高校物理基礎 力学的エネルギー保存—二つの状態を選んで高さと速さを計算する｜武蔵野個別指導塾

なめらかな斜面とばねの例題で2状態の高さと速さを比べ、保存則を使える条件を確かめます。

よくあるのは、なめらかな斜面を下る物体について、遠回りするほどエネルギーが減り、下端での速さも小さくなると考える場面です。斜面に沿った距離は違っても、摩擦がなく同じ高さから同じ速さで出発するなら、同じ高さに達したときの速さは同じです。何が保存されるかを先に決め、出発点と到着点の状態を比べてみましょう。

要点（結論から）

• 保存式の前に系と摩擦などの条件を確かめます。
• 同じ高さの基準で、2状態の運動と位置のエネルギーを足します。
• ばねの変形量は自然長との差です。

どの状態を比べる問題か

定期テストでは、斜面の上から滑る物体について、下端や途中の高さでの速さを求める型があります。斜面の長さではなく、重力による位置エネルギーの変化に関係する高さを読み取ります。出発時に速さがある場合は、その運動エネルギーも最初の状態に入れます。

鉛直上向きに投げた物体の最高点や、ある高さでの速さを問う型もあります。最高点では瞬間の速さが0なので、運動エネルギーが0です。ただし、重力が消えるわけではありません。上りと下りでは速度の向きが違っても、同じ高さなら速さは同じです。

ばねを押し縮めた状態と、自然長に戻った状態を比べる型では、ばねの弾性力による位置エネルギーも加えます。ばねが物体から離れた後は、ばねのエネルギーを物体の運動エネルギーとして二重に数えないようにします。円運動は扱いません。

保存する量と基準を決める

質量を m、速さを v、重力加速度を g、基準面から上向きに測った高さを h とすると、運動エネルギーは (1/2)mv²、重力による位置エネルギーは mgh です。単位はいずれも J です。高さの基準は問題に指定がなければ自分で選べますが、比べる2状態で同じ基準を使います。基準より下の高さを負にしても、両方をそろえれば差は変わりません。

ばね定数 k の軽いばねが自然長から x だけ伸びたり縮んだりしたとき、弾性力による位置エネルギーは (1/2)kx² です。x はばね全体の長さではなく自然長からの変形量です。縮みを負で表しても2乗するため、このエネルギーは負になりません。

図1のように、物体と地球を含む系を考え、ばねが関わるときはばねも含めます。重力とばねの弾性力以外に仕事をする力がない場合、運動エネルギーと位置エネルギーの和が一定です。なめらかな面からの垂直抗力は移動方向に垂直なので仕事をしません。空気抵抗や摩擦は無視する条件を確認します。

図1では、最初に高い位置にある物体が低い位置へ移ると、重力による位置エネルギーの一部が運動エネルギーに移ります。和が同じという意味であり、それぞれの値が常に同じという意味ではありません。ばねがある場合は、和の中に弾性力による位置エネルギーも加えます。

状態を選ぶときは、求めたい量が含まれ、ほかの量がわかっている点を選ぶと式が整理しやすくなります。運動の途中の細かな速さを順番に求めなくても、保存条件が区間全体で成り立つなら、離れた2点を直接結べます。ただし途中で摩擦のある面に入るなど条件が変化する場合は、その区間を含めた保存式を無条件に使うことはできません。条件を図の経路全体に照らして読みます。

条件が変わると判断も変わります。摩擦がある区間では、物体と地球の力学的エネルギーの和をそのまま保存とは置けません。外から手で押して仕事をする場合も同様です。失われた力学的エネルギーの詳しい計算は別の範囲ですが、保存式を立てる前に条件から立ち止まることは必要です。

基本例題：斜面の下端の速さ

質量 2.0 kg の小物体を、水平な床から高さ 5.0 m の点 A で静かに放し、なめらかな斜面に沿って下らせます。床につながる下端を B とします。空気抵抗を無視し、重力加速度を 10 m/s² とします。物体と地球を系とし、床を高さの基準、上向きを高さの正方向とします。B での速さを小数で m/s の単位まで求めます。

図2のように A と B を選びます。A では静かに放すので速さは 0 m/s、高さは 5.0 m です。B では高さが 0 m、速さが未知です。面はなめらかで空気抵抗も無視するため、2状態の力学的エネルギーを等しく置けます。

A の運動エネルギーは (1/2)×2.0×0² = 0 J です。A の重力による位置エネルギーは 2.0×10×5.0 = 100 J です。したがって A の和は 100 J です。

B の速さを v m/s とすると、運動エネルギーは (1/2)×2.0×v² = v² J です。B の位置エネルギーは 2.0×10×0 = 0 J です。保存式にそれぞれを代入すると次のようになります。

0 + 100 = v² + 0

v² = 100

速さは負にならないので、v = 10 m/s です。小数で表すと 10.0 m/s です。図2の B の矢印は移動の向きを表し、式の v は向きを含まない速さです。高さと速さを混同しないよう、各状態について単位も一緒に書いておきます。

答えを状態に戻すと、B の運動エネルギーは (1/2)×2.0×10.0² = 100 J です。A の位置エネルギーと等しく、B の位置エネルギーは0なので、最初の和に戻ります。斜面の長さが与えられていないことは不足ではありません。摩擦のない条件では、A と B の高さと速さを比べるだけでこの問いに答えられます。

出発点に初速があれば、A の運動エネルギーを0と置くことはできません。また B を高さの基準にせず、A を基準にしても解けます。その場合の B の高さは負ですが、両状態の高さの差は同じなので、最終的な速さも変わりません。

ばねが離れる瞬間を境に考える

質量 0.50 kg の小物体を、水平でなめらかな台の上で、水平に固定された軽いばねに接して置きます。ばね定数は 200 N/m です。自然長から 0.20 m 縮めて静かに放し、ばねが自然長に戻ると物体はばねから離れます。空気抵抗を無視し、物体・ばね・地球を系とします。台の高さを基準、高さの上向きを正とし、離れる瞬間の速さを小数で m/s の単位まで求めます。

放す直前を C、自然長になった瞬間を D とします。C では速さが0で、ばねの変形量は 0.20 m です。D では変形量が0で、速さを u m/s とします。高さは同じで、どちらも重力による位置エネルギーを0に選べます。面はなめらかなので、ばねの位置エネルギーと運動エネルギーの和が保存されます。

C のばねのエネルギーは (1/2)×200×0.20² = 4.0 J です。D の運動エネルギーは (1/2)×0.50×u² = 0.25u² J です。よって、

4.0 = 0.25u²

u² = 16

u = 4.0 m/s

検算すると D の運動エネルギーは (1/2)×0.50×4.0² = 4.0 J で、C のばねのエネルギーと一致します。D では自然長なのでばねの位置エネルギーは0です。D より前の途中点を選ぶなら、速さが0でなく、ばねもまだ縮んでいるため、両方の項を残します。

分かれ目は、ばねが接しているかという見た目だけではありません。選んだ状態で変形量がいくらか、外から仕事をされていないかを確認します。放した後に手が押し続ける設定なら、その仕事を考える必要があり、上の式をそのまま使えません。

誤答を状態に戻して直す

図3は、同じ高さから静かに出発する2つのなめらかな経路を表します。「右の経路は長いので、下端での力学的エネルギーが小さい」という答えは誤りです。原因は、距離が長いことと、摩擦が仕事をしてエネルギーが移ることを混同している点にあります。

図3ではどちらも摩擦と空気抵抗を無視し、出発時の高さと速さ、到着時の高さが同じです。出発時の和も到着時の位置エネルギーも同じなので、到着時の運動エネルギーが同じになります。同じ物体なら速さも同じです。時間や経路に沿う力の変化まで同じとは限りません。

別の誤りは、最高点で速さが0だから、位置エネルギーも0とすることです。速さが0なら運動エネルギーは0ですが、高さが基準より上なら位置エネルギーは正です。基準面を線で描き、各状態の高さをそこから測ると区別できます。最高点を基準に選んだ場合にはその位置エネルギーを0にできますが、他の状態の高さも同じ基準で表します。

また、平方根を求める際に負の値を速さの答えに書く誤りがあります。速さは0以上です。向きを含む速度を問われたときは、別に正方向を決め、物体がその瞬間に上向きか下向きかを確認して符号を付けます。エネルギーの式だけでは上りと下りを区別できません。

自分で試す4問

いずれも物体と地球を系とし、ばねがある場合はばねも含めます。空気抵抗は無視し、重力加速度は 10 m/s² とします。高さは指定した基準から上向きを正として測り、速さは非負の量とします。答えは指定の形と単位で表してください。

1. 質量 3.0 kg の小物体を、高さ 1.8 m の台からなめらかな斜面に沿って静かに放します。台の下端を高さの基準とします。下端での速さを小数で m/s の単位まで求めてください。
2. 質量 0.40 kg の球を地面から鉛直上向きに 8.0 m/s で投げます。地面を高さの基準とします。最高点の高さを小数で m の単位まで求めてください。
3. 質量 1.0 kg の小物体が、なめらかな水平面で自然長から 0.30 m 縮んだ軽いばねに接し、静止しています。ばね定数は 100 N/m です。放してばねが自然長になった瞬間の速さを整数で m/s の単位まで求めてください。水平面を高さの基準とします。
4. 質量 2.0 kg の物体を、高さ 4.0 m の位置から初速 2.0 m/s で、なめらかな斜面に沿って下向きに動かします。下端を高さの基準とします。下端での速さを根号を使い m/s の単位まで求めてください。

答えと式の照合

1. 下端の速さを v m/s とします。出発点の和は 3.0×10×1.8 = 54 J、下端の和は (1/2)×3.0×v² J です。54 = 1.5v² より v² = 36、v = 6.0 m/s です。戻して (1/2)×3.0×6.0² = 54 J となり、出発点の和に一致します。

2. 最高点の高さを h m とします。投げたときの和は (1/2)×0.40×8.0² = 12.8 J です。最高点では速さが0なので、12.8 = 0.40×10×h です。h = 3.2 m となります。0.40×10×3.2 = 12.8 J と戻せるため、投げたときの運動エネルギーと一致します。最高点でも重力は働いています。

3. 放す前のばねのエネルギーは (1/2)×100×0.30² = 4.5 J です。求める速さを u m/s とすると、4.5 = (1/2)×1.0×u²、u² = 9 です。速さは u = 3 m/s です。自然長ではばねのエネルギーは0で、(1/2)×1.0×3² = 4.5 J がもとの和に戻ります。

4. 出発時の運動エネルギーは (1/2)×2.0×2.0² = 4.0 J、位置エネルギーは 2.0×10×4.0 = 80 J です。下端の速さを w m/s とすると、84 = (1/2)×2.0×w² です。w² = 84 より、w = 2√21 m/s です。下端の運動エネルギーは (1/2)×2.0×(2√21)² = 84 J となり、出発時の2つの和に一致します。初速の項を落とすと、出発時の 4.0 J が戻りません。

要点の整理

• 保存式の前に系と摩擦などの条件を確かめます。
• 同じ高さの基準で、2状態の運動と位置のエネルギーを足します。
• ばねの変形量は自然長との差です。
• 速さの2乗からは非負の速さを選びます。
• 出た値を各状態のエネルギーへ戻して照合します。

どこで止まったかを見分ける

式の最初の行が書けないときは、数値より先に2状態を図に印し、それぞれの高さ、速さ、ばねの変形量を言葉で並べます。未知数がある欄も空欄にせず記号を置くと、どの項を残すべきか判断できます。途中式は、各項の単位が J になるところまで確かめてから計算します。

個別指導で確かめるなら、経路が長い場合と摩擦がある場合を見せ、同じ保存式を置けるかを条件から説明してもらいます。さらに、最高点で0になる量と基準の選び方を口に出して区別できれば、計算結果を別の場面にも移せます。2状態の和を比べる前に、保存が成り立つ理由を確かめる習慣が判断を支えます。