高校地学 地殻変動の観測—変位とひずみを基準点と時間から読み取る｜武蔵野個別指導塾

二点が一緒に移る場合と間隔が変わる場合を分け、地震前後の変位とひずみを誤差の幅まで読み取ります。

よくあるのは、2点が同じ向きに動いた図を見て、高校生がその移動分を基線の伸びに加えてしまう場面です。点の位置が変わったことと、点の間隔が変わったことは別の情報です。どちらも地殻変動の手掛かりですが、基準点と比べる時刻をそろえなければ意味が変わります。地震前後の自作資料を使い、観測値から言えることと言えないことを分けます。

何を読み取るか

出方は大きく3通りです。第1に、各点の位置の変化から、2点間の基線長が伸びたか縮んだかを求めます。第2に、元の長さに対する長さの変化の割合をひずみとして表します。第3に、上下方向の観測や時系列を読み、地震前後の変化と誤差の範囲を比較します。いずれも、数値の引き算の前に、何を固定して何と比べるかを示すことが出発点です。

変位は、ある時刻の位置から別の時刻の位置への変化です。向きと大きさを持ち、東向きや上向きを正と決めると符号で表せます。基線長は2点間の距離で、変位そのものではありません。観測の原点となる点が動けば、その原点に対する値も変わります。相対的な位置を読んでいるのか、安定と仮定した基準に対する位置を読んでいるのかを必ず確かめます。

基準をそろえて見る変形

図1のように、同じ直線上の点A、Bが同じだけ右へ動けば、どちらの位置も変わりますが間隔は変わりません。BがAより右へ多く動けば、間隔は広がります。この違いを式にするため、右向きを正にとり、初めにAがBより左にあり、移動後も順序が変わらないとします。

初めの位置をそれぞれ xA、xB、変位を uA、uB とします。初めの基線長 L₀ は xB − xA、後の長さ L は (xB + uB) − (xA + uA) です。したがって、長さの変化 ΔL は uB − uA になります。同じ変位を両方に加えても差で消えるので、共通移動は基線の伸縮に寄与しません。この式は点の順序が保たれる1次元の設定での式です。一般の平面では移動後の2点の座標から距離を計算します。

ひずみは、基準時の長さに対する長さの変化の割合です。ここでは伸びを正とし、ε = ΔL / L₀ と定義します。分子と分母は同じ単位に直します。長さを長さで割るため単位はなく、正なら伸び、負なら縮みです。元の長さが違えば同じ伸びでも割合は違います。ΔL 自体をひずみと呼んだり、後の長さで割ったりしないよう、式に基準時の量を書き添えます。

上下変動も、基準時刻と基準点を明示して読みます。高さの差が増えたとしても、片方が上昇したのか他方が沈降したのか、差だけでは決まりません。基準点を不動と仮定すれば相手の変化として表せますが、基準点自体が動いた可能性は別に残ります。基準の変更は地面の運動を消す操作ではなく、表現の原点を変える操作です。

時系列の横軸には時刻、縦軸には基準時からの変位や基線長変化を置きます。線の傾きは単位時間あたりの変化であり、値そのものではありません。右上がりでも縦軸が負なら、基準時より短い状態から長さが回復している場合があります。地震の前後で段差が見えても、その差が観測のばらつきより十分に大きいか、欠測や機器の変更がないかを確認します。

観測の設計では複数の点と繰り返し測定を用い、測る時刻、座標の向き、基準の取り方を記録します。測器の誤差や設置条件の変化は地面の運動に見えることがあります。独立した点や別の方法による確認があれば解釈の支えになりますが、短い基線の伸びだけから広い地域全体の変形を一意に決めることはできません。地震の予知をこの資料から結論することもできません。

基本例題：同じ向きの移動から伸びを出す

次の数値は計算のための仮定です。東向きを正とし、一直線上でAはBの西にあります。基準時の基線長は 100 m です。後の時刻にAは東へ 4 mm、Bは東へ 10 mm 移動しました。基線長の変化を mm の整数で、ひずみを有効数字1桁の小数で求めてください。点の順序は変わらないものとします。

図2のように、両点の移動のうち共通する 4 mm は間隔を変えません。Bにはそれに加えて東への移動が残ります。引き算でこの差を求めると、基線長の変化になります。

まず変位を符号つきで uA = 4 mm、uB = 10 mm と置きます。後の長さから初めの長さを引くと、次のように整理できます。

ΔL = (xB + uB) - (xA + uA) - (xB - xA)
ΔL = uB - uA
ΔL = 10 - 4
ΔL = 6 mm

正なので基線は 6 mm 伸びます。基準時の長さは 100 m = 100000 mm です。よって ε = 6 / 100000 = 0.00006 です。単位はつけません。基線長を先に m でそろえ、0.006 m / 100 m としても同じ値です。

答えを元の状況に戻します。後の基線長は 100.006 m で、そこから元の 100 m を引くと 0.006 m、すなわち 6 mm です。各点の移動を足した 14 mm には共通移動が二重に含まれるため、間隔の変化ではありません。図の矢印は移動方向を示す模式図であり、基線長と変位の縮尺をそろえた図ではありません。

前後の変化を読み分ける

標準例題です。以下は仮定した値で、実際の観測記録ではありません。基準点Rに対する点Pの上下変位を、基準時からの差として上向き正で測りました。地震前は -3 mm、地震後は +5 mm です。それぞれの値の誤差は最大 1 mm とします。前後の変化を mm の整数で求め、変化の向きと、誤差を考慮した変化の範囲を述べてください。

後の値から前の値を引くので、変化は 5 − (-3) = 8 mm です。基準時に対して前は下、後は上にあり、その差は上向きです。前の値は -4 mm から -2 mm、後の値は 4 mm から 6 mm までありえます。差が最小となるのは後が 4 mm、前が -2 mm のときで 6 mm、最大は後が 6 mm、前が -4 mm のときで 10 mm です。差の範囲は上向き 6〜10 mm となり、この誤差の仮定では上向きの変化が残ります。

別解では、表示値の差 8 mm に、前後それぞれ最大 1 mm の誤差が差を広げる最悪の場合を考えます。差の誤差は最大 2 mm なので 6〜10 mm です。8 mm の変化を前の -3 mm に加えると後の +5 mm に戻ります。この比較からはRに対するPの変化が読めますが、Rが動かないという別の根拠がなければ、Pだけの絶対的な上昇とは断定できません。

発展例題です。仮定として、一直線上に西から順にC、D、Eがあり、各点の東向き変位はそれぞれ 2 mm、-1 mm、3 mm です。初めのCD、DEはいずれも 200 m で、点の順序は変わりません。各基線の長さの変化を mm の整数で求め、CEの変化と整合するか確かめてください。

CDの変化は -1 − 2 = -3 mm で、3 mm の縮みです。DEの変化は 3 − (-1) = 4 mm で、4 mm の伸びです。CEの変化は 3 − 2 = 1 mm の伸びです。別の方法として、隣接する基線の変化を足せば -3 + 4 = 1 mm となります。後のCDは 199.997 m、DEは 200.004 m なので、合計は 400.001 m です。初めのCEの 400 m と比較すると 1 mm の伸びに戻ります。

この加算が使えるのは、3点が同じ直線上で順序を保つという条件があるからです。折れ曲がった配置では、CDとDEの距離の和は一般にCEの距離ではありません。また、CDの縮みとDEの伸びから、地域全体が一様に伸縮したとは言えません。空間的に異なる変形があることを、置いた点の範囲で示す資料です。

間違いから基準を探す

図3のようにAもBも東へ同じ量だけ動いた場面で、「両点が東へ動いたので基線は伸びた」と答える誤りを考えます。基線は位置の平均ではなく、2点の間隔です。元のAと後のBを結ぶと、Aの移動分が余計に入り、異なる時刻の位置を混ぜた長さになります。

直すには、基準時のAとBを結び、後の時刻のAとBも結びます。同じ時刻どうしの間隔を比べると、共通移動では差は0です。変位の式でも uB − uA = 0 となります。図の矢印だけを足すのではなく、始点と終点の時刻をそろえることが修正の要点です。

上下の符号でも同様の間違いが起こります。負の値から正の値への変化は、絶対値の差ではなく、後の符号つきの値から前の符号つきの値を引きます。逆に、両方とも正でも後の値が小さければ、その区間の変化は下向きです。基準時からの状態と、2回の測定の間の変化を区別して文にします。

欠測を0と読むことも避けます。観測装置が停止した時刻は、動きがなかった時刻ではありません。前後の点を直線で結んだとしても、その間の変化が一定だったことは観測から保証されません。時刻の取り違えや単位の欠落がある表も、補える根拠がなければ差を確定せず、必要な情報を示します。故障前後で基準が変わった場合には、その段差を地殻の変位と即断せず、点検記録や重複観測を調べます。

練習：差と条件を自分で選ぶ

次の値はすべて練習のための仮定です。計算結果は指定した形で示してください。

1. 東向きを正とし、一直線上で西の点Fは東へ 7 mm、東の点Gは東へ 12 mm 動きました。順序は変わりません。基線FGの変化を mm の整数で求めてください。
2. 長さ 250 m の基線が 5 mm 縮みました。伸びを正とするひずみを有効数字1桁の小数で求めてください。
3. 点Hの基準点に対する上下変位は、前が +6 mm、後が +2 mm です。上向きを正として前後の変化を mm の整数で求め、向きを述べてください。
4. ある時系列で地震前の値は 1 mm、後の値は 3 mm です。各値には最大 2 mm の誤差があるとします。前後差の取りうる範囲を mm の整数で求め、上向きの変化を確定できるか理由とともに答えてください。
5. 基準点に対する高さの表で、途中の測定が機器停止により欠けています。欠測の前後はそれぞれ -2 mm と +4 mm でした。欠測時の値と、その間の経過を決められるか、理由を添えて答えてください。

答えと確かめ方

1. 12 − 7 = 5 mm です。FGは 5 mm 伸びます。Fと同じ 7 mm をGの移動から除けば、GがFに対して東へ 5 mm 動いたことになり、答えと一致します。
2. 長さの変化は -5 mm、元の長さは 250000 mm です。ひずみは -5 / 250000 = -0.00002 です。これに元の長さを掛けると -5 mm に戻り、縮みの条件を満たします。
3. 2 − 6 = -4 mm です。下向きに 4 mm 変化しました。前の +6 mm に -4 mm を加えると後の +2 mm になります。後も基準時より上にあることと、前からは下がったことは両立します。
4. 前の値は -1〜3 mm、後は 1〜5 mm です。差は 1 − 3 = -2 mm から 5 − (-1) = 6 mm までです。0と負の値も含むため、上向きの変化は確定できません。表示値の差は 2 mm ですが、差の誤差が最大 4 mm あるためです。
5. 欠測時の値も途中の経過も決められません。例えば途中で変化が集中した場合と、少しずつ変わった場合の両方が前後の値に合います。後の +4 mm から前の -2 mm を引けば、前後の差は +6 mm と求まりますが、途中の時刻ごとの値を復元する根拠にはなりません。

覚えておくこと

• 変位は基準に対する位置の変化、基線長変化は2点の間隔の変化です。
• 同一直線上で順序が保たれるとき、基線長変化は東側の変位から西側の変位を引きます。
• ひずみは基準時の長さに対する長さの変化の割合です。
• 前後差には符号、単位、誤差、欠測と基準点の条件を添えます。

答案のどこで止まっているか

答えが合わないときは、まず図に基準時と後の時刻を書き込み、それぞれ同時刻の点を結べているか確かめます。次に、正方向と各変位の符号を式に移し、長さの単位をそろえます。個別指導では、結果の数値だけでなく、どの点に対する変化かを口にしてもらうと、共通移動と伸縮の混同を見分けられます。

誤差や欠測がある場合は、結論の強さも答案の一部です。観測値から計算できる差と、基準点の安定など別途必要な条件を分ければ、地殻変動の資料を無理なく読めます。