも積は -6 で、与えられた点に戻ります。係数が負なので、点は左上と右下の曲線に分かれます。

3. xy = 18 から y = 18/x です。横が 3 cm なら縦は 6 cm、横が 9 cm なら縦は 2 cm です。縦の範囲は 2 cm 以上 6 cm 以下です。3 × 6 = 18、9 × 2 = 18 で、両端とも面積に戻ります。辺は正なので負の側は選びません。

4. 速さと時間の積が道のりなので xy = 20、したがって y = 20/x です。時速 4 km のとき 5 時間、時速 10 km のとき 2 時間です。時間は 2 時間以上 5 時間以下です。4 × 5 = 20、10 × 2 = 20 と道のりへ戻して確かめます。速さが指定された範囲の外の点は選びません。

覚えておくこと

• 反比例の点では x と y の積が一定です。
• 曲線は2つに分かれ、軸や原点を通りません。
• 表の点の間も、式に合うようなめらかに描きます。
• 場面の数量と端の条件を使い、必要な部分を選びます。

つまずきを見分ける

お子さまが点を正しく打てても原点へ線を引いた場合は、x = 0 を式に入れると何が起こるかを尋ねます。負の値を場面に使った場合は、式の上で計算できることと、長さや時間として意味を持つことを別々に説明してもらいます。

個別指導では、表の1列から座標を読む順序、点の間を曲線にする理由、端を含むかの判断をそれぞれ確かめます。最後に選んだ点の積を元の面積や道のりへ戻せれば、式と場面のつながりを自分の言葉で点検できます。反比例の曲線は、数の対応と数量の条件を重ねて読むことで意味が定まります。