高校物理基礎 速さと速度—移動の向きと時間から平均の値を正しく求める｜武蔵野個別指導塾

往復の道のりと変位、停止時間を含む平均の計算を通して区別する速さと速度です。

よくあるのは、往復した高校生が、行きと帰りの速さを平均して往復の平均速度にするという場面です。行きと帰りの向きが反対なら、同じ正方向で表した速度の符号も反対です。さらに、全体の平均を求めるときには、それぞれの移動にかかった時間も見落とせません。道のりと変位を紙に分けて書き、何を時間で割るのかを先に決めましょう。

問題文から選ぶ3つの道筋

定期テストでは、出発点から移動して戻る経路と所要時間を与え、全区間の平均の速さと平均の速度を求める型があります。往復の途中で止まった時間があれば、それも指定された区間の経過時間に含めます。移動中の速さだけを取り出すのか、出発から到着までの平均を求めるのかで分母が変わります。

別の型は、一定の速度で直線上を動く物体の位置や所要時間を求めるものです。最初の位置が原点とは限らないので、移動した分を初めの座標に加えます。正方向と反対向きなら、その変位は負です。

また、2区間の速さが異なるときに全体の平均を比べる型もあります。速さの数値を単純に足して2で割る方法は、2区間にかかった時間が等しい場合には使えますが、距離が等しいだけでは使えません。まず各区間の時間を出し、全道のりを全時間で割る方法なら、時間が等しいかどうかを先に推測する必要がありません。

道のりと変位を別々に持つ

直線上に原点と正方向を決め、位置を符号つきの座標で表します。対象は問題で指定された移動する物体です。変位は「終点の座標 − 始点の座標」で、正なら正方向、負ならその反対方向への位置の変化を表します。道のりは実際に通った経路の長さであり、戻った部分も正の長さとして加えます。

図1のように、始点から右へ進み、途中から左へ戻ると、通った長さと始点から終点への変位は別の量です。矢印の向きを確認してから、2つの区間の長さを道のりに足します。変位は途中で向きを変えた場所を経由しても、終点と始点の座標の差で出せます。

図1の始点と終点が一致する場合、変位は0ですが、途中で移動していれば道のりは0ではありません。平均の速さは道のりを経過時間で割った値、平均の速度は変位を同じ経過時間で割った符号つきの値です。単位は長さをm、時間をsでそろえると、ともにm/sです。

平均の速度の符号は、指定した正方向に対する向きを示します。速度の大きさが速さです。ただし、往復を含む区間では「平均の速度の大きさ」と「平均の速さ」は一般に一致しません。前者は全体の変位の大きさを時間で割り、後者は全道のりを時間で割るためです。

瞬間の速さや速度は、ある時刻における運動の状態を表します。平均は一定の時間幅の移動全体についての値ですから、その間ずっと同じ値で動いていたとは限りません。等速直線運動では速度が一定なので、どの時間区間を選んでも、その区間の平均速度は同じ一定の速度です。

速度を求める前に時間の単位にも注意します。たとえば距離がmで時間が分のままなら、割った結果はm/分です。m/sで答える場合は、1分を60秒として時間を秒に直します。単位をそろえずに数字だけを割ると、計算自体が正しくても指定された単位の答えにはなりません。逆に、結果の単位から分子と分母に何を使ったかを点検することもできます。

平均を扱うとき、区間の途中の詳しい動きが不明でも、道のりと経過時間が与えられれば平均の速さを出せます。始点と終点の座標と経過時間が与えられれば平均の速度も出せます。ただし、平均値から途中の各瞬間の速度を決めることはできません。同じ始点と終点、同じ時間でも、途中の動き方はいろいろ考えられるためです。

基本例題：折り返して止まるまで

直線上を動く小車を点とみなし、右向きを正とします。小車は座標0 mから出発し、右へ24 mを6 sで等速直線運動した後、左へ8 mを4 sで等速直線運動し、そこで2 s間停止しました。出発から停止が終わるまでの平均の速さと平均の速度を、m/sを単位として分数で求めてください。

図2のように、行きと戻りの長さを別に記録し、最後の停止時間も時間に加えます。停止中は道のりも変位も増えませんが、求める区間の時間は進みます。

図2をもとに、まず終点の座標を求めます。右への24 mは正、左への8 mは負の変位です。

終点の座標 = 0 + 24 − 8 = 16 m

変位 = 16 − 0 = +16 m

一方、道のりは向きを符号にせず、通った長さを足します。

道のり = 24 + 8 = 32 m

経過時間 = 6 + 4 + 2 = 12 s

平均の速さ = 32 ÷ 12 = 8/3 m/s

平均の速度 = (+16) ÷ 12 = +4/3 m/s

平均の速度の正符号は右向きを意味します。平均の速さは移動した長さの平均なので、向きを表す符号を付けません。単位はmをsで割ったm/sです。

答えを場面に戻すと、(8/3 m/s) × 12 s = 32 mで道のりに戻り、(+4/3 m/s) × 12 s = +16 mで変位に戻ります。座標0 mに+16 mを加えると終点は16 mとなり、24 mの位置から8 m戻った位置と一致します。行きの速さ4 m/sと戻りの速さ2 m/sの平均3 m/sは、停止を含む全体の平均の速さではありません。

停止が問題の終わりに含まれなければ、同じ32 mの道のりに対する時間は10 sです。どちらの数字を分母にするかは「いつからいつまで」を読み取って決めます。停止を無視した計算が常に誤りなのではなく、指定された区間から勝手に時間を除くことが誤りです。

速度が一定の区間をつなぐ

直線上の台車を点とみなし、右向きを正とします。座標10 mから左向きに一定の速さ3 m/sで4 s進み、向きを変えて右向きに一定の速さ2 m/sで3 s進みます。停止にかかる時間は無視します。終点の座標、全区間の平均の速さと平均の速度を、m、m/sを単位として分数または整数で求めてください。

左向きの速度は-3 m/s、右向きは+2 m/sです。等速直線運動の区間では、変位 = 速度 × 時間ですから、最初の変位は(-3) × 4 = -12 m、次の変位は(+2) × 3 = +6 mです。符号を含めてつなぐと、全変位は-12 + 6 = -6 mです。

終点の座標 = 10 + (-6) = 4 m

全道のり = 12 + 6 = 18 m

全時間 = 4 + 3 = 7 s

平均の速さ = 18/7 m/s

平均の速度 = -6/7 m/s

平均の速度が負なのは、出発点より左で終わるためです。終点の座標が正の4 mであることとは矛盾しません。座標の符号は原点との位置関係、速度の符号は選んだ区間の変位の向きを表すからです。

答えを元に戻すと、10 + (-6/7) × 7 = 4 mです。また、(18/7) × 7 = 18 mで、12 mと6 mの道のりの合計に戻ります。途中の折り返し点は10 − 12 = -2 m、そこから右に6 m進むと4 mです。

ここでの分かれ目は、求めるものが座標か変位かです。初めの座標が0 mなら両者の数値は一致しますが、この問題では一致しません。さらに、どちらの区間でも速度は一定でも、向きが変わる全区間を1つの等速直線運動とは扱えません。各区間の変位を計算してから合計することが必要です。

誤答をたどって直す

図3は、同じ場所へ往復した場合の考え方です。右を正とし、右へ30 mを10 s、左へ30 mを15 sで進んだとします。各区間は等速直線運動とします。出発から帰着までの平均の速さと平均の速度をm/sで求め、必要なら小数で答えます。

図3の行きの速さは30 ÷ 10 = 3 m/s、帰りは30 ÷ 15 = 2 m/sです。「平均速度は(3 + 2) ÷ 2 = 2.5 m/s」という答えは誤りです。速さの数値には向きが入っておらず、さらに2区間にかかった時間が違うためです。

道のりは30 + 30 = 60 m、時間は10 + 15 = 25 sです。平均の速さは60 ÷ 25 = 2.4 m/sです。変位は(+30) + (-30) = 0 mなので、平均の速度は0 ÷ 25 = 0 m/sです。2.4 × 25 = 60、0 × 25 = 0と戻して、道のりと変位のそれぞれに一致します。

もう一つの誤答は、平均速度も60 ÷ 25とすることです。原因は道のりを変位として使うことにあります。出発点と終点が同じという事実を先に図に記し、分子を0 mに直します。平均速度が0でも途中で止まっていたという意味ではなく、全体として位置の変化が0という意味です。

帰りの速度を-2 m/sとして符号を付けても、(3 + (-2)) ÷ 2 = 0.5 m/sとはできません。各速度にそれぞれの時間を掛けて変位を出し、合計を全時間で割れば、時間の違いと向きの両方を反映できます。

自分で解く4問

いずれも直線上の物体を点とみなし、右向きを正とします。時間や長さは問題の条件どおりとし、指定のない移動や停止はありません。答えは整数または分数で、単位と速度の符号を付けてください。

1. 人が座標0 mから右へ42 m進み、左へ12 m戻るのに全体で15 sかかりました。全区間の平均の速さと平均の速度を求めてください。
2. 小球が座標5 mから左向きに一定の速度-4 m/sで6 s動きました。終点の座標と、この区間の平均速度を求めてください。
3. 配送車が右へ120 mを20 sで進み、同じ向きに180 mを30 sで進んだ後、10 s停止しました。出発から停止終了までの平均の速さと平均の速度を求めてください。
4. 走者が出発点から右の地点まで90 mを15 sで進み、同じ道を左向きに30 sで戻りました。全区間の平均の速さと平均の速度を求めてください。

解答と解き方

1. 道のりは42 + 12 = 54 m、変位は42 − 12 = +30 mです。平均の速さは54 ÷ 15 = 18/5 m/s、平均の速度は30 ÷ 15 = +2 m/sです。戻して確かめると、(18/5) × 15 = 54 m、2 × 15 = 30 mとなり、与えられた経路の長さと終点の位置の変化に合います。

2. 変位は(-4) × 6 = -24 mです。終点は5 + (-24) = -19 m、等速直線運動なので平均速度は-4 m/sです。終点と始点の差は-19 − 5 = -24 mであり、これを6 sで割ると-4 m/sに戻ります。負の座標と負の速度は、それぞれ原点からの位置と移動の向きを表しています。

3. 道のりと変位はともに120 + 180 = 300 mで、変位は右向きなので+300 mです。全時間は20 + 30 + 10 = 60 sです。平均の速さは300 ÷ 60 = 5 m/s、平均の速度は+5 m/sです。5 × 60 = 300 mとなり、停止時間を含む全体の移動に戻ります。移動中は各区間とも6 m/sですが、停止を含めると平均は小さくなります。

4. 道のりは90 + 90 = 180 m、変位は90 − 90 = 0 m、時間は15 + 30 = 45 sです。平均の速さは180 ÷ 45 = 4 m/s、平均の速度は0 ÷ 45 = 0 m/sです。4 × 45 = 180 mで往復の道のりに戻り、0 × 45 = 0 mで出発点への帰着と合います。行きと帰りの時間が違っても、同じ点に戻るという変位の条件は変わりません。

練習の見直しでは、答えの符号だけでなく、求めた平均を全時間に掛けた結果が何を表すかも言います。速さなら道のり、速度なら変位に戻るはずです。両方を同じ数にしてしまった場合は、折り返しがあるかを経路に戻って確かめてください。

手元に残す要点

• 平均の速さは全道のり ÷ 全時間です。
• 平均の速度は符号つきの全変位 ÷ 全時間です。
• 停止時間を含む区間では、その時間も分母に入れます。
• 等速直線運動の変位は速度 × 時間、終点の座標は始点の座標 + 変位です。

どこで迷ったかを見つける

答えが合わないときは、まず経路に始点、折り返し点、終点を書き、全道のりと全変位を別々に指で示せるか試します。次に、問題が指定した開始と終了の間に停止があるかを確認し、分母を説明します。ここで時間を落とすなら、各区間の時間を横に並べてから合計すると見直せます。

個別指導で確かめるなら、計算結果だけでなく、負の平均速度が示す向きと、終点の座標の符号が示す位置を言葉にしてもらいます。さらに平均値に全時間を掛け、元の道のりや変位に戻るかを本人が確かめます。区間の始まりと終わりを押さえると、往復の速さと速度を区別できます。