高校物理 凹レンズの像—光線の逆延長から虚像の位置と倍率を求める｜武蔵野個別指導塾

焦点距離の負号と光線の逆延長から、位置と倍率を追う凹レンズの像です。

よくあるのは、高校生が凹レンズの焦点距離だけを正として式に入れ、スクリーンに映る実像を得てしまう場面です。式の計算が合っていても、入れた符号がレンズの種類と合わなければ、光の進路とは別の答えになります。レンズを通った光を実線でたどり、その来た向きを破線で戻してみると、像がどちら側に見えるかを確かめられます。

ここでは薄い単一の凹レンズに、光軸に近く傾きの小さい光が入る場合を扱います。物体はレンズの左側にある実物体とし、空気中で考えます。有限の厚さや大きな角度によるずれは、このモデルには含めません。

何を求め、何で照合するか

問題の型は主に2つです。物体距離と焦点距離から像の位置と倍率を求める型と、観察された像の位置や大きさから焦点距離を逆算する型です。どちらも、まず距離がどこからどちら向きに測られたかを整理します。次に式を解き、最後に光線の図へ戻します。

目標は、負の像距離を単に「距離が負」と読むのでなく、物体と同じ側にある虚像の位置として説明することです。倍率の正負は像の向き、大きさはその絶対値で判定します。実物体に対する凹レンズの像は、近軸の薄いレンズの範囲では正立、縮小、虚像です。この結論を覚えるだけでなく、式と作図の両方から確かめます。

光線と符号を対応させる

光軸を水平に引き、レンズの中心をO、左側の焦点をFとします。実物体の先端から光軸に平行に進む光は、レンズを出た後、左側の焦点から出てきたように広がります。もう1本、中心Oを通る近軸の光は、薄いレンズの模型では直進します。図1のように、出射光そのものは右側で広がりますが、それぞれを左へ逆延長すると交点が得られます。

図1の破線は光が実際に左へ戻る道ではありません。右側からレンズを通して見たとき、光がその交点から来たように見えることを示しています。像の各点から出たかのように見える光が目に入るため、そこに物体があるように見えます。虚像の位置にスクリーンを置いても、その場所に出射光が集まるわけではありません。

距離の規約を決めます。物体からレンズまでの距離をa、像からレンズまでの距離をb、焦点距離をfとします。実物体のaは正、レンズの右側の実像ならbは正、左側の虚像ならbは負です。凸レンズのfを正とする同じ規約で、凹レンズのfは負とします。fの絶対値は、レンズ中心から焦点までの長さです。

薄いレンズの関係式と、向きを含む横倍率mは次のように書けます。

1/a + 1/b = 1/f

m = -b/a

高さを光軸より上向きに正とすると、mは像の高さを物体の高さで割った値です。mが正なら正立、負なら倒立です。倍率の絶対値が1未満なら縮小です。距離の符号と高さの符号は別々の約束なので、bが負だから像の高さも負だとは考えません。

この式を凹レンズの図からも導きます。焦点距離の大きさをF、像までの距離の大きさをs、物体の高さをh、像の高さをh′とします。a、F、sはいずれも正です。中心を通る直線について相似な三角形から、h′/h = s/aです。一方、平行に入射した光とその逆延長について、焦点とレンズの間の相似からh′/h = (F − s)/Fです。両者を等置して整理すると、s = a・F/(a + F)です。

ここでb = -s、f = -Fと戻せば、1/b = -(1/a + 1/F)となり、上のレンズの式と一致します。導出の途中でFを正の長さと置いた点が重要です。符号付きのfと混ぜて同じ式に代入すると、焦点の側を取り違えます。

またs = a・F/(a + F)はsがaより小さく、Fよりも小さいことを示します。像はレンズと物体の間、かつレンズと左焦点の間にあり、倍率s/a = F/(a + F)は0より大きく1より小さくなります。これは個別の数値に限らない、実物体についての判定です。

基本例題：物体と焦点から像を探す

焦点距離が-12 cmの薄い凹レンズの左24 cmに、高さ3.0 cmの物体を光軸に垂直に置きます。物体の下端は光軸上にあります。近軸の光を考え、像距離を符号付きの整数cm、倍率を既約分数、像の高さを小数第1位までのcmで求め、像の種類と向きも答えてください。

図2のように、平行光の出射光を左側の焦点へ逆延長し、中心を通る光との交点を見ます。作図は答えの方向と大きさを確かめる役目です。数値は式で求めます。

条件はa = 24 cm、f = -12 cmです。式へ代入すると、

1/24 + 1/b = -1/12

1/b = -1/12 − 1/24 = -1/8

b = -8 cm

となります。像はレンズの左8 cmにあります。倍率はm = -(-8)/24 = 1/3です。したがって像の高さは3.0・(1/3) = 1.0 cmで、正立の縮小虚像です。

答えを元の光線へ戻します。中心を通る直線では、レンズから左へ8 cmの高さは、左24 cmの高さ3.0 cmの1/3である1.0 cmです。また焦点は左12 cmなので、焦点から像までの水平距離は4 cm、焦点からレンズまでは12 cmです。平行光の逆延長の高さも3.0・(4/12) = 1.0 cmとなり、2本が同じ点で交わります。焦点とレンズの間という一般的な位置関係にも合います。

もしfを正の12 cmと誤って入れると、b = 24 cmという正の値になります。しかし凹レンズから出た2本の光は右側で交わりません。数値が出た時点で確定せず、光が集まるか、逆延長が交わるかに戻ると符号の誤りを見つけられます。

標準例題：像の位置から焦点を求める

ある薄い凹レンズの左30 cmに小さな矢印を置いたところ、正立の虚像がレンズの左10 cmに見えました。近軸の条件で、焦点距離を符号付きの整数cm、倍率を既約分数で求めてください。

a = 30 cm、b = -10 cmなので、

1/f = 1/30 − 1/10 = -1/15

f = -15 cm

です。倍率はm = -(-10)/30 = 1/3です。像を3倍に拡大するという意味ではなく、像の高さが物体の高さの1/3という意味です。逆に得られたf = -15 cmを元の式に入れると、1/b = -1/15 − 1/30 = -1/10となり、与えられた左10 cmに戻ります。

別解では像までの距離の大きさを10 cmとして相似を使います。中心を通る光から高さの比は10/30 = 1/3です。焦点までの距離をF cmとすると、平行光の逆延長から同じ比は(F − 10)/Fです。これが1/3なのでF = 15 cm、符号を付けてf = -15 cmです。式の逆算と図形の比が同じ焦点を示します。

位置の読みが誤って実像側の値をbに入れた場合、計算は形式上進んでも、得た焦点は観察された凹レンズの光線と合いません。観察されたのが像の実際の集光位置なのか、光を逆にたどった見かけの位置なのかを先に判別します。

発展例題：位置を変えたときの変化

焦点距離-20 cmの薄い凹レンズの左にある物体を、左20 cmの位置から左60 cmの位置へ移します。高さは変えず、近軸の条件を保ちます。それぞれの像距離を符号付きの整数cm、倍率を既約分数で求め、像の移動方向を答えてください。

初めはa = 20 cmですから、1/b = -1/20 − 1/20 = -1/10、b = -10 cm、m = 1/2です。移動後はa = 60 cmなので、1/b = -1/20 − 1/60 = -1/15、b = -15 cm、m = 1/4です。像は左10 cmから左15 cmへ、レンズから遠ざかる向きに5 cm移動し、より小さくなります。

別の見方として、焦点距離の大きさFを使うと像までの距離はs = a・F/(a + F)、倍率はF/(a + F)です。aが増えると倍率は小さくなります。s = F − F²/(a + F)と書けば、aが増えるにつれてsは増えますが、Fを超えないことも読み取れます。物体を遠ざけたとき、像が焦点に近づいても有限のaでは焦点そのものには達しません。

2つの答えを戻して確認します。初めは像が焦点とレンズの中点にあり、高さの比は中心光線でも平行光線でも1/2です。移動後は焦点から像まで5 cmなので、平行光の逆延長での高さの比は5/20 = 1/4です。中心光線の15/60とも一致します。

図と数値で誤答を直す

図3のように、焦点距離-12 cm、物体距離24 cmの条件で、誤ってf = +12 cmを代入したとします。計算上のb = +24 cmはレンズの右側を指し、実像を意味します。一方、実際の凹レンズの出射光は広がります。図の右側に見かけ上の交点を描くには、少なくとも一方の光の曲がる向きを変えなければなりません。

原因は、焦点距離の大きさ12 cmと符号付きのfを同じものとみなしたことです。修正するときは、まず焦点を入射側に置き、平行光がそこから来たように広がる向きを描きます。その後でf = -12 cmを式に入れると、b = -8 cmとなります。正しい答えは、出射光の逆延長が交わる側にあります。

別の誤りは、b = -8 cmを得た後、倍率を-1/3として倒立とすることです。倍率の式には初めから負号があるので、m = -b/a = 1/3です。中心を通る光を左へたどれば交点は光軸の上側にあり、図からも正立と判定できます。符号を暗記した直後にも、像の高さを矢印で示す習慣が有効です。

実験の設計とグラフの読み方

学校の指導の下で、照明された小さな物体を凹レンズ越しに観察し、視線の方向から虚像の位置を推定する方法を考えます。レンズの中心と光軸を決め、物体の位置を変えずに複数の方向から見て、光が来る向きを記録します。その線を物体側へ延ばした交点を像の推定位置とします。強い光源を直接見ないよう、光源や器具の扱いは指導者の指示に従います。

線が一点に交わらないこともあります。レンズや物体の位置が動いた、中心の位置を読み違えた、視線の方向を粗く測った、近軸から外れた、といった原因が考えられます。無理に1本の線だけで像を決めず、条件をそろえて測り直し、交点が広がる範囲を記録します。虚像の位置にスクリーンを置いても鮮明な像が得られなければ、それ自体は虚像という予測と矛盾しません。スクリーンが暗いことだけでは位置を特定できないため、視線の情報が別に必要です。

焦点距離が一定の凹レンズで、横軸を物体距離a、縦軸を像までの距離の大きさsとしたグラフを考えます。式はs = a・F/(a + F)です。原点から右上がりに増えますが、傾きは次第に小さく、s = Fの水平線に近づきます。横軸も縦軸も長さであり、負の像距離bそのものを縦軸にしたグラフとは上下が逆です。測定点が水平線を超える場合は、焦点の大きさや像の側、軸の定義を見直します。測定誤差を含む点が1つ外れたからといって、直ちに模型全体の誤りとは決めず、再測定して比較します。

練習：5つの設定で確認する

各問は薄い単一の凹レンズと近軸の光を考えます。距離はレンズ中心から測り、物体は左側にあります。指定の形で答え、途中では丸めません。

1. 焦点距離-9 cm、物体距離18 cmのとき、像距離を符号付きの整数cm、倍率を既約分数で求め、向きと種類を答えてください。
2. 物体距離16 cm、像距離-4 cmのとき、焦点距離を符号付きの既約分数cm、倍率を既約分数で求めてください。
3. 焦点距離-8 cm、物体距離24 cm、高さ4.0 cmの物体について、像距離を符号付きの整数cm、像の高さを小数第1位までのcmで求めてください。
4. 焦点距離-6 cmのレンズで倍率が1/4となるとき、物体距離を整数cm、像距離を符号付きの既約分数cmで求めてください。
5. 焦点距離-10 cmのレンズに対し、物体を左10 cmから左40 cmへ移します。像の移動距離を正の整数cmで、移動方向を言葉で答えてください。

練習の答えと途中式

1. 1/b = -1/9 − 1/18 = -1/6よりb = -6 cmです。m = 6/18 = 1/3なので正立の虚像です。焦点から像まで3 cmで、平行光の高さの比3/9も1/3となります。

2. 1/f = 1/16 − 1/4 = -3/16よりf = -16/3 cmです。m = 4/16 = 1/4です。得られた焦点距離を戻すと1/b = -3/16 − 1/16 = -1/4となり、像は左4 cmです。

3. 1/b = -1/8 − 1/24 = -1/6よりb = -6 cmです。m = 6/24 = 1/4だから高さは4.0・(1/4) = 1.0 cmです。焦点から像まで2 cmで、逆延長の高さの比2/8も1/4です。

4. m = 6/(a + 6) = 1/4よりa + 6 = 24、a = 18 cmです。b = -a・m = -18/4 = -9/2 cmです。したがって像距離は-9/2 cmです。式に戻すと1/18 + 1/(-9/2) = -1/6です。

5. 初めはb = -5 cm、移動後は1/b = -1/10 − 1/40 = -1/8よりb = -8 cmです。像はレンズから遠ざかる左向きに3 cm移動します。倍率はそれぞれ1/2、1/5で、焦点からの残りの距離を焦点距離で割った比とも一致します。

手元に残す要点

実物体ではaは正、凹レンズのfと虚像のbは負です。 出射光の逆延長と中心を通る光の交点が虚像です。 倍率m = -b/aの正負は向き、絶対値は大きさの比を示します。 凹レンズの実物体の像は正立、縮小で、焦点とレンズの間です。 式の答えを作図の交点に戻して照合します。

どこで止まったかを見分ける

式を立てる前に止まるなら、レンズを境に物体、焦点、像を置き、各距離の始点と側を言葉で示します。負号を付けた後に向きが決まらないなら、bの符号とmの符号がそれぞれ何を表すかを分けて説明します。図は描けても式が合わない場合は、平行光の逆延長と中心光線が同じ交点を通るかを確かめ、相似の比を1つずつ書きます。

個別指導では、まず自分の図に実線と破線を引き分け、その交点を式のbに対応させる説明を確認できます。答えが想定と違ったときも、出射光の向き、焦点距離の符号、倍率の負号の順にたどれば、どの判断から直すかが見えてきます。凹レンズの像は、光の道と符号を結び直すことで位置まで確かめられます。