高校数学I 因数分解の組分け—項の並べ替えと置き換えで共通の形を見つける｜武蔵野個別指導塾

四項の組を替えたり負号をくくったりして同じ括弧を作り、置き換えた式を戻して積を確かめる手順を扱います。

よくあるのは、高1の自習で四項の最初の二項をまとめたものの、残りの二項との接点が見つからず、先に進めない場面です。そこで式を見直すと、項を別の順に並べれば同じ括弧が現れることがあります。括弧が現れても符号が逆なら、そのまま共通因数として扱えません。何を組にし、どの符号でくくるかを確かめながら、積の形へ進みます。

要点（結論から）

• 項の符号を保ったまま組を変え、各組からくくった後の括弧を比べます。
• 括弧の向きが逆なら、負号を外へ出して全項の符号を変えます。
• 繰り返す式を一文字に置いたら、因数分解後に元の式へ戻します。

組分けが役立つ場面

因数分解は、和や差で表された整式を、整式の積の形に直すことです。四項に共通する文字がなくても、二項ずつには共通因数があり、くくった後の括弧が一致する場合があります。その括弧をさらにくくり出せば、一つの積になります。

出方は大きく3つあります。四項を二項ずつ組にする型、片方から負の数や負の文字をくくって括弧の向きをそろえる型、繰り返される式を一文字に置き、二次式として見る型です。いずれも、元の式の各項と符号を失わず、最後に展開して戻るかを確かめます。

最初の組で進めないことは、式全体が因数分解できない証拠ではありません。別の組を調べる際は、各項の直前の符号も項と一緒に動かします。負号を移し忘れると、別の式に変わるからです。一方、どんな四項でも目的の形に分けられるわけではありません。括弧がそろわなければ、その組分けは採用せず、別の組や別の方法を考えます。

二段階で共通の形を作る

分配法則 A(B + C) = AB + AC は、逆向きに使うと AB + AC = A(B + C) です。四項の組分けでは、この逆向きの操作を二度使います。まず各組から因数をくくり、次に両方に現れた同じ括弧をくくります。A、B、C は数だけでなく整式でも構いません。

図1のように、ax + ay + bx + by では、前の二項と後ろの二項からそれぞれ a と b をくくると、共通の括弧 x + y が残ります。文字の値に条件を付けずに成り立つ等式です。割り算で文字を消す操作はしていないので、a や b が 0 でも等式は成立します。

図1の共通部分は文字1個とは限らず、x + y という式全体です。a(x + y) + b(x + y) は (a + b)(x + y) になります。二つの括弧が同じかどうかは、各項の符号まで見て判定します。例えば x − y と y − x は同じ式ではありませんが、y − x = -(x − y) なので、負号を外へ出せばそろいます。

組を選ぶときは、最初に見える順番を固定しません。四項を二組に分ける組合せは、組の前後を区別しなければ3通りです。それぞれについて、組の中でくくれるものと、残る括弧を比べます。共通因数が見つかっても、残る括弧が異なれば次のくくり出しには進めません。

また、同じ長い式が何度も現れる場合には、その式全体を A などに置くと見通しが立ちます。A の二次式を因数分解した後、必ず元の式に戻します。置き換えは等式を見やすくする記号の変更であり、A を文字とみなした因数分解が終点ではありません。戻した括弧の中にさらに因数分解できる部分がないかも調べます。

組を選ぶときの点検順

四項を見たら、まず各項に含まれる文字と数の係数を確かめます。二項から文字をくくれる組があれば、残る二項も同じ形の括弧になるか試します。たとえば一方に x + 2 が残り、もう一方に x − 2 が残ったときは、定数の符号が異なるため、そのまま共通因数にはできません。無理にまとめず、組を変えるか、くくる符号を点検します。

負号を変えれば何でもそろうわけでもありません。x + 2 に -1 を掛けると -x − 2 であり、x − 2 にはなりません。括弧全体が同じか、または全項の符号が逆かを調べます。最初の項だけを見て判断すると、定数の違いを見落とします。

置き換えでも、似た形と同じ形は区別します。x + 2 と x − 2 を同じ文字に置いてはいけません。置いた後の計算が正しくても、元の式との対応が崩れるからです。置いた文字の式を書き添え、最後に代入して戻せば、この対応を確認できます。

基本例題：並べ替えて括弧をそろえる

例題1：次の式を整数係数の整式の積に因数分解してください。

3x + 2y + 3y + 2x

まず、書かれた順のまま前後を組にすると、3x + 2y と 3y + 2x です。各組から共通の文字をくくれず、そのままでは同じ括弧を作れません。そこで 3 を含む項と 2 を含む項を集めます。図2のように、各項の符号を保って順を変えます。

3x + 2y + 3y + 2x
= 3x + 3y + 2x + 2y
= 3(x + y) + 2(x + y)
= (3 + 2)(x + y)
= 5(x + y)

1行目から2行目は、和の順序を変えました。次は各組で分配法則を逆に使い、4行目では共通する x + y をくくりました。最後に係数を足しています。図2の2組にはそれぞれ元の2項が入り、重複や脱落はありません。

検算では答えを展開して 5x + 5y とします。元の式も x の係数が 3 + 2 = 5、y の係数が 2 + 3 = 5 ですから一致します。この例では同類項を先にまとめても解けますが、組を作って共通の括弧を見つける練習として、二段階のくくり出しを明示しました。係数を足す前に片方の括弧を落とすと一致しないため、元の各項に戻して確認します。

標準例題：負号で括弧の向きをそろえる

例題2：次の式を整数係数の整式の積に因数分解してください。

6ab - 9a + 4b - 6

前の二項から 3a、後ろの二項から 2 をくくると、どちらも 2b − 3 が残ります。後ろの定数が負であることも、共通の括弧を作る手掛かりです。

6ab - 9a + 4b - 6
= 3a(2b - 3) + 2(2b - 3)
= (3a + 2)(2b - 3)

最初の等号は各組に分配法則を逆に使いました。次の等号では 2b − 3 全体を共通因数として扱っています。展開すると 6ab − 9a + 4b − 6 で、ab、a、b、定数の係数が元に戻ります。例えば最初と3番目の項を組にしても 2b(3a + 2)、残りは -3(3a + 2) となり、同じ答えに到達します。

ここで負号をくくる練習もしておきます。例えば後ろの組が 6 − 4b なら、2(3 − 2b) と書けますが、その括弧は 2b − 3 と逆向きです。-2(2b − 3) と書き直せば、前の組と同じ括弧になります。符号をそろえる操作には、括弧内の全項の符号を反転させる必要があります。

一方、括弧の最初の項だけが一致しても、残りが違えば共通因数ではありません。2b − 3 と 2b + 3 を同じものとしてくくると、定数項の符号が変わります。各組を一度展開して戻し、その後に共通の括弧をくくるという順にすると、誤りの位置を分けて調べられます。

発展例題：繰り返す二項式を置く

例題3：次の式を整数係数の整式の積に因数分解してください。

(x + 2y)² - 7(x + 2y) + 12

繰り返される x + 2y を A と置きます。すると A² − 7A + 12 です。積が 12、和が -7 となる整数は -3 と -4 なので、二次式の中項を分けて組分けします。

A² - 7A + 12
= A² - 3A - 4A + 12
= A(A - 3) - 4(A - 3)
= (A - 4)(A - 3)
= (x + 2y - 4)(x + 2y - 3)

中項を -3A − 4A と分けても係数の和は -7 です。3行目の後ろの組では -4 をくくるため、括弧内は A − 3 です。置き換えを戻した答えを展開すると、(x + 2y)² − 7(x + 2y) + 12 に戻ります。A の係数と定数を確かめた後、A の中身も戻したことを確認します。

積が 12 になる組でも、2 と 6 は和が 8 で、-2 と -6 は和が -8 です。積だけ合う組を採用すると中項が違います。候補が合わないときは、積と和の両方を確かめ直します。整数の組が見つからない場合にも、見つかったかのように決めつけず、その範囲での方法を立ち止まって見直します。

誤答をほどいて直す

次の式で、負号をくくった結果を比べます。

5p - 5q - 2p + 2q
誤り: 5(p - q) - 2(p + q)

図3のように、誤った後半を展開すると -2p − 2q です。元の後半は -2p + 2q なので、q の係数が一致しません。前半が正しくても後半を誤れば、全体の等式は成立しません。

正しくは、-2 を掛けて -2p と +2q が戻るように、括弧内を p − q とします。図3の正しい組では、括弧の両方の項を展開して元に戻せます。

5p - 5q - 2p + 2q
= 5(p - q) - 2(p - q)
= (5 - 2)(p - q)
= 3(p - q)

最後に展開すると 3p − 3q です。元の式でも p の係数は 5 − 2 = 3、q の係数は -5 + 2 = -3 なので一致します。括弧の外に負号を置いたら、内側の各項に掛け戻す確認を欠かさないでください。

手を動かす5問

次の各式を整数係数の整式の積に因数分解してください。途中の組分けや置き換えも書き、答えを展開して元の式に戻してください。

1. 4mn + 8m + 3n + 6
2. 7uv − 14u − 3v + 6
3. 2rs + 5r − 6s − 15
4. (t + 3)² + 9(t + 3) + 20
5. (2x − y)² − (2x − y) − 20

5問の解答と確認

1. 前後の二項を組にします。

4mn + 8m + 3n + 6
= 4m(n + 2) + 3(n + 2)
= (4m + 3)(n + 2)

展開すると 4mn + 8m + 3n + 6 です。4つの係数と符号が元の条件に戻ります。例えば最初と最後を組にしても共通の文字は見えず、この組からは同じ括弧を作れません。

2. 後ろの組から負の数をくくります。

7uv - 14u - 3v + 6
= 7u(v - 2) - 3(v - 2)
= (7u - 3)(v - 2)

展開すると 7uv − 14u − 3v + 6 です。最後の +6 は (-3) と (-2) の積で戻ります。後ろを -3(v + 2) とすると定数が -6 になり、元の式に合いません。

3. 最初と3番目、2番目と4番目をそれぞれ組にします。

2rs + 5r - 6s - 15
= 2rs - 6s + 5r - 15
= 2s(r - 3) + 5(r - 3)
= (2s + 5)(r - 3)

展開すると 2rs − 6s + 5r − 15 となり、並べ替えれば問題の式です。最初の順で二項ずつ組にすると r(2s + 5) − 3(2s + 5) としても解けます。異なる組から同じ積に到達することもあります。

4. t + 3 = B と置き、積が 20、和が 9 となる 4 と 5 を使います。

B² + 9B + 20
= B² + 4B + 5B + 20
= B(B + 4) + 5(B + 4)
= (B + 5)(B + 4)
= (t + 8)(t + 7)

答えを展開すると t² + 15t + 56 です。問題の式も t² + 6t + 9 + 9t + 27 + 20 = t² + 15t + 56 です。置き換えを戻す際、括弧内の定数も足し合わせます。

5. 2x − y = C と置き、積が -20、和が -1 となる 4 と -5 を使います。

C² - C - 20
= C² + 4C - 5C - 20
= C(C + 4) - 5(C + 4)
= (C - 5)(C + 4)
= (2x - y - 5)(2x - y + 4)

答えを C の形で展開すると C² − C − 20 です。さらに C を 2x − y に戻せば問題の式になります。元の文字で展開しても 4x² − 4xy + y² − 2x + y − 20 となり、各係数が一致します。

因数分解した結果に数を代入しても、一部の符号の誤りを見逃すことがあります。文字に 0 を入れると消える項があるためです。展開して各係数を比較する確認は、特定の値に限らず式が一致することを示します。

要点

• 項の符号を保ったまま組を変え、各組からくくった後の括弧を比べます。
• 括弧の向きが逆なら、負号を外へ出して全項の符号を変えます。
• 繰り返す式を一文字に置いたら、因数分解後に元の式へ戻します。
• 積を展開し、元の各項の係数と符号を照合します。

どこで止まったかを見分ける

組を作れない場合は、各項に印を付け、どの項どうしなら同じ括弧を残せるかを口に出して比べます。括弧はそろうのに答えが違う場合は、各組を別々に展開し、負号を掛けた項を点検します。置き換えの後に元の文字へ戻せない場合は、置いた式を等号の横に残しておくと対応を追えます。

個別指導では、答えだけでなく、選んだ組と採用しなかった組の違い、展開して係数が戻る理由を確認します。項の符号を保って組を作ることが、因数分解の道筋を開きます。