高校物理 全反射の臨界角—入射側の屈折率と限界条件を確かめて進路を決める｜武蔵野個別指導塾

入射する側を取り違えたときの判定から、傾いた境界での角度の求め方まで、光の進路を分ける臨界角に迫ります。

よくあるのは、境界に向かう光を見た高校生が、低屈折率側から入射しているにもかかわらず、2つの屈折率の小さい方を大きい方で割り、臨界角を求める場面です。計算自体は正しくても、その角は反対側から入る光についてのものです。光がどこから来たかを矢印で示し、境界に垂直な線を引くと、式を使ってよいか判断できます。

進路を決める前に調べること

問題の型は、屈折率と入射角から全反射を判定するもの、全反射が始まる境目を求めるもの、境界が傾いたときの入射角を幾何で求めるものに分けられます。いずれも最初に媒質の両側を区別し、入射点での法線から角度を測ります。境界面と光線の間の角をそのまま式に入れると、余角の取り違えが起こります。

目標は数値を代入する前に、屈折光が存在する範囲を言葉と式で説明することです。臨界角に等しいときと、それを超えたときは別の状態です。また、反射光は屈折光がある場合にも一般に生じます。反射したという事実だけでは全反射とは判定できません。

境界に沿う屈折光が作る限界

図1のように、屈折率 n₁ の媒質から n₂ の媒質へ光が入射するとします。両方とも一様で、境界は平面とします。入射角を i、屈折角を r とし、どちらも法線から測ります。反射角も法線から測り、反射の法則により i と等しくなります。

図1のように n₁ が n₂ より大きい側から進む光では、屈折の法則は n₁・sin(i) = n₂・sin(r) です。したがって sin(r) = (n₁)/(n₂)・sin(i) となり、屈折角は入射角より大きくなります。入射角を増やすにつれて屈折光は境界に近づき、ある角で r = 90° になります。この境目の入射角を臨界角 θc と呼びます。

sin(90°) = 1 なので、臨界角は sin(θc) = (n₂)/(n₁) を満たします。ここで右辺が1未満となるのは、入射側の n₁ が相手側の n₂ より大きいからです。入射角が θc より小さければ、0°以上90°未満の屈折角が求まります。等しければ屈折角は90°で、幾何光学では屈折光は境界に沿う限界です。

θc を超えると、屈折の法則に実数の屈折角を代入した場合の sin(r) は1を超え、進行する屈折光の方向を定められません。この範囲で全反射が起こります。したがって条件は「大きい屈折率の側から小さい側へ入射する」ことと「入射角が臨界角を超える」ことの両方です。等号を含めずに書くことが、境目と超過を区別する鍵です。

逆に n₁ が n₂ より小さい場合、sin(r) = (n₁)/(n₂)・sin(i) の右辺は、入射角が90°に近づいても1未満です。屈折光が境界に沿う限界に達しないため、この向きの入射には臨界角を適用しません。同じ2媒質でも光の向きを逆にすれば、判定の出発点が変わります。屈折率が等しければ、理想化した境界で光線の方向は変わらず、全反射の境目もありません。

屈折率が与えられたとき、臨界角の値そのものが必要なら三角比の表や指定された値を使います。大小判定だけなら、0°から90°で sin が増加することを使い、sin(i) と (n₂)/(n₁) を比較できます。近似値を使うときは境目の近くで丸めによる逆転が起こりうるので、最後まで正確な比を保ちます。

基本例題：3つの角を比べる

屈折率 2 の透明な媒質から屈折率 1 の媒質へ、平面境界に向けて光を入射します。入射角がそれぞれ 20°、30°、40° のとき、屈折光があるか、境界に沿う限界か、全反射かを答えてください。sin(30°) = 1/2 を用い、角度は整数の度で答えます。媒質の吸収は無視します。

図2のように、入射側の屈折率は相手側より大きいため、まず臨界角を求められます。境界に向かう矢印の側を入射側と読むことが、分子と分母を決める手掛かりです。

図2の臨界角 θc について、屈折の法則に r = 90° を入れます。

2・sin(θc) = 1・sin(90°)

sin(θc) = 1/2

0°から90°で sin は増加し、sin(30°) = 1/2 ですから、θc = 30° です。20°はこれより小さいので屈折光があります。30°は等しいので境界に沿う限界、40°は超えているので全反射です。

答えを元の条件に戻します。30°では左辺が 2・(1/2) = 1、右辺も 1・sin(90°) = 1 で一致します。20°では sin(20°) が 1/2 より小さく、屈折角の正弦は1未満です。40°ではそれが1を超え、屈折角を作れません。3つの判定が式の側からも整合します。

反対向きに、屈折率 1 から 2 へ入る光に同じ30°を適用すると、sin(r) = (1/2)・sin(30°) = 1/4 です。屈折角は存在し、全反射ではありません。同じ比の数値を見つけても、その比がどちら向きの限界を表すかを確認します。

標準例題：境界の傾きから入射角へ

屈折率 2 の媒質中を光が水平右向きに進み、屈折率 1 の媒質との平面境界に達します。境界の直線は右上がりで、水平となす鋭角を α とします。光は境界の下側から入射します。α = 50°、60°、70°の各場合について、屈折光の有無を判定してください。光線と境界は同一平面内にあり、sin(30°) = 1/2 とします。角度は度の整数で答えます。

境界と光の進行方向の鋭角は α です。法線は境界に垂直ですから、この配置の入射角 i は 90° − α です。臨界角は基本例題と同様に30°です。α が50°なら i = 40°で全反射、60°なら i = 30°で境界に沿う限界、70°なら i = 20°で屈折光があります。

別の見方では、全反射条件 i > 30° に i = 90° − α を代入します。90° − α > 30° から α < 60° です。境界の傾きが大きくなるほど、この配置では法線が水平の光線に近づき、入射角は小さくなります。60°を境として不等号の向きが変わらないか、50°と70°を代入して照合できます。

ただし、この式は図形の配置に依存します。境界が反対向きに傾く場合や、光線が別の側から来る場合には、90° − α を機械的に使わず、入射点から入射側に伸びる法線と入射光線のなす角を描き直します。角度を求めた後に、光線が実際にその境界に到達する配置かも確認します。

発展示題：臨界角から屈折率を逆算する

一様な透明媒質 A から屈折率 1 の媒質 B へ向かう光について、臨界角が45°でした。sin(45°) = √2/2 とし、A の屈折率を根号を用いて求めてください。また、A からの入射角が60°の場合を判定してください。sin(60°) = √3/2 とします。

A の屈折率を n とすると、臨界角の関係から n・(√2/2) = 1 です。よって n = √2 です。境目が存在するという条件からも n > 1 が必要で、求めた値はこれを満たします。60°は45°を超えるので全反射です。

別解として屈折角を仮に r と置くと、sin(r) = √2・(√3/2) = √6/2 です。√6/2 は1より大きいため、進行する屈折光の角度はありません。逆算した屈折率を45°に戻すと √2・(√2/2) = 1 となり、境界に沿う条件を再現します。逆向きの B から A への入射で同じ結論を出していないかにも注意します。

間違いの位置を図で探す

図3のように、屈折率の小さい側から大きい側へ入る光に対して、分子を小さい値、分母を大きい値として臨界角を計算する誤答があります。その比は存在しますが、光を逆向きにしたときの臨界角に対応します。図に光の矢印を追加すれば、式の意味と問題の向きの不一致を見つけられます。

図3の低屈折率側からの入射では、屈折光は法線に近づきます。修正するときは n₁・sin(i) = n₂・sin(r) の n₁ を矢印の出発側に置き、sin(r) が1を超えないことを調べます。高屈折率側からの入射に直した場合も、角度が臨界角に等しいだけなら全反射とせず、超過を確かめます。

もう1つの誤りは、図の境界と光線の角を入射角と呼ぶことです。法線を引いて直角の印を付け、2つの角の和が90°になるかを確認してください。境界が回転すると法線も同じ角度だけ回転しますが、入射角の増減は光線と法線の位置関係を見て決めます。

測定を考え、グラフを読む

屈折率が既知の透明な半円形の試料を使い、曲面の中心に向けて細い光線を入れ、平面境界での入射角を変える測定を考えます。曲面にはほぼ垂直に入る配置なので、そこでの方向変化を抑えて平面境界の角を読みやすくできます。強い光源を直接見ないよう、実施する場合は学校の指導の下で行います。

入射角を横軸、屈折角を縦軸に取れば、高屈折率側からの入射では屈折角が先に90°へ近づきます。90°に達した後の点を、屈折光があるかのように延長してはいけません。正弦を取った値を両軸にすれば、屈折光がある範囲では原点を通る直線となり、その傾きは入射側の屈折率を相手側の屈折率で割った値です。横軸と縦軸を逆にすると傾きも逆数になります。

光の幅が有限なら、1本の線として決めた中心角の両側に異なる入射角が含まれます。境界の汚れ、角度目盛りの読み、試料の中心合わせも境目をぼかします。光が暗くて見えないことと屈折光が存在しないことは同じではありません。入射角を細かく変えて複数回読み、境目を1つの値で断定せず範囲として記録します。異なる人が同じ図から法線を引いた場合のばらつきも、読みの不確かさを調べる手掛かりです。

練習：方向と限界を分ける

以下では各媒質は一様で、境界は平面です。角度は法線から測ります。必要な三角比は sin(30°) = 1/2、sin(45°) = √2/2、sin(60°) = √3/2 とし、角度は度の整数、屈折率は正確な分数または根号で答えてください。

1. 屈折率 3 の媒質から屈折率 3√2/2 の媒質へ入射します。臨界角を求め、入射角60°のときの進路を判定してください。
2. 屈折率 1 の媒質から屈折率 √2 の媒質へ45°で入射します。屈折角の正弦と、全反射が起こるかを答えてください。
3. 屈折率 4 の媒質から屈折率 2 の媒質へ入射します。入射角30°での屈折角と、その状態の名称を答えてください。
4. 水平右向きの光が屈折率 2 の媒質から屈折率 1 の媒質へ進みます。右上がりの境界は水平と40°をなし、光はその下側から入射します。入射角と進路を答えてください。
5. 屈折率 1 の媒質に接する透明媒質からの臨界角が60°です。透明媒質の屈折率を求め、入射角45°での屈折角の正弦を求めてください。

練習の答えと照合

1. sin(θc) = (3√2/2)/(3) = √2/2 より θc = 45°です。60°はこれを超えるため全反射です。45°を屈折の法則に戻すと、入射側は 3√2/2、相手側は (3√2/2)・1 で一致します。60°では屈折角の正弦が √3/√2 となり1を超えます。
2. sin(r) = (1)/(√2)・(√2/2) = 1/2 です。屈折角は30°で、低屈折率側からの入射なので全反射は起こりません。元の式に戻すと 1・(√2/2) = √2・(1/2) です。
3. 4・sin(30°) = 2・sin(r) から sin(r) = 1 です。r = 90°で、境界に沿う限界です。左辺と右辺はいずれも2となり、角度は臨界角に等しいことも確かめられます。
4. 法線は境界と直交するので、入射角は 90° − 40° = 50°です。臨界角は sin(θc) = 1/2 より30°ですから、50°では全反射です。境界との角40°と入射角50°の和が90°となることを図に戻して確認します。
5. 屈折率を n とすると n・(√3/2) = 1 より n = 2/√3 = 2√3/3 です。45°では sin(r) = (2/√3)・(√2/2) = √6/3 です。これは1未満なので屈折角が存在します。60°に戻せば (2/√3)・(√3/2) = 1 で限界条件と一致します。

境界で覚えること

入射側の屈折率が大きいときに臨界角が存在します。 臨界角では屈折角が90°となり、超えたときに全反射します。 角度は法線から測り、境界の傾きから求め直します。

答えが合わないときの見分け方

臨界角の式は合うのに進路が逆なら、まず光の矢印と屈折率の大小を見直します。角度だけが合わなければ法線を描き、境界との角との和を調べます。等号で迷う場合は屈折角90°を式に戻し、限界と超過を別々の行に書きます。

個別指導で確かめるなら、数値を伏せた2媒質の図に入射矢印を描き、なぜ分母が入射側になるかを自分の言葉で説明してみてください。次に矢印を逆にして同じ式が使えるかを検討します。光の向きと法線が定まれば、全反射の判定も根拠を持って決まります。