高校数学I 仮説検定の反復実験—観測以上に偏る結果を数えてまれさを見積もる｜武蔵野個別指導塾

4投を200組繰り返した度数表で、ちょうど3回と3回以上の割合を計算し、数える範囲の違いを押さえましょう。

よくあるのは、高1が自作の測定表や実験結果を復習し、観測とちょうど一致した割合だけを数える場面です。たとえば表が3回出たとき、4回出た組も、表が多い方向には3回以上に偏っています。何を1組とするかを決めて表を読み直すと、数える範囲が見えてきます。

結果の表から何を求めるか

出方の1つは、観測された回数と度数表が与えられ、観測以上の結果の割合を求めるものです。表の1行を読むのではなく、観測値から端までの行を合計します。もう1つは、反復の条件と集計結果から、どの数字が分子・分母に入るかを説明するものです。表の見出しが「1組での表の回数」なのか「その組が現れた回数」なのかを区別します。

さらに、反復の一部しか集計できなかった場合や、条件が違う表を合わせようとする場合も考えます。実験の結果として得た割合は、仮定の下でのまれさの見積もりです。数学の式から厳密な確率を求めた値と混同せず、実際に数えた組数を残します。

1回の実験と1組の結果

表と裏が同じ程度に出ると仮定した硬貨を考えます。各投げは互いに独立で、前の結果によって次の出方が変わらないとします。1組では硬貨を4回投げ、表の回数を記録します。4回のそれぞれを1投と呼び、4投をまとめたものを1組と呼びます。1組の表の回数は0から4までの整数です。

図1のように、各組を1つの数に直してから、その数が何組あったか集計します。観測が3回で、あらかじめ「表が多い方向」を調べると決めていれば、数えるのは3回と4回の組です。観測と一致した3回の組だけを数える操作とは異なります。

図1の集計表の行は互いに重ならず、各組はいずれか1行に入ります。したがって全行の度数を足すと反復した組数に戻ります。条件に合う組の度数を足し、その合計を全組数で割ったものが相対度数です。全組数が0なら割れず、まれさの見積もりは出せません。

観測より少ない方向を調べるなら、観測以下を数えます。両側を調べるなら、どちら側をどのように数えるかを事前に定める必要があります。観測後に都合よく方向を変えると、最初に問いたかったまれさとは別の量になります。以下では、明記した場合を除き表が多い方向を扱います。

乱数で再現するときのseedは、乱数列の出発点を指定する値です。同じ方法とseedで同じ列を再現できますが、seed自体が観測値や成功の回数を表すわけではありません。反復数を増やすと相対度数の変動は小さくなる傾向がありますが、増やすたびに一定の値へ単調に近づくとは限りません。

実験の途中で道具が止まったり、出力が途中で切れたりした場合にも、完成した組数と記録できなかった組数を区別します。たとえば4投の途中で止まった組は、表の回数が確定していないので、完成した組として数えません。再開時には同じ条件で作られた記録かを確かめます。異なる投数の組や、独立という仮定を満たさない作り方の組は、そのまま同じ表に混ぜられません。

まれさを求める分子は、仮定の下で作った結果の個数です。仮定そのものが正しい確率を表す数ではありません。また、割合が小さくなかった場合にも、仮定の正しさが証明されたとは言えません。反復から得た数字と、それを使った判断を分けて読みます。

基本例題：4投の組を200組作る

硬貨は各投で表と裏が同程度に出て、投げるたびに独立と仮定します。実際の観測では4投中3回が表でした。表が多い方向を事前に選び、同じ条件で4投を1組として200組を作りました。表の回数が0、1、2、3、4の組数は、それぞれ9、56、70、60、5です。ちょうど3回の割合と、3回以上の割合を、それぞれ既約分数で求めてください。

図2のように、横の行が1組の表の回数、右の数字がその結果の組数です。まず度数を足して、分母に使う組数が表と合うか調べます。

9 + 56 + 70 + 60 + 5 = 200
ちょうど3回の組数 = 60
ちょうど3回の割合 = 60/200 = 3/10
3回以上の組数 = 60 + 5 = 65
3回以上の割合 = 65/200 = 13/40

答えは順に3/10、13/40です。4回の組も3回以上に含めるため、後者の分子に5を足します。元に戻すと、200組の3/10は60組、13/40は65組で、表の該当行の合計と一致します。3/10と13/40の差は5/200であり、ちょうど4回の組に対応します。

この度数表は、各投で0か1を同じように選び、1を表として4個の和を取る操作を200組繰り返したものです。Pythonの標準乱数を用い、seedを28としました。4投の中でも組の間でも独立を仮定した作り方です。観測の3回を作るために表を後から選んだのではなく、仮定の下で作った200組を観測値と比べています。

標準例題：5投の端まで足す

別の硬貨について、表と裏は同程度で各投は独立と仮定します。観測は5投中4回が表でした。表が多い方向を事前に決め、5投を1組として300組を反復したところ、表の回数0から5までの度数は順に10、39、96、105、39、11でした。4回以上の組数とその割合を、整数と既約分数で求めてください。

条件に合う行は4回と5回です。5回は観測値と一致しませんが、表が多い方向にはさらに偏っています。

全組数 = 10 + 39 + 96 + 105 + 39 + 11 = 300
4回以上の組数 = 39 + 11 = 50
4回以上の割合 = 50/300 = 1/6

答えは50組、1/6です。300組の1/6は50組で、元の2行の合計へ戻ります。ちょうど4回は39組なので、39/300を答えると5回の11組が抜けます。ここでの度数はseedを84にして、独立な0か1を5個ずつ300組生成した結果です。

発展例題：途中までの表と追加分

同じ仮定の硬貨を6投することを1組とし、観測は表が5回でした。表が多い方向を先に定めます。最初の200組の表の回数0から6の度数は順に1、21、41、56、58、18、5でした。別の200組の度数は順に0、21、52、53、50、23、1でした。合わせた400組で、5回以上の割合を既約分数で求め、最初の200組の割合との大小を比べてください。2つの表は同じ条件で独立に生成された連続する組の前半と後半です。

まず各表の合計と、数える行を確かめます。5回と6回の2行は重ならないため、そのまま足せます。

前半の合計 = 1 + 21 + 41 + 56 + 58 + 18 + 5 = 200
後半の合計 = 0 + 21 + 52 + 53 + 50 + 23 + 1 = 200
前半の5回以上 = 18 + 5 = 23
後半の5回以上 = 23 + 1 = 24
前半の割合 = 23/200
合わせた割合 = (23 + 24)/400 = 47/400
23/200 = 46/400

400組では47/400、前半では23/200なので、合わせた割合のほうが1/400大きいです。前半の200組に戻すと23/200は23組、後半と合わせると47組で、各表の該当行の合計に一致します。400組の表はseedを91として6個の独立な0か1の和を400回作り、前半と後半に分けたものです。

ここで比較できるのは、この2つの集計値です。次の200組を追加すれば必ず割合が下がる、とは言えません。追加分に5回以上が多ければ割合は上がり、少なければ下がります。また、実験が途中で止まり後半の記録がないなら、400組を分母にすることはできません。完成した200組の結果として報告し、不明な200組を0組として埋めないようにします。

数え漏れを直す

基本例題で「観測は3回だから60/200」と答えたとします。これはちょうど3回の割合としては正しい値です。しかし、3回以上の割合を問われた答えには4回の5組が含まれていません。図3のように、観測値の行から端までを一度囲み、その範囲の度数を足します。

図3の左は一致、右は以上の範囲です。誤答の原因を「計算が遅い」ことにせず、条件に合う行の選択に戻って修正します。4回の行を加えると分子は65になり、分母200は変わりません。

別の誤りは、表の回数3と4を足して7を分子にすることです。3と4は各組の結果であり、組数ではありません。度数60と5を足すと、単位が組になり、全組数で割れます。度数の合計が反復数と違う場合は、抜けた行や重複入力を点検します。原因がわからなければ、その表から正確な割合を確定せず、記録へ戻ります。

練習：先に5問を考える

どの問題も、表と裏が同程度に出て各投が独立という仮定の下で、表が多い方向を観測前に選んだものです。表の度数はそれぞれ自作の集計表として与えます。割合は既約分数で答えてください。

1. 3投を1組として120組を集計したところ、表の回数0、1、2、3の度数は順に12、42、51、15でした。観測が2回のとき、ちょうど2回と2回以上の割合を求めてください。
2. 4投を1組として150組を集計し、表の回数0から4の度数を順に8、35、60、39、8としました。観測が4回のとき、4回以上の組数と割合を求めてください。
3. 5投を1組として240組を集計し、表の回数0から5の度数を順に6、30、75、81、42、6としました。観測が3回のとき、3回以上の組数と割合を求めてください。
4. 3投を1組とする表で、表の回数0から3の度数が順に4、18、22、6でした。さらに同じ条件の50組で、対応する度数が6、16、24、4でした。観測が2回のとき、合わせた100組での2回以上の割合を求めてください。
5. 4投を1組として80組の記録を作ったつもりでしたが、表の回数0から4の度数は順に3、15、30、20、7でした。観測が3回のとき、80組を分母として3回以上の割合を確定できるか、理由を述べてください。

練習の答えと戻し方

1. 合計は12 + 42 + 51 + 15 = 120組です。ちょうど2回は51/120 = 17/40、2回以上は(51 + 15)/120 = 66/120 = 11/20です。120組の17/40は51組、11/20は66組で、元の行に戻ります。

2. 合計は8 + 35 + 60 + 39 + 8 = 150組です。4投で5回以上の表は出ないので、4回以上は4回の8組です。割合は8/150 = 4/75です。150組の4/75は8組となり、最後の行と合います。

3. 合計は6 + 30 + 75 + 81 + 42 + 6 = 240組です。3回以上は81 + 42 + 6 = 129組、割合は129/240 = 43/80です。240組の43/80は129組です。3回の81組だけでは、4回と5回を落とします。

4. 最初の合計は4 + 18 + 22 + 6 = 50組、次も6 + 16 + 24 + 4 = 50組です。2回以上は22 + 6 + 24 + 4 = 56組です。割合は56/100 = 14/25で、100組に戻すと56組です。同じ条件の組を合わせているので、分母も50 + 50とします。

5. 度数の合計は3 + 15 + 30 + 20 + 7 = 75組です。5組の記録先が不明なため、80組中の3回以上を確定できません。記録済みの75組については(20 + 7)/75 = 9/25ですが、欠けた5組を含む80組の割合とは別です。元の記録を調べ、各組を一度ずつ分類してから計算します。

手元に残す要点

• 1組の投数と、反復した組数を分けます。
• 観測以上は観測値の行から端まで足します。
• 分子は条件に合う組数、分母は集計した全組数です。
• seedと作り方を残し、別の反復では割合が変わりうると考えます。
• 記録が欠けた場合は、不明分を勝手に補いません。

どこで止まったかを見つける

計算結果が合わないときは、まず1組が何投かを言葉で説明し、次に度数表の見出しを指してもらいます。観測以上の行に印を付け、全度数の合計、選んだ度数の合計、割り算の順に確認すると、範囲の選択と約分の誤りを分けられます。

個別指導で確かめるなら、4回の行を入れる理由を自分の言葉で述べられるか、記録の欠けた表で分母を決め直せるかを見ます。観測と一致する組と、観測以上の組の違いが、まれさを読む出発点です。