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高校数学I 根号を含む式の値—和と積を先に求めて計算量を減らす｜武蔵野個別指導塾

公開 2026.11.12更新 2026.11.12武蔵野個別指導塾の特徴高校数学I 数と式・集合と命題深掘り

共役な2数の和と積から二乗の和や逆数の和を求め、符号と分母の条件までたどる主題は根号を含む式の値です。

よくあるのは、高1の自習で二つの長い根号式を別々に二乗し、途中で符号を落とすという場面です。答えまで展開する方法もありますが、二つの数に共通する部分と符号が反対の部分を見れば、もっと短い道筋が見つかります。和と積を先に求め、求める式をそれらで表す練習をしましょう。ここでは二次式までを扱い、三次式は扱いません。

どこに共通部分があるか

出方の1つは、2数の二乗の和を求める問題です。和を二乗すると二乗の和に積の2倍が加わるので、その分を引きます。個別の二乗を計算する前に、和と積が簡単になるかを見ます。

もう1つは、差の二乗や逆数の和を求める問題です。差の二乗には和と積が使えます。逆数の和には通分が必要なので、積が0でないことを先に確かめます。さらに、和と積から一方の式を逆算する問題もあります。与えられた値がどの式に対応するかを整理することが出発点です。

使う公式を覚えていても、積の符号を取り違えると答えは変わります。数の位置を示す文字を決め、何を足し、何を掛けたかを毎回書き出しましょう。式の形に合わせる前に、根号の中が非負であることと、分母がある場合には0でないことも確かめます。

和と積を道具にする

根号の値を扱う前に、実数 a が0以上であることを確認します。この条件のもとで、平方が a に一致する非負の数を √a と書きます。例えば √5 は正で、その二乗は5です。和と差の形 A + B と A − B を、ここでは共役な形の2数として見ます。A、B が根号を含んでも、実数として定義されていれば分配法則が使えます。

(A + B) + (A - B) = 2A
(A + B)(A - B) = A² - B²

和では B と -B が消えます。積では交差する項 -AB と AB が消えます。図1のように、2数をそれぞれ詳しく展開する前に、和と積を小さな材料として取り出します。差の順序を逆にしても積は同じですが、差自体の符号は逆になることに注意します。

図1の和と積から、二乗の和を求める式を導きます。x と y を実数とし、和を S、積を P とおきます。まず分配法則で (x + y)² = x² + 2xy + y² です。したがって、次の式が成り立ちます。

x² + y² = (x + y)² - 2xy
         = S² - 2P
(x - y)² = (x + y)² - 4xy
         = S² - 4P

2行目の組は、(x − y)² = x² − 2xy + y² に最初の式を代入して得られます。どちらも実数なら成り立つ等式で、x と y が正である必要はありません。P が負なら -2P は正になります。負の積を括弧ごと代入すると符号を守れます。

逆数の和は x、y のどちらも0でないときに限り、通分して 1/x + 1/y = (x + y)/(xy) = S/P です。P = 0 のときは少なくとも一方が0で、元の逆数自体が定義されません。公式に0を代入して先へ進むことはできません。

また、S と P から (x − y)² が求まっても、差 x − y の符号は自動では決まりません。平方根は非負なので、差の絶対値は √(S² − 4P) です。差そのものは大小関係を使って正負を決めます。実数 x、y が実際に存在するとき、この根号内は差の二乗なので0以上です。

材料が足りる場合と足りない場合

和と積は便利ですが、何を求めるかによって必要な情報は変わります。例えば x² + y² は x と y を入れ替えても変わらないので、和と積から一意に求まります。一方、x − y は入れ替えると符号が反対になります。和と積が同じでも順序が指定されなければ、差の符号まで決めることはできません。差の二乗を出した後に、元の条件がどちらの数を大きいと示しているかを探します。

また、和だけから二乗の和を求めることもできません。和が同じでも積が変わると、引く 2xy が変わるからです。積だけを知っているときも同様に、和の二乗が必要です。与えられた情報から和と積の両方が出せるかを先に確かめると、途中で根拠のない値を置かずに済みます。

分母を含む式では、計算を始める前の定義域の点検に加えて、途中で新たに割る数にも注意します。例えば積が0なら、和を積で割る形は使えません。和が0であっても積が0でなければ逆数の和は0と求まります。分子が0の場合と分母が0の場合を同じ扱いにしないことが重要です。

共役な形が見えない場合は、根号を無理に消そうとせず、まず2数を括弧付きで加減します。同じ根号どうしは係数をまとめられますが、異なる根号を足して根号の中を足すことはできません。積を計算するときは、交差項が本当に反対符号で同じ大きさかを確かめてから消します。共通部分が異なる式なら、和と差の積の公式をそのまま適用できない場合もあります。

基本例題：二乗の和を短く求める

x = 3 + √5、y = 3 − √5 とします。x² + y² の値を整数で求めてください。

√5 は定義され、(√5)² = 5 です。図2のように共通部分3を和に、符号の反対の部分を積に使います。二つの数の値を別々に二乗する前に、まず和を計算します。

x + y = (3 + √5) + (3 - √5)
      = 6
xy = (3 + √5)(3 - √5)
   = 3² - (√5)²
   = 4
x² + y² = (x + y)² - 2xy
         = 6² - 2・4
         = 28

図2の矢印は、和6と積4を二乗の和の式に入れる順序を表します。最後の式では、和を二乗した36に交差項8が含まれるため、その8を引いています。答えは28です。

元の2数を直接二乗しても確かめられます。x² = 14 + 6√5、y² = 14 − 6√5 なので、和は28です。積についても、交差項を含む形から -3√5 と 3√5 が消え、9 − 5 = 4 に戻ります。和と積の計算と答えの双方を別の道で照合できます。

標準例題：逆数を含む式

p = √7 + 2、q = √7 − 2 とします。1/p + 1/qは分母を有理化した根号を含む形で、p² + q²は整数で求めてください。

7は正なので √7 は正です。また √7 は2と等しくありません。等しいとすると両辺を二乗して7 = 4となるためです。よって q は0でなく、p も正です。逆数が定義されることを確かめてから通分します。

p + q = (√7 + 2) + (√7 - 2)
      = 2√7
pq = (√7 + 2)(√7 - 2)
   = (√7)² - 2²
   = 3
1/p + 1/q = (p + q)/(pq)
          = 2√7/3
p² + q² = (p + q)² - 2pq
         = (2√7)² - 2・3
         = 28 - 6
         = 22

逆数の和は 2√7/3、二乗の和は22です。積が3とわかった段階でも、分母が0でないことを確かめ直せます。実際、求めた逆数の和に pq = 3 を掛けると 2√7 となり、元の和に戻ります。二乗の和に積の2倍6を足すと28で、元の和の二乗とも一致します。

ここで和を4とする誤りは、符号が反対の部分を取り違えたことから生じます。p と q の共通部分は √7 であり、2と -2 が消えます。根号が付いている項が常に消えるわけではありません。2数を縦に対応させ、同じ項と反対の項を区別しましょう。

発展例題：和と積から差を取り出す

a = √13 + √3、b = √13 − √3 とします。a² + b²、(a − b)²、a − b をそれぞれ求めてください。最後は根号を使う形で答えます。

13と3は正なので根号は実数です。二つの共通部分は √13 で、反対の部分は √3 です。まず和と積を計算します。

a + b = 2√13
ab = (√13)² - (√3)²
   = 13 - 3
   = 10
a² + b² = (a + b)² - 2ab
         = (2√13)² - 2・10
         = 52 - 20
         = 32
(a - b)² = (a + b)² - 4ab
          = 52 - 40
          = 12

二乗の和は32、差の二乗は12です。ここから差を求めるには符号を調べます。元の式の差は (√13 + √3) − (√13 − √3) であり、√3 は正なので a − b は正です。よって a − b = √12 = 2√3 です。

確かめに、元の2数を引くと、√13 が消えて √3 + √3 = 2√3 です。その二乗は12となり、求めた差の二乗に戻ります。また、32 + 2・10 = 52 は和 2√13 の二乗です。差の符号を見ずに -2√3 と答えると、二乗は合っていても元の差には戻りません。

この例では差を直接計算するほうが早く求まります。それでも和と積を使うと、二乗の和と差の二乗を同じ材料から計算でき、さらに結果を突き合わせられます。必要な値によって道具を選ぶことが、計算量を減らすコツです。

誤答を追って直す

u = 2 + √6、v = 2 − √6 とし、u² + v² を求める場面を考えます。誤って uv = 4 + 6 = 10 とした後、和が4だから u² + v² = 4² − 2・10 = -4 とする答案を見てみましょう。二乗の和が負になっているので、結果に戻って点検が必要です。

図3のように積は和と差の積です。交差項が消えた後には、後ろの項の二乗が引かれます。√6 は実数で、その二乗は6なので、正しい積は次の通りです。

uv = (2 + √6)(2 - √6)
   = 2² - (√6)²
   = 4 - 6
   = -2
u² + v² = (u + v)² - 2uv
         = 4² - 2・(-2)
         = 20

図3の積 -2 を括弧ごと代入すると、引く負の数が加算になることも見えます。直接計算すれば u² = 10 + 4√6、v² = 10 − 4√6 であり、和は20です。積が負なのは、√6 が2より大きく、v が負だからとも確かめられます。両方が正であると思い込まず、元の2数の符号まで戻ります。

別の誤りは、u² + v² を (u + v)² とすることです。後者には交差項 2uv が含まれます。この例では交差項が -4 なので、和の二乗16から -4 を引いて20になります。交差項が0になる特別な場合を除き、両者を同じものとして扱えません。

練習：先に何を計算するか

次の5問は、答えの形を指定しています。根号があるときは簡単にし、分母があるときは定義されるかを先に調べてください。

x = 4 + √3、y = 4 − √3 のとき、x² + y² を整数で求めてください。
a = √11 + 1、b = √11 − 1 のとき、1/a + 1/b を根号を使って求めてください。
c = 1 + √8、d = 1 − √8 のとき、cd と c² + d² を整数で求めてください。
m = √17 + √2、n = √17 − √2 のとき、(m − n)² と m − n をそれぞれ整数、根号を使う形で求めてください。
実数 r、s は r + s = 5、rs = -6 を満たします。r² + s² と (r − s)² を整数で求めてください。

練習の解答と道筋

和は x + y = 8、積は xy = 4² − (√3)² = 13 です。したがって x² + y² = 8² − 2・13 = 38 です。元の2数を二乗すると 19 + 8√3 と 19 − 8√3 になり、その和も38です。
√11 は1に等しくないので a、b はどちらも0ではありません。和は 2√11、積は11 − 1 = 10 です。通分して 1/a + 1/b = 2√11/10 = √11/5 です。この答えに元の積10を掛けると元の和 2√11 が得られます。
和は2、積は cd = 1 − 8 = -7 です。よって c² + d² = 2² − 2・(-7) = 18 です。直接二乗した 9 + 2√8 と 9 − 2√8 の和も18です。積が負でも二乗の和を求める式は変わりません。
和は 2√17、積は17 − 2 = 15 です。(m − n)² = (2√17)² − 4・15 = 68 − 60 = 8 です。元の差は正なので m − n = √8 = 2√2 です。元の式から直接引いても 2√2 となり、その二乗は8です。
r² + s² = (r + s)² − 2rs = 25 − 2・(-6) = 37 です。また (r − s)² = (r + s)² − 4rs = 25 − 4・(-6) = 49 です。例えば r = 6、s = -1 は和5、積-6という元の条件を満たし、二乗の和37、差の二乗49も得られます。これは計算の照合であり、任意の条件を満たす2数についての根拠は前の等式です。