高校数学I 一次不等式の同値変形—負の数で割る操作を数直線と対応させる｜武蔵野個別指導塾

負の係数で割るときの向き、分母払い、小数係数と端点の扱いを、代入による検算までたどります。鍵は一次不等式です。

よくあるのは、高1の自習で負の係数で割って不等号を変えないという場面です。計算が最後まで進んでも、答えの矢印が反対なら、条件を満たす数と満たさない数を取り違えます。境界の数とその両側を元の式に戻すと、その違いが見えてきます。負の数を掛ける操作の意味から、分母や小数を含む式まで順に扱います。

要点（結論から）

• 同じ数の加減と正の数による乗除は、不等号の向きを保ちます。
• 負の数による乗除は向きを逆にし、等号の有無は保ちます。
• 分母払いは0でない分母を確かめ、正の共通倍数を両辺の各項に掛けます。

どの操作が必要かを読む

一次不等式では、文字を含む項を整理して、最後に文字の係数で割ることが多いです。求めるのは、等式のような1個の値とは限らず、不等式を成り立たせる実数の範囲です。以下では特に指定がなければ、文字は実数とします。

出方には大きく3つの型があります。整数係数の式では、移項して係数の正負を確かめます。分数を含む式では、分母を払う正の数を選び、両辺の各項に掛けます。小数を含む式では、正の10や100を掛ければ整数係数に直せます。どの型でも最後は、境界が含まれるかと、どちら側が解かを確かめます。

等号の付いた不等号は境界を含みます。等号の付かない不等号は境界を含みません。数直線を描く問題では、この区別が答えの一部です。ここでは1つの一次不等式の変形に焦点を当て、複数の不等式を同時に満たす範囲は扱いません。

順序を保つ操作と逆にする操作

不等式の解とは、文字に代入すると不等式が成り立つ数です。変形の前後で解の集合が同じであるとき、その変形を同値変形といいます。答えを求めるには、片方向に成り立つだけでなく、元へ戻しても成り立つ操作を重ねます。

実数 a, b について a < b なら、両辺に同じ数を加えても a + c < b + c です。両辺から同じ数を引く操作も、負の数を加えることなので順序を保ちます。項を反対側へ移して符号を変える移項は、両辺に同じ数を加える操作を短く書いたものです。

両辺に正の数を掛けたり正の数で割ったりしても、不等号の向きは変わりません。一方、両辺に負の数を掛けたり負の数で割ったりすると、向きが逆になります。例えば 2 < 5 に -1 を掛けると -2 > -5 です。数直線では符号を変えると各点が原点をはさんで反対側に移り、左右の順序も入れ替わります。図1のように元の2点と符号を変えた2点を対応させると、その入れ替わりを追えます。

図1では、2 は 5 の左ですが、-2 は -5 の右です。負の数を掛ける操作は、正の数を掛けてから符号を変える操作に分けられるので、どの負の数でも同じように順序が逆になります。逆向きの操作でも元の不等式に戻れるため、解は変わりません。

0 を掛ける操作には注意が必要です。両辺がともに0になり、元の大小関係を失うので、同値変形として使えません。0 で割ることもできません。文字の係数で割るときは、その数が正か負か、0ではないかを先に確かめます。ここで扱う係数は具体的な数なので、その符号を計算して判断できます。

不等号が < または > なら境界は含まれず、数直線では白丸で表します。≤ または ≥ なら等号を含み、黒丸のように塗った点で表します。向きの反転と等号の有無は別の判断です。負の数で割っても、等号が付くかどうかは変わりません。

基本例題：負の係数を処理する

次の不等式を解き、解を不等号で表して数直線にも示してください。

3 − 2x ≤ 9

両辺から3を引き、係数 -2 で割ります。-2 は負なので、不等号を逆にします。

3 - 2x ≤ 9
-2x ≤ 6       両辺から3を引く
x ≥ -3        両辺を負の数 -2 で割る

答えは x ≥ -3 です。図2のように -3 の点を塗り、右側に解を伸ばします。等号が付いているので、境界自体も含みます。

図2の境界 -3 を元の式に戻すと、左辺は 3 − 2(-3) = 9 で、等号が成立します。右側の -2 では左辺が7となり 7 ≤ 9 です。左側の -4 では左辺が11となり 11 ≤ 9 は成り立ちません。境界と両側の確認は向きや端点の誤りを見つける助けになります。ただし、3点の代入だけで無数の実数について証明したことにはなりません。全体に対する根拠は、各行が同値変形であることです。

移項後の -2x ≤ 6 で、左辺を x にするために負の数で割っています。もし不等号を変えず x ≤ -3 とすると、境界の代入は合ってしまうため、その点だけの検算では誤りを見逃します。境界の両側も試す意味はここにあります。

数直線の右向きは常に「大きい数」を表しますが、元の左辺 3 − 2x は x が大きくなると小さくなります。x を1増やすごとに左辺は2減るため、境界より右で左辺が9以下になることも、式の形から理解できます。逆に x を1減らすと左辺は2増え、境界より左では条件を外れます。この増減の見方は今回の式の確認であり、変形するときには係数の符号を毎回確認します。

分母を払うときに掛ける範囲

標準例題

次の不等式を解き、解を不等号で表してください。

(x − 1)/3 − (x + 2)/4 > 1/2

分母 3、4、2 はいずれも0ではありません。共通の倍数12は正なので、両辺に掛けても不等号はそのままです。左辺の2項にも右辺にも掛けることに注意します。

(x - 1)/3 - (x + 2)/4 > 1/2
4(x - 1) - 3(x + 2) > 6    両辺に正の12を掛ける
4x - 4 - 3x - 6 > 6        分配法則
x - 10 > 6                 同類項をまとめる
x > 16                     両辺に10を加える

答えは x > 16 です。境界16では、元の左辺が 15/3 − 18/4 = 1/2 となり、右辺と等しくなります。等号を含まないので16は解ではありません。17では左辺が 16/3 − 19/4 = 7/12 で 1/2 より大きく、15では左辺が 14/3 − 17/4 = 5/12 で 1/2 より小さくなります。元の分数で確かめれば、分母払いの段階の掛け忘れにも気づけます。

例えば左辺の最初の項にしか12を掛けなければ、両辺全体を同じ数倍したことにならず、同値変形ではありません。括弧を付けたまま各項に掛けてから展開すると、マイナスの分配も点検できます。分母の最小公倍数でなくても、分母を消せる正の共通倍数なら使えます。負の共通倍数でも計算は可能ですが、不等号を逆にする必要があるため、ここでは正の数を選びます。

発展例題：小数から正確な分数へ

次の不等式を解き、解を既約分数を用いた不等号で表してください。

0.4(3x − 5) ≥ 1.1x + 0.7

小数第1位までなので、両辺に正の10を掛ければ整数係数になります。括弧の内側ではなく、括弧全体に掛かる係数を10倍します。

0.4(3x - 5) ≥ 1.1x + 0.7
4(3x - 5) ≥ 11x + 7       両辺に正の10を掛ける
12x - 20 ≥ 11x + 7        分配法則
x - 20 ≥ 7                両辺から11xを引く
x ≥ 27                    両辺に20を加える

答えは x ≥ 27 です。整数も分母1の既約分数とみなせます。境界27では元の左辺は 0.4・76 = 30.4、右辺は 29.7 + 0.7 = 30.4 で等しくなります。28では左辺31.6、右辺31.5で条件を満たし、26では左辺29.2、右辺29.3で満たしません。

最初に小数を展開してから移項することもできますが、0.4・3 や小数の引き算を正確に扱う必要があります。整数化はその計算を減らす選択です。10倍した後に 4(30x − 50) とすれば、括弧の中も重ねて10倍したことになり、元の式の10倍ではありません。例えば x = 0 で元の左辺の10倍は -20 ですが、誤った式は -200 です。操作の前後で一度値を比較すると、掛ける範囲の誤りを検出できます。

誤答の境界と向きを直す

基本例題の途中式 -2x ≤ 6 から x ≤ -3 としたとします。図3の左向きはこの誤答、右向きは正しい範囲です。どちらも -3 を含むため、端点だけを見ると違いが見えません。

誤答の理由は、-2 で割ると数直線の順序が逆になることを落とした点です。図3の誤答に含まれる -4 を元の式へ代入すると 11 ≤ 9 となり不成立です。反対に誤答から外れる -2 は 7 ≤ 9 を満たします。したがって向きを反転し x ≥ -3 と直します。

別の誤りとして x > -3 とすれば、向きは正しくても等号が失われます。-3 の代入では両辺が等しいので、この点は解に含まれます。向きの点検には境界の両側、開閉の点検には境界そのものを使います。元の式で成り立たない数を含んだり、成り立つ数を除いたりしていないかを、それぞれ別に確認します。

解を数直線で読むとき、塗った点と線の向きは別々に決めます。点は等号の有無、線は境界より大きい数か小さい数かに対応します。式だけで答える場合も、この2つを言葉で説明できるか試すと確認になります。

練習問題

各問は実数 x について解き、答えを不等号で表してください。分数が必要な場合は既約分数で表します。

1. 8 − 3x > 2
2. 5x + 7 ≤ 2x − 5
3. (x + 3)/2 − (x − 1)/5 ≥ 4
4. 0.2(4x + 5) < 1.3x − 0.5
5. (2 − x)/4 + (x + 1)/6 ≤ 1

解答と確かめ

1

8 - 3x > 2
-3x > -6       両辺から8を引く
x < 2          負の -3 で割り向きを逆にする

答えは x < 2 です。2では両辺が2で等しく、等号を含まないので除きます。1では左辺5で成立し、3では左辺 -1 で不成立です。負の係数を払った後の左側が解になっています。

2

5x + 7 ≤ 2x - 5
3x + 7 ≤ -5       両辺から2xを引く
3x ≤ -12          両辺から7を引く
x ≤ -4            正の3で割る

答えは x ≤ -4 です。-4を代入すると両辺とも -13 で等しく、境界を含みます。-5では左辺 -18、右辺 -15 で成立し、-3では左辺 -8、右辺 -11 で不成立です。正の3で割るので向きは変わりません。

3

分母2と5は0ではなく、その正の共通倍数10を掛けます。

(x + 3)/2 - (x - 1)/5 ≥ 4
5(x + 3) - 2(x - 1) ≥ 40
5x + 15 - 2x + 2 ≥ 40
3x ≥ 23
x ≥ 23/3

答えは x ≥ 23/3 です。境界では元の左辺が 16/3 − 4/3 = 4 です。8では 11/2 − 7/5 = 41/10 で成立し、7では 5 − 6/5 = 19/5 で不成立です。分子を括弧ごと扱ったことも元の式で確かめられます。

4

0.2(4x + 5) < 1.3x - 0.5
2(4x + 5) < 13x - 5       両辺に正の10を掛ける
8x + 10 < 13x - 5
15 < 5x
3 < x

答えは x > 3 です。3では元の両辺とも 3.4 となり、等号がないので除きます。4では左辺4.2、右辺4.7で成立し、2では左辺2.6、右辺2.1で不成立です。最後の 3 < x は x > 3 と同じ大小関係です。

5

分母4と6は0ではありません。正の12を掛けてから各項を展開します。

(2 - x)/4 + (x + 1)/6 ≤ 1
3(2 - x) + 2(x + 1) ≤ 12
6 - 3x + 2x + 2 ≤ 12
8 - x ≤ 12
-x ≤ 4
x ≥ -4

答えは x ≥ -4 です。-4では元の左辺が 6/4 − 3/6 = 1 で、等号が成立します。-3では 5/4 − 2/6 = 11/12 で成立し、-5では 7/4 − 4/6 = 13/12 で不成立です。最後に負の -1 で割るため、向きを逆にします。

要点

• 同じ数の加減と正の数による乗除は、不等号の向きを保ちます。
• 負の数による乗除は向きを逆にし、等号の有無は保ちます。
• 分母払いは0でない分母を確かめ、正の共通倍数を両辺の各項に掛けます。
• 境界とその両側を元の式に戻し、端点と向きを点検します。

どこで止まったかを見分ける

境界の値は合うのに範囲が逆なら、最後に割った数の符号と不等号の向きを確かめます。境界の両側は合うのに点の塗り方が違うなら、元の不等号に等号が付いているかを見ます。分数や小数の問題で境界自体がずれる場合は、両辺の各項に同じ数を掛けたか、括弧の負号まで戻って調べます。

個別指導では、途中の1行を指して、どの数を両辺に加えたか、何で割ったかを言葉にしてもらいます。その操作を逆にたどれるかも確かめると、手順の暗記と同値変形の理解を区別できます。数直線と代入を行き来すれば、不等号の向きに理由を持てます。