高校受験の理科 水圧と浮力—深さと押しのけた水から力の変化を読む｜武蔵野個別指導塾

ばねばかりの読みと押しのけた水の重さを手がかりに、深さによる変化から考えるのは水圧と浮力です。

よくあるのは、水中に完全に沈んだ物体をさらに深くすると、浮力も増すと中学生が考える場面です。深い場所ほど水圧が大きいことは正しい知識です。しかし、それぞれの面を押す力がどう変わるかと、物体全体にはたらく上向きの力がどう変わるかは、分けて考える必要があります。ばねばかりの値と水に入った体積を順に追うと、深さの変化と浮力の変化を整理できます。

水中のどの量が変わるか

水圧と浮力の問題には、主に3つの型があります。1つ目は、水面からの深さを比べ、水が面を押す向きや水圧の大小を答える型です。容器の底だけでなく、横の壁や物体の下面も水に押されます。同じ水の中では、深い位置ほど水圧は大きく、同じ深さなら向きによらず水圧は同じです。

2つ目は、物体をばねばかりにつるして水中へ入れ、空気中と水中の読みの差から浮力を求める型です。静止している物体に下向きにはたらく重力と、上向きにはたらく力を分けて描きます。読みが小さくなった分を浮力と考えますが、水中で物体が底や壁に触れていないことが前提です。

3つ目は、水に入った体積から押しのけた水の重さを求める型です。途中まで入った物体では、水中の体積が増えるにつれて浮力も増します。完全に沈んだ後は、物体の形と水の密度が変わらなければ、さらに深くしても押しのける水の体積は変わりません。問題ごとに「どこまで水に入ったか」を確かめてから計算しましょう。

面を押す力と物体全体の浮力

水が触れている面を押す圧力を水圧といいます。圧力は面を垂直に押す力の大きさを面積で割ったものです。水圧の向きは面に垂直で、水の側から面に向かいます。水平な上面は下向きに、水平な下面は上向きに押されます。側面では横向きに押されます。

図1のように、水中の直方体では、下面が上面より深い位置にあります。上面と下面の面積は等しく、下面の水圧が大きいため、下面を押し上げる力が上面を押し下げる力より大きくなります。左右の側面への横向きの力は互いに打ち消し合います。全体として残る上向きの力が浮力です。

図1の矢印は水が物体を押す向きを表します。下面の矢印を長く描いたのは、上面より深く、水圧が大きいことを示すためです。矢印の長さは比較のためで、特定の数値を表していません。同じ深さの水圧を比べることと、深さの異なる上下の面にかかる力を比べることを混同しないようにします。

浮力は、物体が押しのけた水の重さに等しくなります。押しのけた水の体積は、物体のうち水中に入っている部分の体積です。水の密度と重力の換算が与えられたら、まず「密度 × 水中の体積」で押しのけた水の質量を求め、その質量に対応する重力を計算します。質量の単位gと力の単位Nは別なので、与えられた換算を使って結びます。

浮力を求めた後には、その向きも確認します。水が物体を押す力は面ごとに向きが異なりますが、それらを合わせた浮力は鉛直上向きです。水中の読みが0になる場合は糸が張っているとは限らないため、引き続き差の式を使えるか、物体にかかる力を確認します。

水面をまたぐ物体は、水面より上の部分を押しのけた水に含めません。また、物体を手で押さえている場合や底に接している場合には、ばねばかり以外の力も考える必要があります。以下では、物体は静止し、容器の底や壁に触れず、糸の重さと体積は無視できるものとします。

基本例題：読みの差を確かめる

次の条件は計算用に与えたものです。水の密度を1.0 g/cm³、質量100 gの物体にはたらく重力を1.0 Nとします。空気中でばねばかりにつるした直方体の読みは3.0 Nです。この物体を水中に完全に沈め、静止させると、ばねばかりの読みは2.2 Nになりました。物体は底や壁に触れていません。浮力の大きさを小数第1位までのNで求め、押しのけた水の体積を整数のcm³で求めてください。

図2のように、空気中と水中の読みを並べると、何を引くかが見えます。水中では上向きの浮力が加わるため、その分だけばねばかりが物体を引く力は小さくなります。

図2の水中の物体には、下向きに3.0 Nの重力、上向きに2.2 Nの糸の力と浮力がはたらきます。静止しているので、上下の力の大きさはつり合います。浮力を求める式は次のとおりです。

3.0 N − 2.2 N = 0.8 N

したがって浮力は0.8 Nです。この力は押しのけた水にはたらく重力に等しいので、次は0.8 Nに対応する水の質量を求めます。100 gに1.0 Nの重力がはたらく条件から、0.8 Nに対応する質量は次のようになります。

100 g × 0.8 = 80 g

密度が1.0 g/cm³なので、水の体積は質量を密度で割ります。

80 g ÷ 1.0 g/cm³ = 80 cm³

答えは浮力0.8 N、押しのけた水の体積80 cm³です。完全に沈んでいるので、この場合は物体全体の体積も80 cm³です。逆に80 cm³の水の質量は80 gで、その重力は0.8 Nです。さらに水中の読み2.2 Nに浮力0.8 Nを加えると、空気中の読み3.0 Nに戻ります。体積から読みまで戻せるかを確かめると、単位の取り違えに気づけます。

水面を通過するときと、沈んだ後

別の直方体を一定の向きでばねばかりにつるし、水中へ少しずつ下ろします。底面積は20 cm²、高さは10 cm、空気中の読みは3.0 Nです。水の密度は1.0 g/cm³、質量100 gにはたらく重力は1.0 Nとします。水面は水平で、物体が入るときの水面の上昇は無視でき、物体は底や壁に触れません。物体が静止している各位置で、次の問いに答えてください。

底面から4 cmの高さまで水に入ったときと、物体が完全に沈んだときの浮力とばねばかりの読みを、それぞれ小数第1位までのNで求めます。完全に沈んだ状態からさらに深くした場合の読みの変化も答えてください。物体の体積は水圧で変わらないものとします。

最初の位置では、水中にある部分の体積は底面積に水中の高さをかけて求めます。

20 cm² × 4 cm = 80 cm³

この体積の水の質量は80 gで、与えられた換算から重力は0.8 Nです。よって浮力は0.8 N、ばねばかりの読みは3.0 N − 0.8 N = 2.2 Nです。

完全に沈むと、水中の高さは物体の高さ10 cmになります。水中の体積は20 cm² × 10 cm = 200 cm³です。押しのけた水の質量は200 g、重力は2.0 Nなので、浮力は2.0 Nです。ばねばかりの読みは3.0 N − 2.0 N = 1.0 Nです。

さらに深くしても水中の体積は200 cm³のままなので、浮力は2.0 N、読みは1.0 Nのままです。水圧は上面でも下面でも大きくなりますが、直方体の上下の面の深さの差は変わらず、両面を押す力の差も変わりません。深さによる水圧の増加と、浮力が一定であることは矛盾しません。

読みを戻して確認すると、途中では2.2 N + 0.8 N = 3.0 N、完全に沈めた後は1.0 N + 2.0 N = 3.0 Nです。分かれ目は物体の上面が水面に達するところです。それまでは水中の体積が増えますが、達した後は全体の体積を超えて増えることはありません。

誤答から力の向きを直す

「深くすると下面の水圧が大きくなるから、浮力も必ず大きくなる」という答えは、下面の変化だけを見ています。完全に沈んだ直方体を下げると、上面も深くなり、下向きに押す力も大きくなります。図3のように上下を一組で比べ、水中の体積が変わるかを調べると、結論を直せます。

図3では左右の物体は同じ形で、どちらも完全に水中にあります。深い位置では両面の水圧が大きい一方、押しのけた水の体積は同じです。したがって浮力は同じです。水面を通過中の物体にこの結論をそのまま使うと、水中の体積の増加を見落とします。

もう1つの誤りは、水中の読みをそのまま浮力とすることです。読みは糸が物体を上向きに引く力で、浮力とは別の力です。空気中の読みから水中の読みを引き、得た値と水中の読みを足して元の重力に戻るかを確認します。反対に、浮力を空気中の読みに足すと、上向きの力を加えたのに読みが大きくなるため、静止した場面と合いません。

練習：水中の部分から考える

次の問題はそれぞれ独立しています。物体は静止し、底や壁に触れず、糸の重さと体積は無視します。数値は各問題の計算用の条件です。

1. 水中の小さな面A、B、Cは同じ面積です。Aは水面から3 cm、BとCは水面から8 cmの深さにあり、AとBは水平、Cは垂直です。水圧の大きさを比べ、面Cを水が押す向きを答えてください。
2. 空気中の読みが4.5 Nの物体を水中に完全に沈めると、ばねばかりは3.3 Nを示しました。浮力を小数第1位までのNで求めてください。水の密度を1.0 g/cm³、100 gにはたらく重力を1.0 Nとして、物体の体積も整数のcm³で求めてください。
3. 底面積15 cm²、高さ12 cmの直方体を、底面を水平に保って水中へ下ろします。空気中の読みは2.4 Nです。水の密度を1.0 g/cm³、100 gにはたらく重力を1.0 Nとし、水面の上昇は無視します。底面から6 cmまで水に入ったときの浮力と読みを、それぞれ小数第2位までのNで求めてください。
4. ある物体を密度1.2 g/cm³の液体に完全に沈めたところ、ばねばかりの読みは1.8 Nでした。物体の体積は100 cm³で、100 gにはたらく重力は1.0 Nです。空気中の読みを小数第1位までのNで求めてください。物体の体積は変わらず、液体の深さによる密度の変化も無視します。

答えと道筋

1. BとCの水圧が等しく、どちらもAより大きくなります。水圧は同じ液体の同じ深さでは面の向きによらず等しく、より深い位置で大きくなるからです。Cでは垂直な面に対して垂直に、水から面に向かう水平な向きに押します。水平な上向きや下向きと決めず、面の向きから判定します。

2. 浮力は4.5 N − 3.3 N = 1.2 Nです。これは120 gの水の重力に相当します。水の密度は1.0 g/cm³なので、押しのけた水の体積は120 g ÷ 1.0 g/cm³ = 120 cm³です。完全に沈んでいるため、物体の体積も120 cm³です。120 cm³の水は120 gで重力が1.2 Nとなり、3.3 N + 1.2 N = 4.5 Nと元の読みに戻ります。

3. 水中の体積は15 cm² × 6 cm = 90 cm³です。押しのけた水の質量は90 g、重力は0.90 Nなので、浮力は0.90 Nです。読みは2.40 N − 0.90 N = 1.50 Nです。1.50 N + 0.90 N = 2.40 Nで空気中の読みとつり合います。水中の高さ6 cmは物体全体の高さ12 cmより小さいので、全体の体積を使わないことも確かめます。

4. 押しのけた液体の質量は1.2 g/cm³ × 100 cm³ = 120 gです。その重力は1.2 Nなので、浮力も1.2 Nです。空気中の読みは水中と同じようにつり合いを考え、1.8 N + 1.2 N = 3.0 Nとなります。逆に3.0 Nから1.2 Nを引くと、液体中の読み1.8 Nに戻ります。液体の密度が水と異なる場合も、問題で与えられた値を使います。

手元に残す要点

• 水圧は水中の面に垂直にはたらき、同じ水では深いほど大きくなります。
• 浮力は押しのけた水の重さに等しく、水中の体積から求められます。
• 静止して底や壁に触れない物体では、浮力は空気中と水中の読みの差です。
• 完全に沈んだ後、体積と水の密度が変わらなければ浮力は変わりません。

答えが合わないときに見る場所

お子さまが水圧の向きで迷うときは、図1の面を1つ指し、面に垂直な向きを水の側からたどってもらいます。上下の矢印を描けても左右を描けない場合は、下向きの重力と面を押す水圧を混同しているかもしれません。個別指導では、面ごとの水圧を描いた後に、物体全体の上向きの力へまとめられるかを確かめます。

計算が合わないときは、先に単位と水中の範囲を見ます。途中まで沈めた図に水中の高さを書き込み、体積から水の質量、重力、浮力、ばねばかりの読みへと一段ずつ進めます。答えを元の力のつり合いに戻せれば、深さと浮力の関係も自分の言葉で説明できます。