高校地学 惑星の会合周期—公転角速度の差から配置が繰り返す時刻を求める｜武蔵野個別指導塾

内惑星と外惑星の配置を図に描き、角速度の差から会合周期を求め、最大離角の幾何も確かめます。

よくあるのは、高校生が地球と惑星の公転周期を足して、次の衝までの時間を出そうとする場面です。2つの天体はどちらも動いているので、比べたいのはそれぞれが1周する時間の和ではありません。太陽から見た方向の差が、どれだけの速さで変化するかを追います。地球から見た太陽と惑星の方向も描き分けると、衝と合の違いが見えてきます。

何を手掛かりに配置を読むか

会合周期の問題には、まず2つの公転周期から同じ配置に戻る時間を求める型があります。1年あたり何周進むかを出し、速い方と遅い方の差を使います。時間を足すのではなく、時間あたりの進みの差を求めることが入口です。

次に、円軌道上の配置図から、外惑星の衝や合、内惑星の内合や外合を判定する型があります。見る場所が地球か太陽かによって、同じ図から比べる方向が変わります。太陽を中心とする角度と、地球を頂点とする離角を同じ記号で扱わないようにします。

もう1つは、内惑星の最大離角や、途中の配置から次に特定の配置が現れる時刻を考える型です。最大離角では接線と半径の直角を使います。途中から始める場合は、相対角が1周するまで待つとは限りません。最初の角度と進む向きを記録し、目的の角度まで何度残るかを考えます。

2つの視点と角速度

ここでは太陽を中心とする同一平面内の円軌道を、地球と惑星が同じ向きに一定の角速度で回るとします。地球より内側の軌道を回るものを内惑星、外側を回るものを外惑星と呼びます。図1は配置の関係を示す模式図で、軌道の半径は実際の比ではありません。

図1のように、一直線上の天体の順を確認すると、地球からどちらを向くかを判定できます。内惑星が太陽と地球の間にあるときが内合です。内惑星が太陽を挟んで地球の反対側にあるときが外合です。どちらも地球から見れば惑星と太陽は同じ方向です。外惑星では、太陽と地球の間に惑星は置けません。太陽、地球、外惑星の順に並ぶと、地球から見た太陽と外惑星は反対方向となり、衝です。地球、太陽、外惑星の順なら合です。

合と衝を数値化する角度は、地球から見た太陽と惑星の方向の間の角、すなわち離角です。この平面模型では合の離角は0°、衝は180°です。一方、太陽を頂点とする地球と惑星の方向の差は、会合周期を計算するための相対角です。外惑星の衝と内惑星の内合では、太陽から見た両者の方向が一致します。外惑星の合と内惑星の外合では、方向は反対です。2種類の角度の頂点に印を付けると、どちらを計算しているか見失いません。

実際の軌道は完全な円でも同一平面でもありません。実際の合や衝は地球から見た黄経などの座標で定義され、天体が必ず一直線になるとは限りません。円軌道の計算は配置の仕組みをつかむ模型です。実際の個々の現象の間隔は一定とは限らず、求めた周期は平均的な目安として扱います。

公転周期を地球はE年、惑星はP年とします。1年あたりに進む周数はそれぞれ1/E周と1/P周です。角速度を度で表せば360/E°/年と360/P°/年です。年で計算するときは両方の周期を年にそろえ、日で計算するときは両方を日にそろえます。1周を取り返すのにS年かかるなら、相対的に進む周数は次の関係を満たします。

1 = |1/E − 1/P|・S

したがって、1/S = |1/E − 1/P|です。縦線は差の絶対値を表します。内側と外側で差の符号が逆になっても、経過時間は正にするためです。 もし模型でEとPが等しければ差は0です。初めの相対角は変化せず、異なる配置へは移らないので、この式を逆数にして有限の会合周期を出すことはできません。初めから同じ方向なら、方向は一致し続けます。この式のSは相対角が360°変化する時間であり、内合から次の内合、外惑星の衝から次の衝など、同じ種類の配置の間隔に対応します。

たとえば衝から次の合までなら、相対角は半周変われば足ります。円軌道で角速度が一定の模型では所要時間はS/2です。内合から外合も同様です。合から衝を経て次の合へ戻る時間と、合から衝までの時間を区別してください。

基本例題：次の衝までを数える

自作の模型で、地球の公転周期を1年、外惑星Aの公転周期を2年とします。2天体は同じ向きに円軌道を等速で回り、今は衝です。次の衝まで何年か、分数または整数で求めてください。図2は軌道の縮尺を実際の比に合わせた図ではなく、角度の進みを表しています。

図2の出発時には太陽、地球、Aがこの順に並びます。地球が速いので、地球がAに対して1周余分に進むと、同じ順序の衝に戻ります。

地球の進み = 1周/年

Aの進み = 1/2周/年

相対的な進み = 1 − 1/2 = 1/2周/年

1 = (1/2)・S

S = 2年

答えは2年です。2年後、地球は2周、Aは1周進みます。余分に進んだ1周を除けば、太陽から見た方向は再び一致します。両者は元の場所にも戻り、太陽、地球、Aの順に並ぶため、求めた時刻が衝であることも確かめられます。

別の解き方では、角速度を地球360°/年、Aを180°/年とします。1年に180°ずつ方向差が広がるので、360°広がるには2年です。公転周期の和もこの例では3年となりますが、3年後の地球は3周、Aは1周半です。両者の方向は反対になり、衝ではなく合です。答えを配置へ戻すと、計算の入り口の誤りに気づけます。

標準例題：内合と外合を区別する

別の自作模型で、地球の公転周期を1年、内惑星Bの公転周期を3/5年とします。同一平面の円軌道を両者が同じ向きに等速で回るとし、初めに内合です。次の内合までの時間と、その間に訪れる外合までの時間を、年を単位とする分数で求めてください。

Bの進み = 1/(3/5) = 5/3周/年

地球の進み = 1周/年

Bが地球に対して進む速さ = 5/3 − 1 = 2/3周/年

次の内合までの時間 = 1/(2/3) = 3/2年

外合までの時間 = (1/2)/(2/3) = 3/4年

Bが地球を1周追い越せば、太陽から見た方向が再びそろいます。Bは内側にあるので、そのときも太陽、B、地球の順であり、内合です。外合は方向差が半周になったときです。内合から外合へ行く時間も、外合から次の内合へ行く時間も、この模型では3/4年です。

配置に戻して確かめると、3/2年でBは5/2周、地球は3/2周進み、Bがちょうど1周多く進みます。3/4年ではBが5/4周、地球が3/4周進み、差は1/2周です。地球とBは太陽の反対側にあり、地球からは太陽の向こうにBが来ます。内惑星が外合にあるとき、地球から見える方向は衝ではなく合です。

この例では周期が短い方が速いとはいえ、3/5と1を直接引いて得た2/5年には意味がありません。周期は1周にかかる時間であり、2つの天体が同じ時間に進む角度を比べるには、それぞれの逆数が必要です。式の単位が周/年か年かを書き添えると、引き算の対象がそろいます。

発展例題：最大離角を幾何で求める

自作の平面模型で、太陽をS、地球をE、内惑星CをCとします。地球の軌道半径SEを2、Cの軌道半径SCを1とし、太陽と地球の距離も常に2とします。長さの単位は共通の任意単位です。地球から見た太陽とCのなす最大の離角を、度を単位とする整数で求めてください。Cの軌道は円で、地球とCはそれぞれ同じ平面を同じ向きに等速で回ります。

地球EからCの円軌道に引いた接線を考えます。円上にCがあるとき、Eから見た方向は、その円を見込む2本の接線の間に限られます。したがって、太陽への方向から最も離れるのは、ECが軌道への接線となる位置です。接点では半径SCと接線ECが直交します。地球の位置が動いてもSEの長さが一定なので、同じ幾何が成り立ちます。

最大離角をθとすると、直角三角形SECで、

sin θ = SC/SE

sin θ = 1/2

θ = 30°

答えは30°です。三角形に戻すと、斜辺SEが2、角Eの向かいの辺SCが1なので、sin 30° = 1/2を再現します。接点は太陽に対して東西に1つずつあり、最大離角の大きさはどちらも30°です。図は地球から見た角度を測るので、太陽を頂点とする角度と取り違えないでください。

ただし、最大離角が起きるのは太陽から見た方向差が90°のときだと決めつけることはできません。この問題で直角なのはCを頂点とする角です。さらに、離角が最大になる時刻を求めるには、軌道半径の比だけでは足りず、公転の角速度と最初の位置が必要です。問題で与えられた条件から求められる量と、求められない量を分けます。

観測資料の読み取りでは、学校の指導の下で配布された惑星の位置画像を使い、複数の日の太陽方向と惑星方向を同じ基準で記録する計画が考えられます。最大をはさむように資料を集め、間隔が粗いと最大の時刻や角度を正確に特定できないことを検討します。画像の方向の読み取り誤差や資料の時刻も記録し、各点の中で最大だった値と、真の最大値を区別します。欠けた日の値を勝手に補って精密な時刻を断定せず、追加の資料で挟み込む範囲を狭めます。

間違えた答案を配置へ戻す

図3は、基本例題の地球とAについて、周期の和を使った誤答と、角速度の差を使う直し方を並べた模式図です。数字は図2と同じ自作条件に対応します。

誤答は「1年 + 2年 = 3年後に衝」です。理由は、地球とAが同時に動く間の相対的な進みを、2つの所要時間の和で置き換えたことです。図3のように、まず1年あたりの進みに直し、1周/年と1/2周/年の差をとります。差が1/2周/年なら、1周分の差ができるまで2年です。最後に2年後の天体の向きを描いて、衝の順序を確かめます。

別の誤答は「内合から次の外合までは会合周期」です。同じ種類の配置へ戻るためには相対角が1周必要ですが、内合から外合は半周で済みます。まず到達したい配置を言葉で示し、図のどの方向差に対応するかを確認してから、必要な周数を角速度の差で割ります。

最大離角の問題では「地球からの視線が軌道半径と平行」と描く間違いもあります。接線に対して接点の半径は直角です。地球にある角を離角として囲み、直角がある位置と、問題で求める角の位置を別々に印付けます。線を引いたら、各端点が太陽、地球、惑星のどれかを読み直してください。

練習：配置と時刻を自分で描く

次の5問はすべて自作の模型です。特に断りがなければ、同じ平面の円軌道を2天体が同じ向きに一定の角速度で公転します。周期の単位は年です。計算問題の答えは指定どおり分数または整数で表し、図を使う場合も結果の配置を確かめてください。

1. 地球の周期を1年、外惑星Dの周期を4年とします。衝から次の衝までを年単位の分数で求め、地球とDが進む周数もそれぞれ示してください。
2. 地球の周期を1年、内惑星Fの周期を2/3年とします。内合から最初の外合までを年単位の整数で求めてください。その時刻の両者の方向差を周で表してください。
3. 地球の周期を1年、外惑星Gの周期を3年とします。今、太陽から見てGは地球の進行方向に120°先にあります。次に衝となるまでの最短時間を年単位の分数で求めてください。地球とGの進む角度も示してください。
4. 内惑星Hの軌道半径を地球の軌道半径の√3/2倍とします。最大離角を度単位の整数で求め、直角ができる位置を言葉で示してください。
5. 外惑星Jの衝を示す資料があり、次の衝までの間隔を調べたいとします。円軌道・等速の計算値と実際の間隔が一致しない理由を、軌道の形と角速度の2語を用いて説明してください。離角が180°となる配置の並びも示してください。

練習の答えと解き方

1. Dに対して地球が進む速さは1 − 1/4 = 3/4周/年です。1周の差が必要なので、時間は1/(3/4) = 4/3年です。地球は4/3周、Dは(1/4)・(4/3) = 1/3周進みます。差は1周で、地球とDは太陽から見て同じ方向に戻ります。Dは外側なので、太陽、地球、Dの順の衝を再現します。

2. Fの速さは1/(2/3) = 3/2周/年です。地球との差は3/2 − 1 = 1/2周/年です。外合までに必要な差は1/2周ですから、時間は(1/2)/(1/2) = 1年です。1年後にはFが3/2周、地球が1周進み、方向差は1/2周です。太陽を挟んで反対側に位置するので、地球から見て太陽の向こうにFがある外合を再現します。

3. 地球の角速度は360°/年、Gは120°/年です。地球はGに対して240°/年で近づきます。初めの120°の差を埋める時間は120/240 = 1/2年です。その間、地球は180°、Gは60°進みます。Gの初めの120°の先行分に60°を足すと180°で、地球の進んだ方向に一致します。外側にあるGは、太陽、地球、Gの順に並びます。相対角が1周変わるまでを求める問題ではないことに注意します。

4. 接点のHで軌道半径と地球からの視線が直角です。最大離角をθとすると、sin θ = √3/2です。離角は0°から90°の間なので、θ = 60°です。逆にsin 60° = √3/2を半径の比に戻すと、問題文の条件を再現できます。

5. 実際の軌道の形は円と完全には一致せず、楕円軌道では公転中の角速度も一定ではないため、個々の衝の間隔は等速円運動から求めた値とずれます。円軌道を仮定して角速度を一定に戻せば、相対角が1周変わるたびに同じ間隔で衝が起こります。衝の模型では太陽、地球、Jの順に並び、地球から見た太陽とJの方向は反対です。したがって離角は180°となり、資料の条件に戻せます。

覚えておくこと

会合周期は、同じ相対配置に戻るまでの時間です。 1/S = |1/E − 1/P|は、同じ向きの等速円運動で相対角が1周する関係です。 衝・合の判定では地球からの方向を、周期の計算では太陽からの方向差を見ます。 内惑星の最大離角は、円軌道に引く接線と半径の直角から求めます。 実際の軌道では個々の間隔にずれがあるため、模型の結果をそのまま日時としません。

答案のどこで迷ったかを探す

式が違うときは、まず答案の図で太陽と地球のどちらを角の頂点にしたかを確かめます。内合と外合の名前が逆なら、地球から太陽を見る矢印と、惑星を見る矢印をそれぞれ描き直します。方向は合っているのに時間が違う場合は、周期を足し引きしたのか、1年あたりの周数を引いたのかを見ます。

個別指導では、生徒が途中式の各数に「年」か「周/年」を付けられるか、また計算した時刻に両天体が何周進んだかを自分の図に戻せるかを確かめます。最大離角では直角の位置と離角の頂点を指して説明してもらいます。配置を言葉と図で往復できれば、会合周期の式の意味が残ります。