高校物理 力学 弾性エネルギーと基準—鉛直ばねの伸びと高さを分けて停止位置を求める｜武蔵野個別指導塾

自然長から放したおもりの最下点を、重力とばねの位置エネルギーの基準をそろえて求め、つり合いの伸びとの違いをたどる鉛直ばね。

よくあるのは、鉛直に吊るしたばねにおもりを付け、自然長から静かに放した後の最下点を求める場面です。重力とばねの力が等しい位置を見つけて、そこが答えだと考えることがあります。しかし、そこに着くまでにおもりは速さを得ています。力がつり合う位置と、速さが一瞬0になる位置は別です。

伸びを下向きに測るとき、高さは上向きに測ります。この向きの違いを図に残し、位置エネルギーの基準を最初に決めれば、符号を暗記に頼らずに式を作れます。ここでは自然長から静かに放す場合を中心に、最下点、途中の速さ、基準を変えたときの見え方を調べます。周期は扱いません。

どの位置を尋ねられているか

第1の型は、最下点の伸びを求める問題です。放した位置と最下点で速さがともに0なので、2点の位置エネルギーを比較します。ただし、放した位置も速さ0です。方程式の根のうち、開始位置と異なる根を選ぶ必要があります。

第2の型は、指定された伸びでの速さを求める問題です。途中では運動エネルギーが0ではありません。重力による位置エネルギーの減少を、ばねの弾性エネルギーと運動エネルギーに配分します。得られた速さの二乗が負なら、その位置には与えられた条件では到達しません。

第3の型は、基準を変えたり、エネルギーの式を平方完成したりして同じ停止位置を求める問題です。基準を変えると各位置エネルギーの数値は変わりますが、2点間の差は変わりません。途中で基準を変えた場合には、初期位置と求める位置の両方を書き直します。

伸びと高さの符号をそろえる

ばねの上端を固定し、質量mのおもりを下端につけます。ばねの質量と空気抵抗は無視し、伸びxに対して上向きのばねの力の大きさがkxとなる理想ばねを考えます。kは正のばね定数です。おもりの大きさは無視し、運動中はばねが外れず、床にも触れないものとします。重力加速度の大きさをgとします。

図1のように、自然長でのおもりの位置を原点とし、伸びxを下向きに測ります。高さhは上向きを正に測るので、同じ位置についてh = -xです。伸びと高さはどちらも長さですが、正の向きが逆です。おもりが下へ動くとxは増え、hは減ります。

図1の位置でおもりに働く力は、下向きの重力mgと上向きのばねの力kxです。重力による位置エネルギーは、自然長の位置で0とすればmgh = -mgxです。下がるほど負になるのは、選んだ原点より低くなったためです。負の位置エネルギーは誤りではありません。

一方、ばねの弾性エネルギーは自然長で0として(1/2)kx²です。この式の理由は、自然長から伸びxまで、ばねをゆっくり伸ばす外力の大きさが0からkxまで直線的に増えることにあります。外力のした仕事は、力と伸びのグラフの三角形の面積なので(1/2)kx²です。理想ばねに蓄えられるエネルギーをこれとします。単位も、kのN/mにx²のm²を掛けてN・m、すなわちJです。

放した瞬間はx = 0、速さも0です。重力と弾性の位置エネルギーの基準をともに自然長にとると、そのときの力学的エネルギーは0です。伸びx、速さvの位置では保存則から次のようになります。

(1/2)mv² + (1/2)kx² - mgx = 0
(1/2)mv² = mgx - (1/2)kx²

重力とばねの力によるエネルギーを含めているので、両者の仕事をさらに右辺に足してはいけません。途中の速さを求めるには、右辺が0以上かを確かめます。xが0から2mg/kの間では、右辺は0以上です。これより大きな伸びでは運動エネルギーが負になるため、初期条件のままでは到達しません。

停止位置ではv = 0です。m、g、kが正なら、式を因数分解して2つの根を得ます。

(1/2)kx² - mgx = 0
x((1/2)kx - mg) = 0
x = 0 または x = 2mg/k

x = 0は放した位置です。放した直後には重力が下向きに働き、ばねの力は0なので、もう一方の根が最下点です。最下点ではばねの力は2mgで、重力より大きく上向きの合力が働きます。速さが瞬間的に0でも加速度は0ではなく、そこで運動の向きが変わります。

他方、静止したまま力がつり合う伸びはkx = mgからmg/kです。自然長からそこへ来る間は重力がばねの力より大きいので、おもりは下向きの速さを得ます。つり合いの位置で合力が0になっても速さは消えません。mg/kの2倍が最下点となるのは、ここで指定した自然長から静かに放す理想的な条件の結果です。別の位置や初速度で放せば、この2倍という関係をそのまま使えません。

基本例題：最下点に残るエネルギー

質量0.20 kgのおもりを、ばね定数20 N/mの軽い鉛直ばねにつけます。ばねが自然長の位置から静かに放します。重力加速度は計算用に10 m/s²とし、抵抗は無視します。つり合いの伸びと最下点の伸びを、それぞれm単位の小数で求めてください。

図2のように、自然長から下向きの伸びを測ります。重力の大きさは0.20 × 10 = 2.0 Nです。つり合いの位置では、ばねの力が2.0 Nになります。

20x = 2.0
x = 0.10 m

最下点では初めと終わりの速さが0なので、重力の位置エネルギーの減少と弾性エネルギーの増加を等しくします。

2.0x = (1/2)・20x²
x(10x - 2.0) = 0
x = 0 または x = 0.20 m

開始位置以外の停止位置は0.20 mです。場面に戻すと、この間に重力がした仕事は2.0 N × 0.20 m = 0.40 J、ばねに蓄えられたエネルギーも(1/2)・20・0.20² = 0.40 Jです。両端で運動エネルギーは0なので収支が合います。最下点でのばねの力は4.0 N、重力は2.0 Nで、上向きの合力があることも確かめられます。

図2のつり合いの位置でエネルギーを計算すると、重力の位置エネルギーの減少は0.20 J、ばねのエネルギーは0.10 Jです。差の0.10 Jは運動エネルギーですから、そこを通過します。つり合いの式だけを解いた答えと、停止条件を用いた答えを混ぜないことが重要です。

標準例題：途中の速さを求める

質量0.50 kgのおもりを、ばね定数40 N/mの軽い鉛直ばねの自然長の位置から静かに放します。g = 10 m/s²、抵抗なしとします。伸び0.10 mでの速さをm/s単位の根号で正確に求めてください。

重力の大きさは5.0 Nです。自然長を両方の位置エネルギーの基準にして、伸び0.10 mを代入します。

(1/2)・0.50・v² = 5.0・0.10 - (1/2)・40・0.10²
0.25v² = 0.50 - 0.20
v² = 1.2

速さは√(6/5) m/sです。途中で丸めず、速さの二乗をそのまま使うとエネルギー収支を正確に確かめられます。

最下点の伸びは2・5.0/40 = 0.25 mなので、0.10 mは到達範囲内です。求めたv²を戻すと運動エネルギーは0.30 J、弾性エネルギーは0.20 Jで、重力がした仕事0.50 Jに一致します。速度の向きを問うなら下降中と上昇中を区別しますが、速さはどちらも同じです。抵抗がないという条件がこの一致を支えます。

発展例題：基準を移して平方完成する

質量0.30 kgのおもりを、ばね定数30 N/mの軽い鉛直ばねの自然長から静かに放します。g = 10 m/s²、抵抗なしとします。つり合いの位置を高さの基準としたときの全エネルギーと、最下点の伸びを、それぞれJ、m単位の小数で求めてください。ただし弾性エネルギーの0は自然長にとります。

つり合いの伸びは3.0/30 = 0.10 mです。そこを高さ0にとると、伸びxの位置の高さは0.10 − xです。したがって全エネルギーEは次の式になります。

E = (1/2)・0.30・v² + 15x² + 3.0(0.10 - x)
E = 0.15v² + 15(x - 0.10)² + 0.15

放した位置ではx = 0、v = 0ですからE = 0.30 Jです。最下点ではv = 0なので、平方の項は0.15 Jとなります。

15(x - 0.10)² + 0.15 = 0.30
(x - 0.10)² = 0.01
x = 0 または x = 0.20 m

よって全エネルギーは0.30 J、最下点の伸びは0.20 mです。最下点では高さが-0.10 mで重力の位置エネルギーは-0.30 J、弾性エネルギーは0.60 Jです。和は初めの0.30 Jと一致します。

別解として、自然長を高さ0に戻せば、初めの全エネルギーは0です。停止位置は15x² − 3.0x = 0から同じ0.20 mとなります。2つのEの値は異なりますが、位置エネルギーの基準の違いによる定数分だけずれています。途中で基準を変えて初めのEを0のまま使うと、別の場面を計算してしまいます。

平方完成は、位置エネルギーの最小位置がx = 0.10 mであることも示します。最小位置は力のつり合う位置です。エネルギーが最小になる位置と、指定した全エネルギーの高さで速さが0になる位置は、一般に一致しません。平方完成は初期位置が変わっても使えますが、最下点を選ぶには初期速度と到達できる範囲を別に確認します。

測定で伸びの関係を確かめる

学校の指導の下、十分安全な範囲で軽いばねとおもりを使い、同じ自然長の位置から静かに放す観察を考えます。落下物や強いばねの取扱いに注意し、装置の支持や周囲の安全を確かめます。質量を独立変数、最下点までの伸びを測定量とし、同じばね、同じ放し方、同じ目盛りを使います。質量ごとに繰り返し、ばらつきを記録します。

横軸を質量m（kg）、縦軸を最下点の伸びx（m）とすれば、理想モデルではx = (2g/k)mです。十分に狭い範囲で直線関係が成立するなら、傾きは2g/kです。静止してつり合う伸びを別に測れば、その傾きはg/kとなり、放した場合の傾きと比較できます。軸の単位を変えれば傾きの数値も変わるので、単位を併記します。

例えば練習用に作ったデータで、質量0.10 kgのとき最下点の伸び0.10 m、0.20 kgのとき0.20 mとします。2点を結ぶ傾きは1.0 m/kgです。gを計算用に10 m/s²とすると、この理想モデルからk = 20 N/mと推定できます。これは実測値ではなく、読み方を示す自作データです。2点が直線に並ぶことだけでは、広い範囲で理想ばねが成立するとは決められません。

自然長の読みを一定量ずらすと、伸びの値に共通の偏りが生じます。目盛りを斜めから見ることも系統的なずれの原因です。放す瞬間に指が押す、最下点を目で追うタイミングがずれると、測定ごとに値がばらつきます。動画を使う場合も、撮影間隔が粗ければ真の最下点を見逃し、伸びを小さく読むことがあります。画面の縮尺とばねの向きが変わらないようにし、複数回の結果を比較します。

抵抗があると、下降中に力学的エネルギーの一部が熱などへ移るため、理想式の最下点より浅くなり得ます。ばねの質量、横揺れ、自然長付近での力の関係もモデルとの差になります。グラフの切片が0からずれたときは、すぐに新しい法則とせず、原点の測り方や放し方を点検します。直線を必ず原点へ通すのではなく、各点のばらつきと測定条件を先に見ます。

間違いを力と速さに分けて直す

誤答の例は「最下点では止まるので、重力とばねの力がつり合い、伸びはmg/k」です。止まるという言葉から、速さ0と合力0を同じ条件と扱ったことが原因です。速さは位置が変わる割合を表し、合力は加速度を決めます。両者は同じ量ではありません。

図3のように、つり合い位置では下向きに通過する速さがあり、最下点では速さ0でも上向きの合力があります。直すには、まず「静止し続ける位置」か「折り返す瞬間」かを問題文で区別します。前者には力のつり合い、後者には初期状態を含むエネルギー保存を用います。

もう一つの誤りは、下がった距離xを高さの増加とみなし、重力の位置エネルギーをmgxとすることです。自然長を高さ0にした図では高さが-xなので、正しくは-mgxです。逆に下向き座標を使わず、上向きの高さhで始めれば重力はmghですが、ばねの伸びは-hとなります。どちらの座標でも、同一位置を一貫して表せば同じ答えになります。

最下点の方程式でx = 0だけを選ぶ失敗もあります。開始点も静かに放しているので、停止条件を満たすこと自体は正しいのです。問題が求めたのは下降後の位置なので、初期状態と区別し、もう一つの根の正負と運動の向きを確認します。解が出ない場合や負の運動エネルギーが出た場合は、符号、初期値、到達範囲の順に見直します。

練習：基準と停止位置を自分で選ぶ

いずれも軽い理想ばねを鉛直に吊るし、質点とみなすおもりを自然長の位置から静かに放します。ばねは外れず床にも触れず、抵抗は無視します。g = 10 m/s²とします。答えは指定された単位の小数または根号で正確に表してください。

1. 質量0.40 kg、ばね定数50 N/mのとき、つり合いの伸びと最下点の伸びをm単位の小数で求めてください。
2. 質量0.20 kg、ばね定数10 N/mのとき、伸び0.20 mでの速さをm/s単位の根号で求めてください。
3. 質量0.60 kg、ばね定数40 N/mのとき、伸び0.40 mに到達できるか判定し、その理由をJ単位の小数で示してください。
4. 質量0.10 kg、ばね定数20 N/mのとき、自然長を高さ0とする重力と弾性の位置エネルギーを、最下点でそれぞれJ単位の小数で求めてください。
5. 質量0.80 kg、ばね定数80 N/mのとき、つり合い位置を高さ0とし、弾性エネルギーの0を自然長にとります。放した瞬間の全エネルギーと最下点の伸びを、それぞれJ、m単位の小数で求めてください。

練習の答えと確かめ

1. 重力は4.0 Nです。静止のつり合いから50x = 4.0なのでx = 0.08 mです。停止条件は4.0x = 25x²なので、開始点以外はx = 0.16 mです。そこでは重力の仕事4.0・0.16 = 0.64 Jと、弾性エネルギー25・0.16² = 0.64 Jが一致します。したがって答えは0.08 mと0.16 mです。

2. 重力は2.0 Nです。伸び0.20 mでは重力の仕事が0.40 J、弾性エネルギーが0.20 Jです。残り0.20 Jが運動エネルギーなので、0.10v² = 0.20、v² = 2です。速さは√2 m/sです。戻すと運動エネルギー0.20 Jと弾性エネルギー0.20 Jの和が0.40 Jになり、収支が合います。最下点は0.40 mなので指定位置に到達します。

3. 重力の仕事は6.0・0.40 = 2.40 Jですが、ばねを0.40 m伸ばすには20・0.40² = 3.20 Jが必要です。運動エネルギーは2.40 − 3.20 = -0.80 Jとなってしまうため、到達できません。実際の最下点は2・6.0/40 = 0.30 mです。そこでは重力の仕事1.80 Jと弾性エネルギー1.80 Jが一致し、0.40 mより手前で折り返します。

4. 重力は1.0 N、最下点の伸びは2・1.0/20 = 0.10 mです。高さは-0.10 mなので重力の位置エネルギーは-0.10 J、弾性エネルギーは10・0.10² = 0.10 Jです。和が放した瞬間の0 Jに戻り、速さ0の条件と一致します。

5. 重力は8.0 N、つり合いの伸びは8.0/80 = 0.10 mです。放した瞬間の高さは0.10 mなので、重力の位置エネルギーは0.80 Jです。弾性エネルギーと運動エネルギーは0で、全エネルギーは0.80 Jです。最下点の伸びは2・8.0/80 = 0.20 mです。そこでは高さ-0.10 m、重力の位置エネルギー-0.80 J、弾性エネルギー40・0.20² = 1.60 Jとなり、和は0.80 Jに戻ります。

手元に残すこと

自然長からの伸びと上向きの高さは、原点をそろえると符号が逆です。 つり合いの伸びmg/kでは合力が0ですが、通過時の速さは0とは限りません。 自然長から静かに放す理想条件では、最下点の伸びは2mg/kです。 位置エネルギーの基準を変えたら、初めと終わりを同じ基準で計算します。

つまずきを確かめるには、まず自然長、つり合い位置、最下点を縦に描き、それぞれの速さと合力の向きを言葉で添えてみてください。次に高さの原点を変えても、2点間の位置エネルギーの差が変わらないことを式で説明します。個別指導で式を見直す際にも、どの物体のどの位置をxで表すかを図に戻せば、つり合いと停止の取り違えを見つけられます。