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高校数学I 平方根と絶対値—二乗から戻すときの符号を条件から決める｜武蔵野個別指導塾

公開 2026.11.12更新 2026.11.12武蔵野個別指導塾の特徴高校数学I 数と式・集合と命題深掘り

負の文字の二乗や境界で変わる式を例に、符号で選ぶ平方根です。

高1の自習で、a が負なのに √(a²) をそのまま a とする場面があります。たとえば負の数を二乗すると正になりますが、根号が表すのはその正の数の平方根のうち負でない方です。二乗する前の符号は失われるため、元の文字へ戻すには符号の確認が必要です。0 も含めて考え、どの条件でどの式になるかを確かめましょう。

どの形で問われるか

まず、数の二乗を根号から出す計算があります。√((-5)²) は -5 ではありません。二乗の後に主役となるのは、平方が 25 になる負でない数です。負の数を代入してみると、符号を落とした計算の誤りを見つけやすくなります。

次に、文字の範囲を与え、√(a²) や √((a − b)²) を根号と絶対値のない式にする問題があります。a の符号と a − b の符号は別です。条件が a < 0 でも、b の値次第で a − b の符号は決まりません。根号の中で二乗されている式をひとかたまりとして、その値の符号を調べます。

さらに、複数の根号を含む式を、境界ごとに場合分けする問題があります。境界は文字そのものが 0 になる場所とは限りません。各括弧が 0 になる値を並べ、その間で符号を判定します。境界の等号をどちらに入れるかも、答えに隙間を作らないための作業です。

平方根から絶対値へ

実数 c の平方根とは、二乗すると c になる数です。c が正なら平方根は正と負の 2 個で、負でない方を √c、もう一方を -√c と表します。0 の平方根は 0 です。負の数には実数の平方根がありません。記号 √c は、c が 0 以上のときの負でない平方根を表します。

ここで「25 の平方根」と「√25」は違います。前者は 5 と -5 の両方、後者は 5 です。平方根をすべて求める問いなら、正の値だけを書いて終わらないようにします。一方、根号そのものには最初から負でない方という約束があります。

実数 a の絶対値 |a| は、a が 0 以上なら a、a が負なら -a です。これは数直線上で 0 から a までの距離にも当たり、負になりません。a = 0 のときは |a| = 0 です。負の a に対する -a は正ですから、マイナス記号が前にあるという見た目だけで負とは決められません。

図1のように、a と -a はどちらも二乗すると a² になります。そのうち負でない数が |a| です。実際、|a|² = a² であり、|a| は 0 以上です。したがって平方根の記号の定義から、すべての実数 a について √(a²) = |a| です。根号の中の a² は必ず 0 以上なので、式は実数の範囲で定義されています。

図1の関係は、a が正でも負でも 0 でも成立します。ただし √(a²) = a と書けるのは a が 0 以上の場合です。a が負なら √(a²) = -a です。逆に (√c)² = c は c が 0 以上のときに成り立ちます。二乗と根号の順序が違うため、二つの式を同じ形として覚えないようにしましょう。

括弧の中身を A と置けば、√(A²) = |A| も同じ理由で成り立ちます。A が 0 以上か負かを先に決めると、絶対値を外せます。A = 0 はどちらの式でも値が 0 ですが、場合分けの条件では片方に含めて、範囲を重複なく覆うと整理しやすくなります。

基本例題：負の条件から取り出す

例題1　実数 a が -4 < a < 0 を満たすとき、√(a²) + √((a + 4)²) を、根号と絶対値を使わない式で表してください。

まず a² と (a + 4)² は実数の二乗なので、どちらも 0 以上です。したがって両方の根号は定義されます。条件から a は負、a + 4 は正です。図2のように、符号を決める基準はそれぞれ 0 と -4 です。

図2で a は -4 と 0 の間にあります。各括弧を絶対値にしてから、個別に符号を使います。

√(a²) + √((a + 4)²)
= |a| + |a + 4|            二乗の平方根は絶対値
= -a + (a + 4)             a < 0、a + 4 > 0
= 4                         同類項をまとめる

答えは 4 です。途中で √(a²) を a とすると 2a + 4 となり、条件を満たす a = -1 でも 2 になってしまいます。元の式に a = -1 を入れると √1 + √9 = 4 です。元の条件と式の両方に戻すことが、符号の誤りを見つける検算になります。

この結果が一定なのは偶然の消去ではありません。|a| は a から 0 までの距離、|a + 4| は a から -4 までの距離です。a が両点の間にあるので、二つの距離の和は端点間の距離 4 になります。ただし、この見方も a が間にあるという条件に依存します。範囲の外では距離の和を同じ 4 としてはいけません。

標準例題：境界を順に置く

例題2　実数 x について、√((x − 2)²) + √((x + 1)²) を、x の範囲に応じて根号と絶対値を使わない式で表してください。

両方の根号の中は実数の二乗であり、すべての実数 x で 0 以上です。まず次のように直します。

√((x - 2)²) + √((x + 1)²)
= |x - 2| + |x + 1|       二乗の平方根の性質

符号が変わる候補は x − 2 = 0 と x + 1 = 0、すなわち 2 と -1 です。小さい順に並べると、x < -1、-1 ≤ x < 2、2 ≤ x の 3 区間に分かれます。0 になった括弧は正負のどちらの式に入れても同じ値ですが、ここでは右側の区間に入れます。

x < -1 のとき、x − 2 < 0、x + 1 < 0 です。したがって、

|x - 2| + |x + 1|
= -(x - 2) - (x + 1)      両方の中身が負
= -2x + 1                  括弧を外して整理

-1 ≤ x < 2 のとき、x − 2 < 0、x + 1 ≥ 0 です。したがって、

|x - 2| + |x + 1|
= -(x - 2) + (x + 1)      左の中身は負、右は非負
= 3                        同類項をまとめる

2 ≤ x のとき、両方の中身が 0 以上です。したがって、

|x - 2| + |x + 1|
= (x - 2) + (x + 1)       両方の中身が非負
= 2x - 1                   同類項をまとめる

答えは、x < -1 で -2x + 1、-1 ≤ x < 2 で 3、2 ≤ x で 2x − 1 です。境界 x = -1 では元の式が √9 + √0 = 3、x = 2 では √0 + √9 = 3 です。各境界で採用した式にも戻り、3 と一致します。

範囲を x の正負だけで分ける方法では、同じ正の範囲に x = 1 と x = 3 が入り、x − 2 の符号が変わります。各絶対値の中身が 0 になる点を基準にするのが必要です。また、境界を含まない 3 区間だけを書くと、-1 と 2 の答えが欠けます。0 のときを見落とさず、最後に全実数を覆っているかを点検します。

発展例題：文字の大小と差の符号

例題3　実数 p, q が p < q を満たすとき、√((t − p)²) − √((t − q)²) を、実数 t の範囲に応じて根号と絶対値を使わない式で表してください。境界を含めて答えてください。

p と q の具体的な符号は与えられていません。それでも p < q により、境界の順序は決まっています。二つの根号の中は二乗なので 0 以上です。絶対値に直して、t < p、p ≤ t < q、q ≤ t に分けます。

√((t - p)²) - √((t - q)²)
= |t - p| - |t - q|       二乗の平方根の性質

まず t < p なら、p < q なので t − p < 0、t − q < 0 です。

|t - p| - |t - q|
= -(t - p) - {-(t - q)}   二つの中身が負
= -t + p + t - q           後ろの負号も配る
= p - q                     同類項をまとめる

次に p ≤ t < q なら、t − p ≥ 0、t − q < 0 です。

|t - p| - |t - q|
= (t - p) - {-(t - q)}    中身の符号をそれぞれ使う
= t - p + t - q            括弧を外す
= 2t - p - q               同類項をまとめる

最後に q ≤ t なら、p < q より両方の中身が 0 以上です。

|t - p| - |t - q|
= (t - p) - (t - q)       両方の中身が非負
= q - p                     負号を配って整理

よって答えは t < p で p − q、p ≤ t < q で 2t − p − q、q ≤ t で q − p です。t = p を元の式に戻すと 0 − (q − p) = p − q、t = q では (q − p) − 0 = q − p です。答えの式もそれぞれ同じ値です。

引き算では、後ろの絶対値を外した後にも引き算の符号が残ります。特に中身が負なら「負の式を引く」ため、二重の負号を丁寧に処理します。p < q がなければ境界の並びを決められず、p = q や p > q も別に考える必要があります。与えられた大小条件が、場合分けの根拠になっています。

誤答を符号から直す

図3のように、a < 0 という条件で √(a²) = a とした答えを考えます。a = -3 を代入すると、左辺は √9 = 3、右辺は -3 です。条件を満たす値で左右が一致しないので、この等式は成立しません。

図3では、二乗によって元の負号が消えた後、根号が負でない平方根を選んでいます。誤りの原因は、二乗する操作が符号を区別できないことを忘れた点です。正しい流れは √(a²) = |a| と置き、a < 0 から |a| = -a とすることです。a = -3 では -a = 3 となり、元の式と一致します。

もう一つの誤りは、√(a²) = ±a とすることです。正の数の平方根をすべて求める場面では正負の 2 個が必要ですが、√ で表された値は負でない 1 個です。a が負のとき ±a は 2 つの数を表し、左辺の 1 つの値と対応しません。求められているのが平方根の集合なのか、根号を含む式の値なのかを読み分けます。

また √((a − 6)²) を |a| − 6 とするのも誤りです。絶対値に入るのは二乗されている括弧全体です。たとえば a = 2 なら元の式は 4 ですが、|a| − 6 は -4 です。正しくは |a − 6| であり、a − 6 の符号を調べます。計算の途中で括弧を落とさないことが修正の第一歩です。

練習問題

次の5問は、いずれも文字を実数とします。式を指定の形で答え、必要な場合は境界も含めてください。

49 の平方根をすべて求め、整数で答えてください。また √49 を整数で答えてください。
-7 < a < 0 のとき、√(a²) + √((a + 7)²) を根号と絶対値のない式で表してください。
1 < b < 6 のとき、√((b − 1)²) − √((b − 6)²) を根号と絶対値のない式で表してください。
実数 x に対し、√((x + 3)²) + √((x − 1)²) を場合分けし、根号と絶対値のない式で表してください。
実数 y に対し、√((2y − 4)²) − √((y + 2)²) を場合分けし、根号と絶対値のない式で表してください。

練習問題の解答と解き方

答えは平方根が 7 と -7、√49 が 7 です。7² = 49、(-7)² = 49 です。49 は正なので平方根はこの正負の 2 個で、根号は負でない 7 を選びます。平方根をすべて求める問いと、根号の値を求める問いを区別します。
二乗された部分はいずれも 0 以上です。条件から a < 0、a + 7 > 0 なので、

√(a²) + √((a + 7)²)
= |a| + |a + 7|           二乗の平方根を直す
= -a + a + 7              各中身の符号を使う
= 7                        整理する

答えは 7 です。たとえば条件を満たす a = -2 では、元の式は √4 + √25 = 7 です。-7 と 0 の間にある点から両端までの距離の和としても 7 に戻ります。

条件から b − 1 > 0、b − 6 < 0 です。両根号の中は二乗なので定義されます。

√((b - 1)²) - √((b - 6)²)
= |b - 1| - |b - 6|       二乗の平方根を直す
= (b - 1) - (6 - b)       中身の符号を使う
= 2b - 7                   後ろの括弧に負号を配る

答えは 2b − 7 です。b = 4 は条件を満たし、元の式は √9 − √4 = 1、答えの式も 1 です。差を取っているので、距離の和のように一定になるとは限りません。

答えは x < -3 で -2x − 2、-3 ≤ x < 1 で 4、1 ≤ x で 2x + 2 です。各根号の中は二乗で 0 以上です。|x + 3| + |x − 1| と直し、境界 -3、1 で分けます。

x < -3:       -(x + 3) - (x - 1) = -2x - 2
-3 ≤ x < 1:  (x + 3) - (x - 1) = 4
1 ≤ x:        (x + 3) + (x - 1) = 2x + 2

境界 -3 と 1 を元の式に戻すと、いずれも 4 です。外側で x = -4 と x = 2 を試すと元の式はいずれも 6 で、対応する答えの式とも一致します。これらの代入は検算であり、区間全体の式は各中身の符号から導いています。

答えは y < -2 で -y + 6、-2 ≤ y < 2 で -3y + 2、2 ≤ y で y − 6 です。二乗の中身はそれぞれ 0 以上です。|2y − 4| − |y + 2| に直すと、境界は 2 と -2 です。

y < -2:       -(2y - 4) - {-(y + 2)} = -y + 6
-2 ≤ y < 2:  -(2y - 4) - (y + 2) = -3y + 2
2 ≤ y:        (2y - 4) - (y + 2) = y - 6

y = -2 では元の式は √64 − √0 = 8、y = 2 では √0 − √16 = -4 です。各境界を含む答えの式もそれぞれ 8、-4 です。y = -3、0、3 を元の式に戻すと順に 9、2、-3 となり、各区間の式と一致します。根号の差は負にもなり得ますが、個々の根号の値は負になりません。