高校地学 ジオイドと楕円体—地形面との違いから高さの基準を読み解く｜武蔵野個別指導塾

山の断面と符号付きの高さを比べ、基準面の違いから読み解くのがジオイドです。

よくあるのは、高校生が山の断面を描き、その起伏の線にジオイドと名前を付ける場面です。地表を歩けば山や谷がありますが、標高を考えるための基準面は山肌そのものではありません。地形を表す線と、重力に関係する面、計算に用いる滑らかな面を別々に描くと、高さの意味が見えてきます。

高さの問題で問われること

問題の型には、断面図の線に地形面・ジオイド・楕円体の名前を付けるもの、高さの基準と向きを読み取り差を計算するもの、測定結果が食い違う理由を説明するものがあります。どの場合も、数字を計算する前に、どの面からどの点までの距離かを確かめます。同じ地点に対しても、基準面が違えば高さの値は異なります。

中学校で学ぶ標高は、海面を基準にした土地の高さという捉え方から出発できます。ただし海面は波や潮汐などで常に動いています。ここでは平均的な海面に対応し、陸の下にも延ばした重力の基準面を考えます。実際の標高の決定には測量の定義や補正が関わるため、単純な断面で得た式をそのまま精密な測量の全過程とみなさないことも必要です。

3つの面と重力の向き

地形面は山や谷を含む実際の地表です。一方、地球楕円体は地球全体の形を近似する、数学的に扱いやすい滑らかな基準面です。地点の位置を座標で表す際に使います。ジオイドは、平均海面におおむね一致し、陸地の下にも延長された重力の等ポテンシャル面です。地球内部の質量の分布などを反映するため、楕円体と完全には重なりません。

図1のように、地形面の山の線とジオイドの緩やかな線を区別します。この断面は関係を示す模式図で、起伏の大きさや面どうしの間隔は実際の縮尺ではありません。ジオイドが陸地の下にあるという表現も、基準面を数学的に延ばして考えるという意味です。

図1では楕円体を直線に近く描きましたが、地球全体で見れば曲面です。ジオイドも完全な球や楕円体ではなく、局所的な重力の違いに応じて基準楕円体に対して上下します。山の存在が重力に影響しうることと、山の表面がそのままジオイドであることは別です。

重力は地球の引力と自転による遠心力を合わせて考えます。重力のポテンシャルは、場所ごとの重力に関係する位置の性質を表す量です。等ポテンシャル面上を少し移動すると、重力による仕事はその移動について生じません。したがって重力の向きは、その場所の等ポテンシャル面に垂直です。もし面に沿う成分があれば、その向きの移動に仕事が生じ、同じポテンシャルという条件に反します。

静かにつり合った水面を思い浮かべると、この性質を捉えやすくなります。水面に沿って重力の成分があれば水が流れ続けるため、つり合った水面は重力に垂直になります。ただし実際の海面には風や海流などの影響もあり、瞬間の水面をそのままジオイドと同一視することはできません。

地点Pの楕円体からの高さを楕円体高 h、ジオイドからの高さを標高 H、楕円体を基準にしたジオイドの高さをジオイド高 Nとします。上向きを正に取り、3つの高さを同じ鉛直線上の長さとして扱う模式的な条件では、h = H + Nです。ジオイドが楕円体より下ならNは負です。厳密には楕円体法線と重力の鉛直線は一般に一致せず、実際の標高には重力の変化も関わるため、この式は高校向けの近似として扱います。

基本例題：高さの足し算を図から作る

自作の模式断面で、同じ鉛直線上に楕円体、ジオイド、地表の地点Pが下からこの順に並びます。楕円体からジオイドまでの高さを条件として12 m、ジオイドからPまでの高さを35 mとします。楕円体高を整数のmで求め、基準面と向きを説明してください。値は実測値ではありません。

図2のように、出発点を楕円体に置き、まずジオイドまで上がり、そこからPまで上がります。どちらの移動も上向きですから正の値として足します。

図2の2つの区間をつなぐと楕円体からPまでになります。図の線分を言葉の式に直すと、楕円体高 = ジオイド高 + 標高です。

h = N + H
h = 12 + 35
h = 47 m

答えは47 mです。楕円体を0 mとすればジオイドは12 m、Pは47 mです。Pとジオイドの差を戻して計算すると47 − 12 = 35 mで、条件の標高を再現します。さらに47 − 35 = 12 mですから、ジオイド高も元の条件に戻ります。

この式は数字の並びを暗記するより、各値の始点と終点をつないで導くほうが確実です。Pまでの長さからジオイドまでの長さを引けば標高になるため、H = h − Nとも書けます。求める量が変わっても面の順序は変わりません。

標準から発展へ：負のジオイド高

次の数値も自作の条件です。同じ鉛直線上で、地点Qの楕円体高が28 m、ジオイド高が-8 mです。標高を整数のmで求めてください。負号は、ジオイドが楕円体より8 m下にあることを示します。

H = h − Nに代入すると、H = 28 − (-8) = 36 mです。答えを戻すと、-8 + 36 = 28 mとなり、与えた楕円体高に一致します。楕円体を0 mと置いた数直線で見る別解では、ジオイドが-8 m、Qが28 mにあります。下側の-8 mから上側の28 mまでの距離は36 mです。負の値を引く理由は、基準面が0より下にあるためです。

発展として、同じ条件のもとで別の地点Rは楕円体高が31 m、ジオイド高が4 mとします。QとRのどちらの標高が高いか、差を整数のmで求めます。Rの標高は31 − 4 = 27 mなので、Qの36 mのほうが9 m高いことになります。戻すと4 + 27 = 31 mです。楕円体高だけならRが高いのに標高ではQが高いのは、地点ごとのジオイド高が異なるためです。

別解として、2地点の標高差を楕円体高の差とジオイド高の差に分けられます。Rを基準にQを比べると、楕円体高の差は28 − 31 = -3 m、ジオイド高の差は-8 − 4 = -12 mです。したがって標高差は-3 − (-12) = 9 mです。差の引き算でも同じ順序を保つことが条件です。両地点の値をそれぞれ求める方法は手数が多い一方、途中の符号を点検しやすくなります。

誤答を線分に戻して直す

基本例題で「標高は35 mだから楕円体高も35 m」とする答えを考えます。35 mはジオイドからPまでの長さであり、楕円体からの長さではありません。図3のように12 mの区間が抜けています。始点を楕円体に移し、12 mと35 mをつないで47 mに直します。

図3では誤答に使われた区間と、欠けた区間の始点と終点を並べています。線が同じ地点Pに到達していても、出発した面が違えば同じ高さとは限りません。答案に数値だけでなく「どの面から上向きに測ったか」を書くと、取り違えを自分で発見できます。

別の誤りは、ジオイド高が負でも大きさだけを引き、標準例題で28 − 8 = 20 mとすることです。20 mをジオイド高-8 mに足しても12 mにしかならず、条件の28 mに戻りません。符号付きの値として引き直すか、数直線上の両端の位置から距離を求めます。逆算で元の条件を再現できないときは、丸め方の問題と決めつけず、基準面と符号を先に調べます。

また、地形面がジオイドより高い地点であっても、ジオイドが必ず楕円体より高いとは限りません。標高の正負とジオイド高の正負は別々に決まります。断面に山を描いただけで3面の上下関係を決めず、問題に与えられた条件を図へ記入します。

観測の設計と読み取りの限界

同じ地点の衛星測位から得た楕円体高と、基準に沿った標高を比べれば、両者の差からジオイド高を考えることができます。ただし比較する点が異なると地形の高さの差まで混ざります。測る点、基準楕円体、標高の基準、測定時期をそろえ、各測定の不確かさも記録します。基準の変更や地面の変動がある場合、それらを区別せずに差だけを地球内部の変化と読むことはできません。

測定を繰り返した値が少しずつ異なる場合、ばらつきは精度を考える手掛かりです。一方、共通の基準面を誤って設定した系統的なずれは、繰り返しの平均だけでは消えません。複数地点で独立な測量と照合し、差が位置によって変わるかも調べます。誤差の範囲内の小さな差から、ジオイドの細かな起伏を断定しない姿勢が必要です。

横軸に地点の位置、縦軸に共通の基準からの高さを取った断面グラフでは、縦軸の単位とゼロの面を先に確認します。線の傾きは横方向の位置の変化に対する高さの変化を表します。縦横の縮尺が違う図の見かけの角度を、実際の傾斜角として読み取ることはできません。地点ごとの2本の線の縦の差が何の高さに当たるかも、凡例と基準を見て判断します。

測量の資料に必要な基準面の名称が欠けている場合は、高さの数字だけからジオイド高を決められません。まず測定方法と基準の記録を確かめ、同じ基準に換算できる条件がそろうまで差を解釈しないようにします。異なる地点の値を誤って組み合わせた場合も同様です。差は計算できても、それは同一地点の2面間の高さとはいえません。

グラフの一部が読めないときは、見える点から都合のよい値を補わず、読み取れる範囲と不明な範囲を分けます。観測が途中で止まり点が欠けた場合も、前後の値が同じだから途中も一定だったとは限りません。測定をやり直せるなら同じ地点と基準を記録し、再測値と以前の値の差が不確かさの範囲に入るか確かめます。これらの点検は、計算そのものが正しくても結論が条件に支えられるかを見分けるためです。

練習：面と数値を結ぶ

次の数値はすべて自作の条件です。計算では上向きを正とし、3つの高さは同一鉛直線上で扱います。計算結果は整数のmで答え、記述問題は理由も添えてください。

1. 地点Aのジオイド高は6 m、標高は42 mです。楕円体高を求めてください。
2. 地点Bの楕円体高は19 m、ジオイド高は-5 mです。標高を求めてください。
3. 地点Cの楕円体高は53 m、標高は61 mです。ジオイド高を求め、その面が楕円体より上か下か答えてください。
4. 地点Dの楕円体高は44 m、ジオイド高は10 m、地点Eの楕円体高は39 m、ジオイド高は-1 mです。標高の高い地点とその差を求めてください。
5. ある断面の資料には、山の形に沿った線と、地表の下に緩やかな線が描かれています。後者は平均海面に対応する重力の等ポテンシャル面を陸に延ばしたものと明記されています。それぞれの線の名称を答え、後者が山肌をなぞらない理由を説明してください。

答えと考え方

1. 6 + 42 = 48 mです。楕円体からジオイドまで6 m、さらに地表まで42 mを足します。48 − 6 = 42 m、48 − 42 = 6 mと戻せます。
2. 19 − (-5) = 24 mです。-5 mから19 mまで上がる長さと考えても同じです。-5 + 24 = 19 mで条件を再現します。
3. 53 − 61 = -8 mです。負なのでジオイドは楕円体より下です。-8 + 61 = 53 mと、与えられた楕円体高に戻ります。
4. Dの標高は44 − 10 = 34 m、Eは39 − (-1) = 40 mです。Eが6 m高くなります。10 + 34 = 44 m、-1 + 40 = 39 mと、それぞれの条件に戻せます。
5. 山の形の線は地形面、緩やかな線はジオイドです。ジオイドは重力の等ポテンシャル面を基準にした面であり、地表の形そのものを定義としていないからです。図の見た目が緩やかというだけで判断せず、資料の定義を根拠にします。

覚えておく要点

地形面は地表、楕円体は滑らかな計算の基準面、ジオイドは重力の等ポテンシャル面です。
同一鉛直線の近似では、楕円体高 h = 標高 H + ジオイド高 Nです。
Nの符号を保ち、基準面と終点を図に記してから計算します。
実測の比較では基準と誤差をそろえ、模式図の縮尺を実際と混同しません。

答案のどこで立ち止まるか

線の名前で迷う場合は、山の上を通るかどうかより、その線が何を基準に定義されているかを言葉にします。計算で止まる場合は、楕円体を0とした数直線にジオイドと地点を置き、求めたい区間の両端を指してください。負号を付けた理由と、答えを足し戻した結果まで書ければ、式の選択を自分で点検できます。

個別に答案を確かめる際は、図の線に名称があるか、矢印の始点と終点が合うか、mを添えたかを順に見ます。式が正しくても面の説明が逆なら、数値だけを直して終えず、図から文章を作り直します。高さは基準面と向きを伴って初めて意味を持ちます。