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数検5級一次式の加減—同類項と定数項を分けて括弧の符号を直す練習｜武蔵野個別指導塾

公開 2026.11.13更新 2026.11.13武蔵野個別指導塾の特徴数検5級単元・出題の型別

かっこの前のマイナスを残したまま計算すると、定数の符号だけが静かにずれます。文字の項と数の項を書き分け、同じ文字どうしを係数でまとめる手順を、途中式を一行ずつ示して練習します。答案で最初に確かめるのは同類項です

よくあるのは、受験者が4a + 3bを7abとまとめてしまう場面です。係数を足す前に、aの項とbの項を同じ種類として扱ってよいか確かめます。けれど a と b は別の量で、足せるのは a どうし、b どうしだけです。この単元で手が止まるのは、計算の速さではなく、この「同じ種類かどうか」を見る順番のほうです。式を項に切り分け、文字の部分を見比べ、かっこの前の符号を確かめる。その3つの手順を、途中式を省かずに書く練習として組みます。

一次式の加減で問われる形

一次式の加減は、大きく3つの形で出てきます。どれも新しい公式ではなく、項の見分け方と符号の扱いを変えて重ねたものです。

1つ目は、項がそのまま並んだ式を整理する形です。5x − 8 + 3 − 9x のような式で、x の項どうし、数の項どうしをまとめます。文字の項を前に、数の項を後ろに、という並びに直して終わります。

2つ目は、かっこのついた式を引く形です。(4a + 6) − (7a − 3) のように、かっこの前にマイナスが付く場面です。かっこを外すときに、中の項の符号がすべて変わるかどうかが分かれ目になります。

3つ目は、文字が2種類ある式です。3a − 4b + 5a + 2b のように、a と b が混ざった式で、どこまでまとめてよいかを選びます。a の項どうしはまとめられますが、a と b はまとめられません。この3つの形は、いずれも「項に分ける」「文字の部分を見る」「係数を計算する」という同じ手順に戻って解けます。

答案では、途中の行を残すことも問われます。答えだけが合っていても、かっこを外した行が抜けていると、どこで符号を変えたのかを後から確かめられません。計算の速さより、同じ手順を毎回同じ順番で書けるかを見てください。

用語と考え方

一次式は、文字を含む各項が数と1つの文字の積になっている式です。定数項を含むこともありますが、abやx²のような項は含みません。3x + 5 − 7x + 2 も、3a − 4b も一次式です。式を前にしたら、まず項に切り分けます。項は + や − の記号のところで区切りますが、記号は後ろの項にくっつけて取り出します。3x + 5 − 7x + 2 は、3x、+5、-7x、+2 の4つの項になります。

項のうち、数字の部分を係数といいます。3x の係数は3、-7x の係数は-7 です。係数に符号を含めておくと、まとめた後の付け忘れが減ります。文字を含まない項を定数項といい、+5 と +2 がそれにあたります。定数項には符号が付いたままの数字が入る、と覚えると取り出し方が安定します。

項を切り取るときに多いのが、記号を項から離してしまう書き方です。3x + 5 − 7x + 2 を、3x、5、7x、2 と取り出すと、-7x のマイナスが行き場を失います。項は必ず符号を先頭に付けたまとまりで書きます。書き出した項をすべて足すと、もとの式に戻ることも確かめてください。3x + 5 + (-7x) + 2 と、項の間をすべて足し算に直して書くと、この確認がしやすくなります。

文字の部分が同じ項どうしを同類項といいます。3x と -7x は、どちらも x が1つ付いた項なので同類項です。+5 と +2 は、どちらも文字を持たないので、これも同類項です。同類項は係数だけを計算して1つの項にまとめられます。3x − 7x は (3 − 7)x で -4x、5 + 2 は 7 です。

項を切り取ったら、文字の項は文字の項だけで、数の項は数の項だけで並べ直します。3x + 5 − 7x + 2 なら、3x − 7x + 5 + 2 と並べ替えるところから始めます。並べ替えは足し算の順番を変えるだけなので、式の値は変わりません。

図1のように、式をいったん「文字の項」と「数の項」の2つの箱に分けてから、箱の中で係数を計算すると、まとめ間違いが減ります。まとめた後は、文字の項を左、定数項を右に並べます。答えの形をこの並びにそろえると、式の意味が読み取りやすくなります。

図1の左の箱では、3x と -7x の係数だけを引いて -4x にしています。右の箱では 5 と 2 を足して 7 にしています。文字は計算せずに残し、係数だけを動かすのがこの作業の中心です。

基本の例題と解き方

例題1　5x − 8 + 3 − 9x を整理しなさい。文字の項を先、定数項を後に書く形で答えなさい。

まず項に分けます。5x、-8、+3、-9x の4つです。次に、x が付いた項どうしを集めます。5x と -9x で、係数は 5 − 9 = -4 です。だから文字の項は -4x になります。数の項は -8 と +3 で、-8 + 3 = -5 です。並べると -4x − 5 が答えです。

検算として、x に 2 を入れてみます。もとの式は 5×2 − 8 + 3 − 9×2 で、10 − 8 + 3 − 18 = -13 です。答えの -4×2 − 5 は -8 − 5 で -13 になり、同じ値に戻ります。x に 1 を入れても、もとの式は 5 − 8 + 3 − 9 = -9、答えは -4 − 5 = -9 で一致します。1つの数だけで確かめず、2つの数で確かめると、係数の計算と定数の計算のどちらがずれたかも見当がつきます。

例題2　(4a + 6) − (7a − 3) を計算しなさい。

かっこの前がマイナスのときは、かっこを外すときに中の項の符号をすべて変えます。まず前半はそのまま 4a + 6 です。後半の (7a − 3) は、外すと -7a + 3 になります。7a が -7a に、-3 が +3 に変わる、という2か所です。ここを1か所だけ変えると、後で定数だけがずれます。

式を並べると 4a + 6 − 7a + 3 です。文字の項は 4a − 7a で -3a、数の項は 6 + 3 で 9 になります。答えは -3a + 9 です。

確かめに a = 2 を入れると、もとの式は (8 + 6) − (14 − 3) = 14 − 11 = 3 です。答えの -3×2 + 9 は -6 + 9 = 3 で一致します。a = 0 でも、もとの式は (0 + 6) − (0 − 3) = 6 + 3 = 9、答えは 0 + 9 = 9 です。かっこを外した行を別に書いておくと、この検算のときにどこを見直せばよいかが分かります。

図2のように、かっこを外した行と、同類項をまとめた行を分けて書きます。1行に詰めると、符号を変えた場所が消えてしまうからです。

少し難しい例題

例題3　(6x − 5) − {(2x − 7) − (4x − 1)} を計算しなさい。

かっこが2重になっているときは、内側のかっこから外します。内側の (2x − 7) − (4x − 1) を先に片付けます。前がマイナスなので、2x − 7 − 4x + 1 になります。文字の項は 2x − 4x で -2x、数は -7 + 1 で -6 です。内側は -2x − 6 になりました。

次に外側です。(6x − 5) − (-2x − 6) の形になります。外側のかっこの前もマイナスなので、中の -2x と -6 の符号を変えて、6x − 5 + 2x + 6 です。文字の項は 6x + 2x で 8x、数は -5 + 6 で 1 になります。答えは 8x + 1 です。

ここで分かれ目になるのは、外側のマイナスが「中に残った式の全部」に掛かるという点です。内側を片付けたときの -2x − 6 を、そのまま外へ出して 6x − 5 − 2x − 6 とすると、引く対象の-2xと-6の符号を、どちらも変えずに写したことになります。

内側のかっこを先に外さず、外側から順に外そうとすると、符号の変化を2回に分けて追うことになり、途中で1つ落としやすくなります。内側の式が1本に片付いてから外へ出す、という順番を守ると、外側で変える符号は、片付いた式の項の数だけに絞られます。

確かめに x = 2 を入れると、内側は (4 − 7) − (8 − 1) = -3 − 7 = -10 です。外側は (12 − 5) − (-10) = 7 + 10 = 17 になります。答えの 8×2 + 1 も 17 で一致します。x = 0 では、内側は -7 − (-1) = -6、外側は -5 − (-6) = 1、答えは 1 でそろいます。内側と外側を別々に計算してから最後に一度合わせる順番を守ると、符号の付け替えを数え間違えません。

よくある誤りと直し方

よくある誤りに、文字の違う項をまとめてしまうものがあります。4a + 3b を 7ab と書く答案です。係数の 4 と 3 を足して、文字の a と b を並べてしまった形です。しかし a が4つ、b が3つという別の量なら、合わせて 7ab にはなりません。4a + 3b は、これ以上まとめられない形としてそのまま置きます。

この誤りは、項の文字の部分を見る前に係数へ目が行っているときに起こります。直すときは、項を書き出して、文字の部分を指でなぞってから係数を計算します。3a と 5a は同じ文字なのでまとめられ、3a と 5b は文字が違うのでまとめられない、という区別を毎回言わせます。

もう1つ多いのが、かっこを外すときの符号の付け替え漏れです。(7x − 2) − (3x − 6) を 4x − 8 とした答案は、3x の符号だけを変えて、-6 をそのまま残しています。正しくは 7x − 2 − 3x + 6 で、文字の項は 4x、数は 4 になり、答えは 4x + 4 です。-8 と +4 の差は 12 で、この12は、変え忘れた -6 の2倍にあたります。定数だけが大きくずれたら、まずかっこを外した直後の行を疑います。

3つ目に、答えの並びが崩れる誤りがあります。13 − 4a のように定数項を先に書いても、値としては同じです。ただ、答えの形を指定された場面では、指定どおりに書けていない答案になります。文字の項を先に書く、という最後の1手を毎回入れてください。

図3の左は、4a と 3b を1つの項にしてしまった形です。右のように、文字が違う項は分けたままにしておきます。まとめてよいかどうかは、係数ではなく文字の部分で決まります。

別題の練習

次の5問を、まず自分で解いてください。答えは問題の後ろにまとめてあります。どの問も、文字の項を先、定数項を後に並べた形で答えます。

6a + 4 − 10a + 9 を整理しなさい。
(8x − 5) − (2x − 7) を計算しなさい。
2y − 9 + 7y + 4 − 5y を整理しなさい。
(3a − 4b) + (5a + 2b) − (2a − 3b) を計算しなさい。
x − 6 − (4x − 9) + 2x を計算しなさい。

答えと解き方

項は 6a、+4、-10a、+9 です。文字の項は 6a − 10a で -4a、数は 4 + 9 で 13 です。答えは -4a + 13 です。a = 2 で確かめると、もとの式は 12 + 4 − 20 + 9 = 5、答えは -8 + 13 = 5 です。
かっこの前がマイナスなので、中の符号を変えて 8x − 5 − 2x + 7 にします。文字の項は 6x、数は 2 です。答えは 6x + 2 です。x = 1 で確かめると、もとの式は 3 − (-5) = 8、答えは 6 + 2 = 8 です。
文字の項は 2y + 7y − 5y で、2 + 7 − 5 = 4 なので 4y です。数は -9 + 4 = -5 です。答えは 4y − 5 です。y = 3 で確かめると、もとの式は 6 − 9 + 21 + 4 − 15 = 7、答えは 12 − 5 = 7 です。
かっこをすべて外すと 3a − 4b + 5a + 2b − 2a + 3b です。a の項は 3 + 5 − 2 = 6 で 6a、b の項は -4 + 2 + 3 = 1 で +b です。答えは 6a + b です。a = 1、b = 2 で確かめると、もとの式は (3 − 8) + (5 + 4) − (2 − 6) = -5 + 9 + 4 = 8、答えは 6 + 2 = 8 です。
かっこの前のマイナスで中の符号を変え、x − 6 − 4x + 9 + 2x にします。x の項は 1 − 4 + 2 = -1 で -x、数は -6 + 9 = 3 です。答えは -x + 3 です。x = 4 で確かめると、もとの式は 4 − 6 − 7 + 8 = -1、答えは -4 + 3 = -1 です。

答えの形が -x + 3 のように係数が1や-1になるときも、1は省略して書きます。0 になった項は書きません。1問目と5問目は、文字の項の係数が負になりました。係数が負になったときこそ、項を並べ替えて数える順番を固定してください。5問とも、答えを出した後に数を1つ代入して、もとの式と値を比べられます。