高校数学I 共通因数のくくり出し—係数と文字の共通部分から積へ戻す｜武蔵野個別指導塾

くくり出した後に残る1と負号を、外側と内側の因数を掛け戻して点検する方法を示します。

高1の自習で、共通する文字を括弧の外へ出した後、括弧の中の定数1を書き忘れる場面があります。たとえば 7x + 7 から 7 を出すと、後ろの項にも 7 が掛かっていたことを残さなければなりません。因数分解は答えの形を整える作業であると同時に、元の和を同じ値の積に書き換える作業です。各項が外側の因数と内側の何の積だったかを追い、最後に展開して戻します。

どこに同じ因数が隠れているか

出方には少なくとも3つの型があります。第1に、数と文字の共通部分を探す型です。18x² と 12x なら、係数の共通部分と文字の共通部分を別々に調べます。第2に、負の数を外へ出し、括弧の中の符号を整える型です。負号を含む因数を選ぶと各項の符号が変わるので、最初の項だけを直して終えてはいけません。第3に、文字1個でなく括弧全体が繰り返される型です。括弧をひとまとまりと見て共通因数にします。

どの型でも、外側に出すものを選んだ後に、各項を外側と内側の積として復元します。共通因数が見つからないのに一部の項からだけ出すと、元の式とは別の式になります。また、積になったからといって終わりとは限りません。括弧内の各項にさらに共通部分があれば、通常はそこまでくくります。ここでは整数係数の整式を扱い、数と文字、括弧の共通部分に焦点を当てます。

分配法則を逆向きに読む

整式をいくつかの整式の積の形に表すことを因数分解といいます。その積を作るそれぞれの式を因数といいます。分配法則 A(B + C) = AB + AC は、左から右に読めば展開、右から左に読めば共通因数 A のくくり出しです。A、B、C は数でも文字を含む整式でも構いません。

図1のように、2つの項には同じ A が掛かっています。外側の A と内側の各項を掛け直すと、元の項へそれぞれ戻ります。引き算があるときも、AB − AC = A(B − C) と符号を含めて読みます。後ろの項が A そのものなら A = A・1 ですから、A を出した後は 1 が残ります。何も残らないと考えると、その項自体を消してしまいます。

数の係数については、整数係数を保つ範囲で各係数の最大公約数を選ぶと、後で数の因数が残りにくくなります。文字については、各項に共通して現れる文字を、最も小さい指数まで取り出します。ある項にその文字がなければ、指数0、つまりその文字の因数は1個もないと見ます。たとえば 6x²y と 9xy² と 3x では、共通する数は3、文字はxです。y は最後の項にないため外へ出せません。

負の共通因数を選ぶことも可能です。外側を負にしたときは、内側の各項を掛け直して符号を確認します。正の因数でも負の因数でも元の式に戻れば等式は成り立ちますが、先頭の項を正にしたい場合は負を選ぶと見通しがよくなります。外へ出す文字が0になる場合も、分配法則による等式は成立します。文字を含む式で割って等式の両辺を処理しているわけではないため、0を除外する必要はありません。

基本例題：残る1を消さない

次の式を整数係数の因数の積に因数分解してください。

14x² + 21x

係数14と21の最大公約数は7です。文字は両項にxがあり、小さい指数は1です。したがって共通因数として 7x を選びます。各項を積で表すと、図2の対応になります。

14x² + 21x
= 7x・2x + 7x・3
= 7x(2x + 3)

1行目から2行目は各項を 7x との積に分けました。2行目から3行目は分配法則を逆に使いました。展開すると 7x・2x + 7x・3 = 14x² + 21x です。x² の係数14と x の係数21が両方戻り、定数項が生じないことも確認できます。

同じ考えは 7x + 7x² にも使えますが、前の項が外側と一致するときの残りは1です。たとえば 5a + 5ab = 5a(1 + b) です。5a(0 + b) とすると最初の項が0になり、一般には元の式と一致しません。特定の文字の値で偶然一致しても、整式としての等式が正しいとは限らないことに注意します。

標準例題：負を外へ出す

次の式を、括弧内の先頭項の係数が正になるように、整数係数の因数の積に因数分解してください。

-18a²b + 12ab² - 6ab

係数の絶対値18、12、6の最大公約数は6です。各項に a と b が少なくとも1個ずつあります。先頭の負号も外へ出すため、共通因数を -6ab とします。各項をこの因数との積に分けます。

-18a²b + 12ab² - 6ab
= (-6ab)・3a + (-6ab)・(-2b) + (-6ab)・1
= -6ab(3a - 2b + 1)

第1項は負と正の積、第2項は負と負の積、第3項は外側と同じなので残りが1です。展開すると順に -18a²b、12ab²、-6ab が得られます。a²b、ab²、ab の係数と符号が元と一致します。a や b が0でも左右はともに0であり、この等式は成り立ちます。

6ab を外に出して 6ab(-3a + 2b − 1) とすることも、元の式と等しい因数分解です。ただし問題は括弧内の先頭係数を正と指定しているので、その形では指定を満たしません。等式として正しいかと、求められた形かは別々に点検します。-6ab(3a + 2b − 1) のように符号を一部しか変えなければ、第2項と第3項が元に戻りません。

発展例題：括弧そのものを因数にする

次の式を整数係数の因数の積に因数分解してください。

4x(x - 3) - 6(x - 3)

両項に共通するのは文字1個だけではありません。(x − 3) 全体が各項に掛かっています。この括弧をひとまとまりとして、分配法則を逆に読みます。

4x(x - 3) - 6(x - 3)
= (x - 3)(4x - 6)
= (x - 3)・2(2x - 3)
= 2(x - 3)(2x - 3)

2行目は (x − 3) を共通因数にしました。3行目は残った 4x − 6 に共通する2をくくり出し、4行目は積の順序を整えました。2行目で止めても元の式とは等しいですが、整数係数の共通因数2が残っています。

逆に戻して確認します。まず 2(2x − 3) = 4x − 6 です。これを (x − 3) に掛ければ 4x(x − 3) − 6(x − 3) に戻ります。さらに展開すると 4x² − 18x + 18 となり、元の式を直接展開した係数とも一致します。x = 3 では共通の括弧が0なので両辺とも0です。括弧を文字のように扱う際、それを0で割る必要はありません。

似た形でも、符号が逆ならそのまま同一視できません。たとえば 3 − x = -(x − 3) です。括弧の前の符号を含めて変形してから共通部分を探します。見た目が似ているという理由で、3 − x を x − 3 に置き換えると値が反対になります。逆に、括弧を先に展開しても正しく計算できますが、共通部分が見えにくくなる場合があります。

誤答から復元の手順を作る

次の変形は誤りです。

8p - 8 = 8(p - 0)

外側の8を後ろの項にも掛けると、右辺は 8p − 0 です。元の -8 が消えています。原因は、後ろの項を (-8) = 8・(-1) と分けず、何も残らないと考えたことです。図3のように後ろの項の残りは -1 です。

正しくは 8p − 8 = 8(p − 1) です。右辺を展開すると 8p − 8 となり、両方の項が戻ります。負の因数を選ぶなら -8(1 − p) でも同じです。こちらは -8・1 = -8、-8・(-p) = 8p と確認します。順序が変わっても同類項の係数が一致するので正しい形です。

別の失敗は、各項で共通でない文字を出すことです。6u² + 9u + 3 から u を外へ出すと、定数項3を整式の積として復元できません。数の3なら全項に共通するので 3(2u² + 3u + 1) とは書けます。まず全項を区切り、候補が各項にあるか調べると、この誤りを防げます。さらに分解が必要かは括弧の中を別に確認します。

点検は、元の項ごとに対応を付ける方法と、展開して同類項の係数を比べる方法を使い分けます。項ごとの対応は符号や1の欠落に気づきやすく、展開後の係数比較は複数の積をまとめた結果を確認するのに役立ちます。1つの数値の代入だけでは、たまたま一致する誤答を見逃します。

共通因数の選び方をもう一度調べる

共通因数は1通りとは限りません。たとえば 24v³ − 16v² では 2v も各項の因数です。この選択から始めても、2v(12v² − 8v) と正しい積を作れます。ただし内側の2項にはまだ 4v が共通します。そこをさらに取り出すと 8v²(3v − 2) です。最初から係数の最大公約数8と小さい指数の v² を選べば、同じ形へ一度で到達します。元の2項に掛け戻すと 24v³ と -16v² が得られます。

外側を大きくしたつもりでも、ある項に存在しない文字まで含めていないか確認します。たとえば 8v² と -12v の共通部分は 4v であり、v² ではありません。後ろの項には v が1個しかないためです。指数の小さいほうを見る理由は、各項を整数係数の整式との積に分けられる範囲を選ぶためです。係数の最大公約数と文字の最小指数を別々に見てから組み合わせると、数字と文字のどちらを落としたかも追いやすくなります。

括弧全体についても、見た目の一部が共通することと、因数として共通することは区別します。x + 2 と x + 5 には x が見えますが、どちらも和なので x を因数として取り出せるとは限りません。一方、x(x + 2) と 3(x + 2) では、括弧全体がそれぞれの項に掛かっています。和の内部に同じ文字があるだけか、項全体に同じ式が掛かっているかを見分けます。

練習：外側と内側を対応させる

次の5問を、整数係数の因数の積に因数分解してください。共通因数を取り出した後も、括弧内に数や文字の共通因数が残らない形にします。

1. 15y² + 25y
2. -21m² + 14m。括弧内の先頭項の係数を正にします。
3. 12rs − 12r
4. 9t(t + 4) + 3(t + 4)
5. 10z(2 − z) + 15(z − 2)

練習の答えと確かめ方

1. 共通因数は 5y です。

15y² + 25y
= 5y・3y + 5y・5
= 5y(3y + 5)

掛け戻すと 15y² + 25y です。係数15と25が再現され、括弧内の係数3と5に共通する整数因数は1です。

2. 最大公約数7と共通文字mに負号を付けます。

-21m² + 14m
= (-7m)・3m + (-7m)・(-2)
= -7m(3m - 2)

展開すると -21m² + 14m に戻り、括弧内の先頭係数は指定どおり正の3です。m = 0 も等式に含まれます。

3. 共通因数は 12r です。

12rs - 12r
= 12r・s - 12r・1
= 12r(s - 1)

後ろの残りは1です。掛け戻して 12rs − 12r を得るので、定数のように見える後ろの項も落ちていません。

4. 括弧全体と数の共通部分を順に取り出します。

9t(t + 4) + 3(t + 4)
= (t + 4)(9t + 3)
= 3(t + 4)(3t + 1)

最後の2因数のうち 3(3t + 1) を戻すと 9t + 3 です。これに (t + 4) を掛けると元の2項に戻ります。全体を展開した 9t² + 39t + 12 でも係数が一致します。

5. 2 − z = -(z − 2) に注意します。

10z(2 - z) + 15(z - 2)
= -10z(z - 2) + 15(z - 2)
= (z - 2)(-10z + 15)
= -5(z - 2)(2z - 3)

最後の2因数から -5(2z − 3) = -10z + 15 です。これに (z − 2) を掛ければ2行目へ戻り、符号を反転すれば元の式です。展開した係数も -10z² + 35z − 30 で一致します。z = 2 では元の各項も答えも0です。

手元に残す要点

共通因数は各項のすべてに含まれるものから選びます。
外側と内側を掛けて各項を復元し、残りの1を記します。
負を外に出すときは各項の符号を確認します。
括弧全体も因数になり、符号が逆の括弧は先に直します。
最後に展開し、括弧内にも共通因数が残っていないか調べます。

立ち止まる場所を見つける

答えが合わないときは、最初に候補を全項と照合できたか、次に各項を外側と残りの積に分けられたかを見ます。外側が元の項と同じ場合に1を記せるか、負号を出した後の各項を声に出して掛け戻せるかも手掛かりです。個別指導では、完成した答えだけでなく、その途中の対応を本人に説明してもらい、どの段階で元の項が失われたかを確かめます。共通因数を選ぶ理由と復元の両方がつながれば、長い式でも点検の道筋が残ります。