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高校地学太陽の核融合—質量欠損と光度からエネルギー収支を計算する｜武蔵野個別指導塾

公開 2026.11.13更新 2026.11.13武蔵野個別指導塾の特徴地学を掘り下げる宇宙

水素からヘリウムが生じるときの質量欠損を、時間と放射の割合に注意して光度へつなげます。

よくあるのは、高校生が一定時間に減った質量を、そのまま1秒あたりの質量として式へ代入する場面です。エネルギーの計算までは合っていても、時間を忘れると光度の答えが変わります。太陽の中心で生じる核融合を手がかりに、まとまった時間の量と1秒あたりの量を分け、何が光として外へ出るかまでたどります。数値例はすべて自作の条件であり、太陽の測定値ではありません。

答案で問われる3つの道筋

第1の型は、反応前後の質量差からエネルギーを求め、さらに一定時間で割る計算です。質量がkg、時間がsで与えられたら、最初に求まるのはJ、その次がJ/s、すなわちWです。反応前の水素の質量を丸ごと式に入れるのではなく、反応前後の差を使います。

第2の型は、光度と時間から逆に質量欠損を求める計算です。光度が一定なら、光度に時間をかけると放射エネルギーになります。このエネルギーに対応する質量は求まりますが、それを直ちに反応に使われた水素の全質量とは呼べません。両者を結ぶには、反応に参加した水素のうち何割が質量欠損に相当するかという条件が必要です。

第3の型は、モデルの条件や資料を読んで収支を説明する問題です。核融合のエネルギーがすべて光として外へ出ると仮定するのか、一部が別の形で運ばれるとするのかで立式は変わります。表の各期間の光度が違う場合は、それぞれの時間に対応するエネルギーを足します。数式が同じでも、対象とする時間やエネルギーの範囲を言葉で確かめることが、計算の出発点です。

水素から光度へつなぐ条件

太陽の中心では、高温・高密度のもとで水素の原子核からヘリウムの原子核を作る核融合が進みます。複数の段階を経た全体の結果として、水素の原子核からヘリウムが生じ、エネルギーが放出されます。中心で生じたエネルギーは内部を運ばれ、表面からの放射につながります。表面で水素が燃えているという意味ではありません。

核融合と、酸素と物質が反応する日常の燃焼は異なります。燃焼は主に原子の外側の電子の結びつきが変わる化学反応です。核融合では原子核そのものが変わります。太陽について水素が「燃える」と表現する場合もありますが、酸素を使う炎を想像しないようにします。

反応の前後を、同じ範囲の粒子について比べます。反応前の静止質量の合計から、反応後の生成物の静止質量の合計を引いた量を、ここでは質量欠損Δmとします。生成物を数え落とすと差が変わるため、問題が何を含む差を与えているかに注意します。質量が無に消えると考えるのではなく、対応するエネルギーが運動や放射などの形で現れると考えます。

静止質量の差に対応するエネルギーEは、真空中の光速をcとして E = Δm・c² です。cを3.00 × 10⁸ m/sとすると、c²は9.00 × 10¹⁶ m²/s²です。したがってΔmをkgで入れると、kg・m²/s²、つまりJになります。cを2倍するのではなく、値を2乗する点にも気をつけます。

光度Lは、天体が単位時間に放射するエネルギーです。一定の光度で時間tの間に放射されたエネルギーをE放射とすると、E放射 = L・t、L = E放射/t です。光度は太陽全体から出る放射を表し、ある場所の単位面積が受ける放射とは区別します。光度が変化するとき、総エネルギーを総時間で割ったものは、その区間の平均光度です。

図1のように、核反応によるエネルギーと外へ出る放射の間には、内部に蓄えられるエネルギーの変化や、放射以外で運ばれるエネルギーが入りえます。図の大きさは量の比を示していません。以下の計算では、問題ごとに収支の仮定を与えます。蓄積を無視し、核融合のエネルギーがすべて放射になる模型なら、L = Δm・c²/t と置けます。

図1の分岐を見落とすと、核融合で生じたエネルギーの合計と放射エネルギーをいつでも同一視してしまいます。現実の太陽では、核融合に伴ってニュートリノも生じ、エネルギーの一部を外へ運びます。また、中心で生じたエネルギーが直ちに表面から同時に出ると決めることもできません。短い時間の収支を扱う際は、蓄積の変化と時間のずれを無視できるという条件を別に確認します。

高校の範囲を超える補足

水素からヘリウムへの変化は一度に4個の核が衝突して完了するという意味ではなく、複数の反応を経た正味の結果です。途中で陽電子やニュートリノなども関わります。反応のエネルギーを核の質量から厳密に計算するなら、これらを含む前後の粒子をそろえ、静止質量と運動エネルギーを区別します。高校の答案では、問題で与えられた質量欠損と放射の条件を用いれば足ります。

基本例題　時間を含む質量差から光度を出す

【問題】ある恒星を表す自作の模型で、3.00 sの間に起きた反応全体の質量欠損が6.00 kgでした。この間の反応によるエネルギーはすべて放射となり、内部での蓄積の変化は無視でき、光度は一定とします。c = 3.00 × 10⁸ m/sとして、放射エネルギーをJで、光度をWでそれぞれ有効数字3桁で求めてください。

図2のように、6.00 kgは3.00 s分の合計です。まず合計のエネルギーに直し、その後に時間で割ります。図の箱の大きさは実際の量の比を表していません。

【解き方】まず、反応全体のエネルギーを求めます。

c² = (3.00 × 10⁸ m/s)²
   = 9.00 × 10¹⁶ m²/s²
E = 6.00 kg・9.00 × 10¹⁶ m²/s²
  = 5.40 × 10¹⁷ J

これが3.00 sの合計です。一定光度という条件から次のようになります。

L = (5.40 × 10¹⁷ J)/(3.00 s)
  = 1.80 × 10¹⁷ J/s
  = 1.80 × 10¹⁷ W

答えは放射エネルギーが5.40 × 10¹⁷ J、光度が1.80 × 10¹⁷ Wです。逆に光度に3.00 sをかけると5.40 × 10¹⁷ Jに戻り、それをc²で割ると6.00 kgになります。図2の時間と質量にも戻るので、合計と毎秒を取り違えていないと確かめられます。

別解では先に質量欠損を毎秒の値に直します。6.00 kg/3.00 s = 2.00 kg/sです。これにc²をかけると1.80 × 10¹⁷ J/sとなり、同じ光度に達します。毎秒の値を先に出す方法でも、3.00 sの値を時間で割る操作が必要です。

標準例題　放射の記録から質量差を戻す

【問題】別の自作模型で、放射の光度は10.0 sの間、3.60 × 10¹⁸ Wで一定でした。この放射の全エネルギーは、その間の核融合の質量欠損に由来し、他への流出と内部蓄積の変化は無視します。c = 3.00 × 10⁸ m/sとして、質量欠損をkgで有効数字3桁で求めてください。

【解き方】WはJ/sです。時間をかけてから、質量へ戻します。

E放射 = L・t
      = 3.60 × 10¹⁸ J/s・10.0 s
      = 3.60 × 10¹⁹ J
Δm = E放射/c²
   = (3.60 × 10¹⁹ J)/(9.00 × 10¹⁶ m²/s²)
   = 4.00 × 10² kg

答えは4.00 × 10² kgです。これにc²をかけると3.60 × 10¹⁹ Jとなり、10.0 sで割ると問題の3.60 × 10¹⁸ Wに戻ります。反応した水素の質量は、欠損する割合を与えられていないので、この条件からは求められません。式を逆に使うときも、何の質量を得たのかまで書きます。

発展例題　欠損の割合と放射の割合を分ける

【問題】自作模型の中心で、水素が毎秒2.00 × 10³ kg反応します。反応した水素の質量の0.00500倍が質量欠損に相当し、その欠損に対応するエネルギーの0.900倍が放射として外へ出るとします。内部蓄積の変化は無視し、条件は一定です。c = 3.00 × 10⁸ m/sとして、放射の光度をWで有効数字3桁で求め、反応する水素の質量と毎秒の質量欠損が異なる理由を述べてください。

【解き方】水素の反応量に欠損の割合をかけると、毎秒の質量欠損が出ます。

毎秒の質量欠損 = 2.00 × 10³ kg/s・0.00500
                = 10.0 kg/s
毎秒の核融合エネルギー = 10.0 kg/s・9.00 × 10¹⁶ m²/s²
                       = 9.00 × 10¹⁷ J/s
放射の光度 = 9.00 × 10¹⁷ J/s・0.900
           = 8.10 × 10¹⁷ W

答えは8.10 × 10¹⁷ Wです。反応した水素の質量の大部分は生成物の静止質量として残るため、反応量と欠損量は異なります。この割合は計算用に置いた条件で、実際の太陽の割合を示すものではありません。

答えを場面へ戻すと、光度を0.900で割った毎秒の核融合エネルギーは9.00 × 10¹⁷ J/sです。さらにc²で割ると10.0 kg/s、0.00500で割ると2.00 × 10³ kg/sとなり、問題の水素の反応量を再現します。放射に出ない残りは、この模型では別の形で外へ運ばれると考えます。

別解では、2.00 × 10³に0.00500と0.900を順にかけ、放射に対応する毎秒の質量を9.00 kg/sとしてからc²をかけます。ただし、この9.00 kg/sは核反応の質量欠損全体ではなく、放射分のエネルギーを質量に換算した量です。似た単位の量でも名前を付けると、途中で混同しません。

光度の測定値と時間から質量欠損を推定する際は、測定した波長の範囲、観測から全放射への換算、放射以外の流出、内部に蓄えられるエネルギーの変化が結果にどう影響するかを調べます。たとえば全放射の一部しか測っていない値を全体とみなせば、他の条件が同じなら推定する放射エネルギーは小さくなります。観測量の不足と計算ミスは別の原因です。

配布された太陽の画像と自作の光度表を教材にする場合、画像の明るさだけで中心の反応量を数値化しない計画を立てます。画像の条件が違えば見かけの明るさも変わるためです。表に値と対象の時間、光度が全放射かどうか、測定の不確かさを書き、異なる期間の平均値を比べます。資料を使う活動は学校の指導の下で行います。

誤答をほどく3つの確認

図3の左側の誤りは、基本例題の6.00 kgを毎秒の質量欠損として扱うことです。6.00 kgにc²をかけた結果は、3.00 s分のJです。JをそのままWと呼ぶと、時間の単位が消えたままになります。右側のように3.00 sで割り、単位をJ/sに直してから光度と名付けます。図の箱は手順を示す模式図です。

もう1つの誤りは、反応した水素の全質量をΔmに入れることです。ヘリウムなどの生成物にも静止質量が残ります。反応量から質量欠損を求めるには前後の差、またはその差の割合が必要です。問題が欠損を直接与えているなら、割合を勝手にもう一度かけてはいけません。

さらに、光度と核融合によるエネルギーの毎秒の発生量を、条件なしに等しくする誤りもあります。光以外に運ばれるエネルギーや内部蓄積の変化を考えれば、両者は必ずしも同じではありません。答案に「すべて放射になる」「蓄積の変化を無視する」と問題の条件を書き添え、その後で等式を使います。

練習　5つの異なる条件を読む

次はすべて自作模型です。c = 3.00 × 10⁸ m/sとし、各設問に示す以外のエネルギー流出と内部蓄積の変化は無視します。数値の答えは有効数字3桁で示し、答えから問題の条件へ戻して確かめてください。

4.00 sの反応で質量欠損が12.0 kg生じ、その全エネルギーが一定の光度で放射されました。光度をWで求めてください。
5.00 sの間、光度が7.20 × 10¹⁷ Wで一定でした。放射の全エネルギーが質量欠損に対応するとき、欠損をkgで求めてください。
毎秒1.50 × 10³ kgの水素が反応し、その0.00400倍が質量欠損です。欠損に対応するエネルギーの0.750倍が放射となるとき、放射の光度をWで求めてください。
放射に対応するエネルギーが合計1.80 × 10¹⁸ Jでした。このエネルギーを生む質量欠損をkgで求め、反応に参加した水素の全質量も求められるか理由を述べてください。
光度が初めの2.00 sは9.00 × 10¹⁶ W、次の3.00 sは1.80 × 10¹⁷ Wでそれぞれ一定でした。放射エネルギーの合計をJで、全区間の平均光度をWで求めてください。また合計の放射が質量欠損に対応するとき、その欠損をkgで求めてください。

解答と解き方

12.0 kgは4.00 s分なので、まず毎秒に直します。

12.0 kg/(4.00 s) = 3.00 kg/s
L = 3.00 kg/s・9.00 × 10¹⁶ m²/s²
  = 2.70 × 10¹⁷ W

戻して確かめると、2.70 × 10¹⁷ J/sに4.00 sをかけた1.08 × 10¹⁸ Jをc²で割り、12.0 kgが得られます。

光度を時間で積算してから質量へ換算します。

E = 7.20 × 10¹⁷ J/s・5.00 s
  = 3.60 × 10¹⁸ J
Δm = (3.60 × 10¹⁸ J)/(9.00 × 10¹⁶ m²/s²)
   = 40.0 kg

40.0 kgにc²をかけ、5.00 sで割ると7.20 × 10¹⁷ Wに戻ります。

水素の反応量から欠損量を求め、次に放射の割合を使います。

毎秒の質量欠損 = 1.50 × 10³ kg/s・0.00400
                = 6.00 kg/s
毎秒の核融合エネルギー = 6.00 kg/s・9.00 × 10¹⁶ m²/s²
                       = 5.40 × 10¹⁷ J/s
L = 5.40 × 10¹⁷ J/s・0.750
  = 4.05 × 10¹⁷ W

光度を0.750とc²で順に割ると6.00 kg/s、さらに0.00400で割ると1.50 × 10³ kg/sです。2種類の割合を逆順に戻すことで、各条件を確かめられます。

エネルギーをc²で割ります。

Δm = (1.80 × 10¹⁸ J)/(9.00 × 10¹⁶ m²/s²)
   = 20.0 kg

20.0 kgにc²をかけると1.80 × 10¹⁸ Jに戻ります。水素全体の質量は求められません。質量欠損が水素の反応量の何倍か、あるいは生成物の質量がいくらかという条件がないためです。

区間ごとに光度と時間をかけ、その後に足します。

前半の放射 = 9.00 × 10¹⁶ J/s・2.00 s
           = 1.80 × 10¹⁷ J
後半の放射 = 1.80 × 10¹⁷ J/s・3.00 s
           = 5.40 × 10¹⁷ J
合計 = 1.80 × 10¹⁷ J + 5.40 × 10¹⁷ J
     = 7.20 × 10¹⁷ J
平均光度 = (7.20 × 10¹⁷ J)/(5.00 s)
         = 1.44 × 10¹⁷ W
Δm = (7.20 × 10¹⁷ J)/(9.00 × 10¹⁶ m²/s²)
   = 8.00 kg

8.00 kgにc²をかけると合計の7.20 × 10¹⁷ Jに戻り、平均光度に5.00 sをかけても同じ値です。平均は2つの光度の単純な中点ではありません。継続時間が異なるため、それぞれの時間を重みとして扱います。

手元に残す要点

質量欠損は反応前後の静止質量の差で、反応した水素の全質量とは区別します。
欠損に対応するエネルギーは E = Δm・c² です。
一定の光度では E放射 = L・t、光度の単位はW = J/sです。
核融合のエネルギーと放射を結ぶときは、流出と蓄積についての条件を確かめます。

答案からつまずきを見分ける

式の右辺にkgがあるのに答えをWとしている場合は、その質量が何秒分かを尋ね、JからJ/sに変わる行を探します。質量の欄に反応した水素の全量を書いている場合は、反応後に残る生成物を言葉で挙げてもらい、差をとる位置を確かめます。割合を扱う場合は、分母が水素の反応量なのか、核融合エネルギーなのかをそれぞれ示してもらいます。

個別指導では、時間の異なる区間を色分けした資料を使い、光度に各区間の時間をかけて合計できるかを見ます。答えを出した後は逆算で元の条件に戻し、単位と対象の範囲を声に出して照合します。太陽の核融合を数字で読むには、質量差、時間、エネルギーの行き先をそろえることが欠かせません。