高校物理基礎 位置と変位—座標の正方向を決めて道のりとの違いを読み取る｜武蔵野個別指導塾

往復の道のりと変位を座標で比べ、原点を移す場合や正方向を反転する場合の符号を自作例題で確かめられます。

よくあるのは、廊下を行って戻った高校生が、歩いた長さをそのまま変位と答える場面です。たしかに足は動いていますが、変位は出発した位置と最後の位置の差を表します。途中で折り返したときは、歩いた道のりと変位を別々に数える必要があります。一直線上の位置を符号つきの座標で表し、何を引くのかを順に見ていきます。

答えにする量を先に選ぶ

定期テストでは、直線上の原点と正方向が示され、図からある物体の位置を座標で答える型があります。原点から左にある点でも、左向きが正なら座標は正です。左右だけを見て符号を決めず、問題の矢印を読んでください。

もう1つは、出発点と到着点の座標から変位を求める型です。引き算の順番は「後の位置 − 前の位置」です。負の答えは計算の失敗ではなく、変位が正方向と反対向きであることを示します。位置が負だから変位も負になるとは限りません。

さらに、折り返しを含む移動で道のりと変位の両方を求める型があります。道のりは各区間の長さを足し、変位は始点と終点の座標の差を取ります。途中の経路がわからない場合でも両端がわかれば変位は求まりますが、道のりは一般に決まりません。速さや速度の計算には進まず、位置の読み取りと距離の数え方に集中します。

座標のものさしと2種類の量

物体を点として扱い、動く直線に座標軸を置きます。基準となる点が原点で、その座標は 0 です。原点から正方向に 1 m の位置を +1 m、反対向きに 1 m の位置を -1 m とします。座標は「原点からどちら側にどれだけ離れた位置か」を表し、単位は長さの単位です。

図1のように、右向きを正にした軸で A は -2 m、B は +3 m にあります。A から B に移ると、変位は (+3) − (-2) = +5 m です。差が正なので、変位は右向きです。逆に B から A に移れば (-2) − (+3) = -5 m となり、同じ2点の間でも向きが逆になります。

図1の A と B の間を一度だけ進む場合、道のりは 5 m です。道のりは通った経路の長さなので負にはなりません。変位は向きを含む量で、1次元では符号を使って向きを示します。「変位の大きさ」と問われたら符号を除いた長さで答え、変位そのものを座標の正方向に沿って答えるときは符号も示します。

原点をずらしても、同じ正方向で測った変位は変わりません。例えば両端の座標に同じ数を足すと、引き算でその数が消えるからです。一方、正方向を反転すると各座標の符号が反転し、同じ移動の変位の符号も反転します。移動そのものが変わったわけではありません。基準を変えたら、その基準に合わせて最初から座標を読み直します。

始点と終点が同じなら、歩いた道のりがあっても変位は 0 m です。反対に、始点から終点まで同じ向きに進み続けた場合、道のりは変位の大きさと等しくなります。折り返しの有無を確認してから、この関係を使います。

原点を移したときの確かめ方

同じ直線上の地点を、異なる原点で表すこともあります。右向きを正として、古い原点を 0 m としたときの始点を +2 m、終点を +9 m とします。新しい原点を古い座標の +4 m に置くと、新しい座標はそれぞれ -2 m と +5 m です。新しい原点の左側に始点があるので、始点の符号は負になります。

古い座標では (+9) − (+2) = +7 m、新しい座標では (+5) − (-2) = +7 m です。どちらも同じ右向きの移動を表します。原点の移動によって両方の座標から 4 m を引いたため、その差は変わりません。片方の座標だけを新しい原点で読み、もう片方に古い座標を使うと、差を取っても正しい変位にはなりません。

この確認は、軸が描き直された問題で役立ちます。先に新しい 0 の場所を図に記し、各点がそこからどちら側に何 m 離れているかを読みます。その後で初めて引き算に進みます。原点を移す操作と正方向を反転する操作を同時に行うときも、それぞれの位置を新しい基準で読み直せば同じ手順です。

基本例題：折り返して止まる

一直線の通路上で、原点 O から右向きを正とします。人を点とみなし、座標 -4 m の地点から右へ進んで +6 m の地点で折り返し、+2 m の地点で止まりました。出発から停止までの変位と道のりを、それぞれ整数で、m を単位として求めてください。変位には正方向に対する符号をつけます。

図2のように、移動を出発から折り返しまでと、折り返しから停止までの2区間に分けます。まず、求める変位の両端は出発点 -4 m と停止点 +2 m です。折り返し地点 +6 m は途中の位置なので、全体の変位を求める引き算の終点には使いません。

図2の全体の変位は、停止時の座標から出発時の座標を引いて求めます。

停止時の座標 − 出発時の座標

= (+2) − (-4)

= +2 + 4

= +6 m

負の数を引くときは、正の数を足します。答えの +6 m は、出発点から見て停止点が正方向に 6 m 離れていることを意味します。折り返しまでの変位は (+6) − (-4) = +10 m、折り返し後は (+2) − (+6) = -4 m です。区間ごとの変位を足しても +10 + (-4) = +6 m になり、両端の座標の差と一致します。

道のりは、各区間で実際に通った長さを足します。最初の区間は 10 m、戻った区間は 4 m ですから、

10 + 4 = 14 m

です。戻る区間の変位は -4 m ですが、その区間の道のりは 4 m です。移動の向きを表す符号を、長さの足し算にそのまま持ち込まないでください。

答えを図へ戻して確かめます。出発点 -4 m から正方向に 6 m 進んだ位置は -4 + 6 = +2 m で、停止点と一致します。また、-4 m から +6 m までは 10 m、そこから +2 m までは 4 m なので、通過した長さは 14 m です。変位 +6 m と道のり 14 m は、それぞれ別の問いへの答えです。

正方向を反転したときの分かれ目

一直線の線路に沿って台車を点として扱います。目印 O を原点とし、最初は右向きを正とします。台車は座標 +7 m から座標 -1 m まで動き、そこで折り返して座標 +3 m で止まりました。右向きを正とした全体の変位と道のりを求め、続いて同じ O を原点のまま左向きを正とした全体の変位を求めてください。答えは符号が必要なものには符号をつけ、整数で m を単位とします。

右向きを正とすると、全体の変位は終点から始点を引いて、

(+3) − (+7) = -4 m

です。負なので、全体としては始点から左向きに 4 m ずれました。道のりは +7 m から -1 m までの 8 m と、-1 m から +3 m までの 4 m の和で、8 + 4 = 12 m です。

ここで正方向を左向きに変えます。原点は同じなので、同じ場所の座標は右向きを正としたときの符号を反転して表します。始点は -7 m、折り返し地点は +1 m、終点は -3 m です。新しい座標を使えば、

(-3) − (-7) = +4 m

となります。正の答えは、新しく決めた左向きに 4 m の変位という意味です。道のりは向きの取り方を変えても 8 + 4 = 12 m のままです。

検算では、新しい始点 -7 m に変位 +4 m を足すと終点 -3 m に戻ります。右向きの座標でも +7 + (-4) = +3 です。どちらの座標でも同じ位置関係を表せます。問題文が正方向を指定した場合はその指定を使い、別の向きで計算する場合は座標と答えの両方を揃えることが分かれ目です。

途中の位置が示されない問題では、始点と終点から移動の詳細を決めないようにします。同じ始点と終点でも途中で折り返せば道のりは増えます。したがって、経路の条件なしに道のりを変位の大きさと決めつけることはできません。

間違えた式から原因を探す

右向きを正とし、座標 +1 m から +5 m を通って +1 m に戻る移動を考えます。「変位は 8 m」と答えた場合、往路 4 m と復路 4 m を足して、道のりを変位としてしまった可能性があります。図3のように、変位の計算では最初と最後の座標を選びます。

図3では最後も +1 m なので、変位は (+1) − (+1) = 0 m です。道のりは 4 + 4 = 8 m です。修正するときは、数字を消して答えだけを書き換えるのではなく、式の横に「終点 − 始点」と書き添えます。何を引いたのか説明できれば、往復以外にも使えます。

別の誤りは、負の座標を見て絶対に負の変位になると思うことです。例えば -5 m から -2 m への移動は、(-2) − (-5) = +3 m です。終点も始点も原点の負側にありますが、移動は正方向です。数直線で終点が始点の正方向側にあるかを見て、計算結果の符号と照合します。

引く順番を逆にした場合は、変位の大きさが合っていても向きが逆になります。出発から到着へ指でたどり、求めた符号の示す向きと比べてください。道のりを負にした場合は、区間の長さをそれぞれ正または 0 として取り直します。

練習：位置の読み方を試す

いずれも物体を点とみなし、一直線上を移動するものとします。変位は指定した正方向に対する符号をつけ、答えは整数で m を単位としてください。道のりは符号をつけずに答えます。

1. 右向きを正、目印を原点とします。小球は座標 -3 m から +4 m まで、折り返さずに進みます。変位と道のりを求めてください。
2. 右向きを正、柱を原点とします。人は座標 +8 m から -2 m まで歩き、そこから +1 m まで戻りました。全体の変位と道のりを求めてください。
3. 右向きを正、標識を原点とします。荷物は座標 -6 m から +2 m を経由して -6 m に戻りました。全体の変位と道のりを求めてください。
4. 同じ直線上に原点 O を取り、右向きを正としたとき、物体は座標 -7 m から -1 m まで折り返さずに進みました。左向きを正に変え、原点は O のままとします。新しい座標での始点、終点、変位と、道のりを求めてください。

練習の答えと確かめ方

1. 変位は (+4) − (-3) = +7 m です。折り返さずに正方向へ進むので、道のりは 7 m です。始点に変位を足すと -3 + 7 = +4 m となり、指定された終点に戻ります。原点を通っても区間が切れるわけではなく、端から端の長さで数えられます。

2. 変位は (+1) − (+8) = -7 m です。最初に 10 m、次に 3 m 歩くので、道のりは 10 + 3 = 13 m です。+8 m から左へ 10 m 進むと -2 m、そこから右へ 3 m 進むと +1 m です。最終位置と経路の両方を元の条件に戻して確かめられます。

3. 変位は (-6) − (-6) = 0 m です。行きは 8 m、戻りも 8 m なので、道のりは 8 + 8 = 16 m です。出発点に戻る移動でも道のりは消えません。-6 m から右へ 8 m 進むと +2 m になり、左へ 8 m 戻ると -6 m になります。

4. 左向きを正にすると、始点は +7 m、終点は +1 m です。変位は (+1) − (+7) = -6 m、道のりは 6 m です。新しい始点 +7 m に -6 m を足すと +1 m に戻ります。元の右向きの座標では -7 m から -1 m への移動なので、実際には右向きに 6 m 進んでいます。新しい正方向に対しては負という答えと一致します。

手元に残す要点

位置は原点と正方向を決めた座標で表します。
変位は「終点の座標 − 始点の座標」です。
道のりは通った各区間の長さの和です。
正方向を反転すると変位の符号も反転します。

図から読み取った座標に単位を添えると、何を計算しているかも追いやすくなります。途中式で位置の数値を引いているなら、答えの単位は長さです。道のりも長さですが、符号の扱いは変位と異なります。問いに「大きさ」とあるかどうかも、最後に読み直してください。

説明できる場所を見つける

自分の答えを見直すときは、「原点はどこか」「正の矢印はどちらか」「終点にどの座標を選んだか」を順に声に出してみてください。式は合っていても、それぞれを図で指せなければ、別の図で符号を取り違えることがあります。折り返し点を終点にしていないかも確認します。

個別指導で確かめるなら、同じ往復の図を使って、変位の両端と道のりを構成する区間を別々に指して説明します。答えが負になったら、負号が示す向きを軸に描き、出発点にその変位を加えて停止点へ戻るかを見ます。位置の基準と移動の記録を分けると、往復の数え方が明確になります。