高校数学I 分母の有理化—共役な式を掛ける理由と分母の条件を確かめる｜武蔵野個別指導塾

単項と二項の分母を例に、共役な式を掛ける根拠と文字を含む分母の例外をたどり、有理化の判断力を磨きます。

よくあるのは、高1の自習で分母の根号を消そうとして、分母だけに根号を掛ける場面です。見た目は整っても、分数の値は変わってしまいます。分母と分子に同じ0でない数を掛けることは、値が1の数を掛けることです。この区別を出発点に、単項の分母から二項の分母へ進み、文字がある場合に操作できない条件まで追います。

要点（結論から）

• 分母と分子に同じ0でない数を掛け、分数の値を保ちます。
• 単項の根号は同じ根号、二項は共役な式が候補です。
• 根号の条件、元の分母、掛ける式の順に確認します。

どの形で問われるか

1つ目は、分母が √5 のような単項である形です。同じ √5 を分母と分子に掛けると、分母は5になります。ただし、分子に生じた係数と分母に共通因数があれば、最後に約分します。根号を消す操作と、分数を簡単にする操作は別の段階です。

2つ目は、分母が 3 + √2 のような二項である形です。足し算の途中に根号があっても、3 − √2 を掛ければ、和と差の積によって交差する項が消えます。分母の符号を両方変えるのではなく、2項の間の符号を変えた式を選びます。

3つ目は、分母に文字があり、使える値を調べながら変形する形です。元の分母が0のとき、分数は定義されません。また、掛けようとする式が0なら、それを分母と分子に掛ける操作もできません。文字の条件を後から思い出すのではなく、最初に書き留めます。

値を保つ操作と共役な式

分母 b が0でない分数 a/b について、0でない数 c を選ぶと、(a・c)/(b・c) = a/b です。c/c = 1 なので、元の値を1倍しているからです。c = 0 では c/c が定義されず、分母も0になるため、この説明は使えません。分子だけ、または分母だけに c を掛ける操作とも区別してください。

根号 √a は、a が0以上のときに定義される、二乗すると a になる0以上の数です。したがって a が正なら √a も正で、√a・√a = a です。a = 0 のとき √a は0なので、分母に √a がある式は初めから定義されません。根号の中が0以上という条件と、分母が0でないという条件は、同じではありません。

実数 A、B に対し、A + B と A − B の積は、分配法則から A² − B² です。真ん中に現れる -AB と +AB が打ち消し合います。この2つの式を、ここでは互いに共役な式と呼びます。たとえば 3 + √2 に対して 3 − √2 を掛けると、分母は 3² − (√2)² = 7 です。和を二乗するのではないため、中項を残す必要はありません。

図1のように、掛ける前に元の分母と掛ける式の両方が0でないかを見ます。二項の分母では、共役な式を掛けた後の差が0でないことも、2つの条件の確認につながります。

図1の2つの確認は、文字がない場合も省略しない習慣にすると役立ちます。たとえば √2 − √2 は0なので、これを分母に持つ分数は扱えません。逆に、分母が正でも、掛ける候補が0ならその候補は使えません。0で割らないことは、計算結果を元に戻すための前提です。

基本例題：単項の分母

例題1　6/√8 を分母に根号を含まない形にし、約分してください。

√8 は正です。したがって元の分母は0ではなく、掛ける √8 も0ではありません。図2のように、分母と分子へ同じ数を掛けます。

6/√8 = (6・√8)/(√8・√8)
       = 6√8/8
       = 3√8/4
       = 3・2√2/4
       = 3√2/2

1行目は √8/√8 = 1 を掛けた変形です。2行目は √8 の二乗が8であること、3行目は6と8の公約数2による約分です。√8 = 2√2 は、両辺が0以上で、右辺の二乗が8になることから得られます。最後に2を約分して答えを得ます。

図2の答えを元に戻すには、3√2/2 に √8 を掛けます。√8 = 2√2 より積は (3√2/2)・2√2 = 6 となり、元の分子に一致します。分母だけを √8 倍した 6/8 は、この確認で √8 を掛けても6に戻りません。

別の進め方として、先に √8 = 2√2 として 6/√8 = 3/√2 とし、その後 √2 を掛けても同じ結果です。先に平方因子を取り出すと数が小さくなることがあります。どちらの順序でも、分子と分母の両方を変える点は共通です。

標準例題：差の積で根号を消す

例題2　4/(3 + √5) を分母に根号を含まない形にし、約分してください。

√5 は定義され、0以上です。3 + √5 は正なので元の分母は0ではありません。さらに 3² = 9、(√5)² = 5 であり、3 と √5 は等しくありません。よって掛ける 3 − √5 も0ではありません。

4/(3 + √5) = 4(3 - √5)/((3 + √5)(3 - √5))
             = 4(3 - √5)/(9 - 5)
             = 4(3 - √5)/4
             = 3 - √5

2行目では和と差の積を使い、3√5 の正負の項が消えます。3行目で分母を4と計算し、最後に4を約分しました。答えを元の分母に掛けると、(3 − √5)(3 + √5) = 9 − 5 = 4 となり、元の分子に戻ります。

ここで 3 + √5 をもう一度掛ける方法を選ぶと、分母は 14 + 6√5 です。値を保つ操作ではありますが、根号の項が残るため、この形の有理化には向きません。両方の符号を変えた -3 − √5 を掛けても同様に根号は残ります。どの項が打ち消されるかを展開して見てから、掛ける式を決めます。

分母が √5 − 3 のように逆順の場合も、共役な式を √5 + 3 と取れます。その積は5 − 9 = -4です。負の分母が出ること自体は誤りではありませんが、分子と分母の符号を同時に変えれば、答えを読みやすくできます。引き算の順序を途中で入れ替えると符号が変わるため、積の順序と差の順序をそろえます。

発展例題：文字と例外を同時に追う

例題3　実数 x について、1/(√x − 2) を分母に根号を含まない形にしてください。元の式が定義される x の範囲も示します。

まず √x が実数として定義される条件は x ≥ 0 です。さらに分母が0でないためには √x ≠ 2 が必要です。両辺は0以上なので、これは x ≠ 4 と同じです。元の式の範囲は x ≥ 0 かつ x ≠ 4 です。

掛ける候補は √x + 2 です。x ≥ 0 では √x ≥ 0 なので、√x + 2 は正であり、0ではありません。この確認を済ませてから変形します。

1/(√x - 2) = (√x + 2)/((√x - 2)(√x + 2))
             = (√x + 2)/(x - 4)

分母 x − 4 が0になる x = 4 は、元の分母が0になる値として既に除いてあります。x = 0 は除かれません。実際、元の値は -1/2 で、変形後も 2/(-4) = -1/2 です。x = 9 では元の値が1、変形後も5/5 = 1です。どちらも元の範囲内であり、変形の向きを検査できます。

一方、x = -1 では実数の範囲で √x が定義されません。x = 4 では根号は定義されますが、元の分母が0です。この2種類の失敗は理由が違います。変形後の式に数を入れる前に元の式の範囲を見れば、分母0を隠したまま答えることを防げます。

掛ける式が0になる例も考えます。1/(√x + 2) に対し、共役な √x − 2 を使うと、x = 4 で掛ける式が0になります。元の式は x = 4 でも 1/4 と定義されるので、この値を元の範囲から消してはいけません。有理化した (√x − 2)/(x − 4) は x ≥ 0 かつ x ≠ 4 で使い、x = 4 は元の値 1/4 を別に扱います。式変形の途中で新しい除外が生じることと、元の式が定義されないことは別です。

誤答を診断する

例題1で 6/√8 = 6/8 と書く誤答を考えます。分母だけを √8 倍したため、元の分数を √8 で割った値になっています。等号を置くには左右の値が同じでなければなりません。分母が8になったところだけを見ても、等号が正しいかは判定できません。

図3のように、正しい操作では分子も √8 倍します。分母の8と分子の6√8がそろって初めて、同じ数を掛けたことになります。その後の約分で 3√2/2 になります。

図3の誤答は、元の分母を掛けて元の分子に戻るかでも点検できます。6/8 に √8 を掛けた値は 6√8/8 で、6ではありません。修正後の 3√2/2 なら √8 を掛けて6になります。元の条件へ戻す検算は、答えの見た目が整っていても失敗を見つける方法です。

もう1つの誤りは、1/(2 − √3) の分母と分子に 2 + √3 を掛けた後、分子を1のままにすることです。正しくは分子も 2 + √3 となり、分母は4 − 3 = 1です。結果は 2 + √3 です。元の分母を掛けると1に戻ることまで確かめます。

約分と定義域の関係をもう一度見る

有理化の途中で分子と分母に同じ式が現れると、約分したくなります。その式が数なら0でないことを確認し、文字を含むなら0になる値を調べます。約分は0でない共通因子で割る操作だからです。因子が0になる値を、約分後の式に代入できるという理由だけで元の式へ戻してはいけません。

たとえば分子が x − 4、分母が √x − 2 の分数では、x ≥ 0 かつ x ≠ 4 が元の条件です。x − 4 = (√x − 2)(√x + 2) と分解して約分すると √x + 2 ですが、この答えは元の条件の下での値です。x = 4 に代入すると右側は4になりますが、元の左側は0/0で定義されません。式が短くなるほど、条件を答えの近くに残しておく必要があります。

反対に、操作の途中で除外した値が元の式では使える場合は、その値を別に計算します。例題3の後半で x = 4 を別に扱ったのはそのためです。元の式の条件と、選んだ方法の条件を混ぜずに書けば、使える値を失わずに済みます。

練習問題

次の各問は実数の範囲で考え、分母に根号を含まない形で答えてください。約分できる場合は約分します。文字を含む問は、元の式が定義される範囲も示してください。

1. 10/√20 を有理化してください。
2. 3/(√7 + 2) を有理化してください。
3. 2/(√6 − √2) を有理化してください。
4. 1/(√t + 3) を有理化し、変形後の式が使えない元の定義域内の値があれば、その値での元の式の値も示してください。
5. a を実数として、(a − 1)/(√a − 1) を有理化し、元の定義域を示してください。

練習問題の解答と解き方

1. √20 は正なので、分母と分子に √20 を掛けられます。10√20/20 = √20/2 = √5 です。答えに元の分母を掛けると √5・√20 = √100 = 10 となり、元の分子に戻ります。先に √20 = 2√5 とする方法でも同じです。

2. √7 + 2 は正です。また √7 と2は、二乗が7と4で異なるため等しくなく、√7 − 2 は0ではありません。共役な式を掛けると、3(√7 − 2)/(7 − 4) = √7 − 2 です。答えと元の分母の積は7 − 4 = 3です。分母の差が3なので、分子の係数3を約分できます。

3. √6 と √2 はともに正で、二乗が異なるため差は0ではありません。和 √6 + √2 も正です。共役な式を掛けると、2(√6 + √2)/(6 − 2) = (√6 + √2)/2 です。元の分母を掛けた積は (6 − 2)/2 = 2となり、元の分子に戻ります。分母の2項がともに根号でも、二乗の差を使えます。

4. 元の分母 √t + 3 は t ≥ 0 で正ですから、元の定義域は t ≥ 0 です。共役な √t − 3 は t = 9 で0になるため、その操作は t ≠ 9 に限ります。その範囲では (√t − 3)/(t − 9) です。t = 9 では元の式は 1/6 です。たとえば t = 0 で変形後は (-3)/(-9) = 1/3 となり、元の値と一致します。t = -1 では実数の根号が定義されません。

5. 根号の条件は a ≥ 0、分母の条件は √a ≠ 1、すなわち a ≠ 1 です。√a + 1 はこの範囲で正ですから、(a − 1)(√a + 1)/(a − 1) = √a + 1 です。約分には a − 1 ≠ 0 が必要で、その条件は既に満たされています。a = 1 を最後の式に代入することはできますが、元の式には代入できません。a = 0 では元の値は1、答えも1です。a = 4 では元の値は3、答えも3です。

要点

• 分母と分子に同じ0でない数を掛け、分数の値を保ちます。
• 単項の根号は同じ根号、二項は共役な式が候補です。
• 根号の条件、元の分母、掛ける式の順に確認します。
• 約分後も元の定義域を保ち、答えを元の式へ戻します。

どこで止まったかを見分ける

分母だけが変わっているなら、等しい値を保つ操作の意味から確認します。二項の符号を選べないなら、和と差の積を展開し、交差する項に印を付けます。文字がある式では、元の式に入れられる値と、途中の操作に使える値を別々に書けるかが手掛かりです。個別指導では、途中式の隣に「なぜ0でないか」を説明してもらい、除外した値を元の式へ戻して検討します。等号の両側が同じ値を表すことが、有理化の道筋を支えます。