高校数学I 相関係数と変換—単位の変更と符号の反転で変わる量を見分ける｜武蔵野個別指導塾

単位の変更と負の倍率による変換で、共分散と標準偏差がどう変わり、相関係数に何が残るかを確かめていきます。

よくあるのは、高1が自作の測定表を復習し、長さの単位を変えて数値を大きくしたので相関も強くなったと思う場面です。同じ組の測定値を別の単位で表しても、点どうしの対応は変わりません。それでも共分散の数値は変わります。共分散と相関係数のどちらを尋ねられたかを分け、倍率の符号と標準偏差を確かめましょう。

変換の問題で探すもの

出方の1つは、元の相関係数と変換式から新しい相関係数を求める型です。元の全データがなくても、倍率が0でなければ正負を調べて答えられます。2つ目は、共分散や標準偏差も求める型です。こちらでは倍率の大きさを消してはいけません。3つ目は、変換後の条件から元の値や倍率の符号を逆に考える型です。0の可能性が残るか、相関係数が定義されているかまで確認します。

ここでの一次変換は、各組のxに同じ式、各組のyにも同じ式を適用する操作です。データの対応を入れ替えたり、観測を追加したりする操作ではありません。共分散は単位に依存しますが、相関係数は2つの標準偏差で割って尺度をそろえた数です。符号は直線的な傾向の向きを示し、絶対値はその強さを読む手掛かりです。相関があっても、それだけで一方が他方の原因とは言えません。

平均からのずれを変換する

n組のデータを考え、xの平均をm、yの平均をpとします。xの標準偏差をs、yの標準偏差をt、共分散をCとします。相関係数rは、sとtがともに正のとき、r = C/(s・t)です。共分散は各組の偏差の積の合計をnで割ったものです。標準偏差も同じnで割った分散の非負の平方根を使います。

新しい変量をu = ax + b、v = cy + dとします。図1のように、平均はそれぞれam + b、cp + dです。各組の偏差はu側がa(x − m)、v側がc(y − p)となり、定数b、dは消えます。したがって偏差の積は元の積のac倍、共分散はacCです。分散はu側がa²s²、v側がc²t²なので、標準偏差はそれぞれ|a|s、|c|tです。

図1の関係を使い、aとcがともに0でないときに限って新しい相関係数を計算します。

新しい相関係数 = acC/(|a|s・|c|t)
                 = ac/(|a|・|c|)・r

aとcが同符号ならrのまま、異符号なら-rです。正の倍率どうしなら相関係数は変わらず、両方を負の倍率にしても2回向きが反転するので元の符号に戻ります。片方だけ負なら符号が反転し、絶対値は変わりません。元のrが0の場合、符号を反転しても0です。このとき倍率の符号は結果から決まりません。

一方、a = 0ならuは全組でbとなり、uの標準偏差は0です。共分散は0ですが、相関係数は0/0を含むため定義できません。c = 0の場合も同じです。元のsまたはtが0なら、そもそも元のrが定義されません。共分散が0であることと、相関係数が0であることは区別します。相関係数が定義される場合でも、その値は-1以上1以下で、0は直線的な相関がないことを表します。曲線的な関係まで否定する数ではありません。

基本例題：長さの表記を変える

3個の板について、幅xと長さyをともにcmで測り、組を(1, 2)、(2, 4)、(3, 3)としました。u = 10x、v = y + 5とします。元と変換後の共分散、標準偏差、相関係数を正確な分数または根号で求めてください。uはmmによる幅で、vは長さの数値に5を加えた値です。

図2のように、幅と長さは同じ板の値を組にしたまま変換します。元の平均と偏差を順に求めます。

xの平均 = (1 + 2 + 3)/3 = 2
yの平均 = (2 + 4 + 3)/3 = 3
xの偏差 = -1, 0, 1
yの偏差 = -1, 1, 0
C = (1 + 0 + 0)/3 = 1/3
xの分散 = (1 + 0 + 1)/3 = 2/3
yの分散 = (1 + 1 + 0)/3 = 2/3
s = t = √(2/3)
r = (1/3)/(√(2/3)・√(2/3)) = 1/2

変換の倍率はa = 10、c = 1です。定数項5は偏差には残りません。共分散は10倍、標準偏差はそれぞれ10倍と1倍です。

変換後の共分散 = 10/3
uの標準偏差 = 10√(2/3)
vの標準偏差 = √(2/3)
変換後の相関係数 = (10/3)/(10・2/3) = 1/2

確かめとして表の3組は(10, 7)、(20, 9)、(30, 8)、平均は(20, 8)です。偏差の積は10、0、0であり、その平均は10/3です。uの偏差の二乗の平均は200/3、vのそれは2/3なので、標準偏差も上の式に戻ります。幅の数値は10倍でも、共分散と分母が同じ倍率で増えるため、相関係数の絶対値は増えません。

標準例題：片方の向きを反転する

ある3枚のカードの2種類の数値x、yについて、xの標準偏差は2、yの標準偏差は3、共分散は3です。u = -2x + 8、v = 4y − 1とするとき、uとvの標準偏差、共分散、相関係数を分数で求めてください。

元の相関係数は3/(2・3) = 1/2です。uの倍率は-2、vの倍率は4なので、共分散は-8倍です。標準偏差には倍率の絶対値を使います。

uの標準偏差 = |-2|・2 = 4
vの標準偏差 = |4|・3 = 12
uとvの共分散 = (-2)・4・3 = -24
uとvの相関係数 = -24/(4・12) = -1/2

元の正の相関が負になりましたが、絶対値は1/2のままです。答えを元に戻すと、共分散は-24/(-8) = 3、標準偏差は4/2 = 2、12/4 = 3です。どちらの標準偏差も正なので、この割り算と相関係数の定義は有効です。両方に負の倍率を使った場合は共分散の符号が元と同じになることも、積acから判断できます。

発展例題：逆向きに倍率をしぼる

ある対のデータではxの標準偏差が2、yの標準偏差が5、共分散が-5です。実数a、cに対してu = ax + 7、v = cy − 3と変換したところ、uの標準偏差は6、vの標準偏差は10、共分散は30でした。a、cの組をすべて求め、変換後の相関係数を分数で求めてください。

標準偏差からは大きさが決まりますが、符号はまだ決まりません。負の倍率でも標準偏差は負にならないためです。

|a|・2 = 6
|a| = 3
|c|・5 = 10
|c| = 2
ac・(-5) = 30
ac = -6

積が負なので異符号です。よって(a, c)は(3, -2)、(-3, 2)の2組です。どちらも共分散を30に戻し、標準偏差を6と10に戻します。定数項は平均を動かしますが、これらの条件からは倍率の符号の判定に関与しません。

元の相関係数 = -5/(2・5) = -1/2
変換後の相関係数 = 30/(6・10) = 1/2

逆算では、共分散が正だから両方の倍率が正とは限りません。元の共分散が負であることを使うと、倍率の積が負だとわかります。また、もし変換後の共分散が0だとされたら、|a| = 3、|c| = 2と元の共分散-5から計算した値は0にならず、条件を満たす組はありません。方程式を1本ずつ解くだけでなく、全条件に代入して両立を調べます。

間違えた式をほどく

「u = -2x、v = 3yなら、相関係数も-6倍」と答えたとします。これは共分散の倍率と相関係数の倍率を混同した誤答です。図3のように、分子の共分散は-6倍ですが、分母の標準偏差の積は2・3 = 6倍です。元の相関係数が1/2なら、正しい結果は(-6)/(6)・(1/2) = -1/2です。

もう1つの誤りは、負の倍率をそのまま標準偏差に掛けて負の値を出すことです。分散は偏差の二乗の平均なので0以上で、標準偏差はその非負の平方根です。倍率を二乗してから平方根を取ると|-2| = 2になります。図3では、符号を担う分子と、大きさを担う分母を別々にたどれます。

最後に0倍の扱いも点検します。例えばu = 0x + 4ならuはすべて4で、標準偏差は0です。「共分散が0だから相関係数も0」という推論は、分母が0で失敗します。定義できる条件を確認してから式に代入してください。計算の途中で分母が0になった場合は、そこで答えを数値にせず、変換後のデータが一定になった理由まで書きます。

練習：倍率と定数を見分ける

次の5問では、変換前の相関係数が与えられる場合、両変量の標準偏差は正とします。答えは指定された形で求めてください。

1. ある布片の縦x、横yの相関係数は3/5です。u = 100x、v = 10y + 2とするとき、uとvの相関係数を分数で求めてください。
2. ある容器の2種類の測定値の標準偏差はそれぞれ4、2、共分散は-4です。u = -3x + 1、v = y − 7とするとき、変換後の標準偏差、共分散、相関係数を整数または分数で求めてください。
3. ある札の2種類の数値の相関係数は-2/3です。u = -5x + 2、v = -2y + 9とします。変換後の相関係数を分数で求めてください。
4. ある対のデータの標準偏差はともに正、共分散は6です。u = 0x + 3、v = -2yとします。変換後の共分散と相関係数を求め、定義できない場合は理由を記してください。
5. ある対のデータの標準偏差は順に3、4、共分散は6です。u = ax + 1、v = 2y − 1の標準偏差が順に6、8で、共分散が-24となるとき、aと変換後の相関係数を整数または分数で求めてください。

練習の答えと戻して確かめる手順

1. 倍率は100と10でともに正です。共分散と標準偏差の積はともに1000倍されます。

変換後の相関係数 = 1000/1000・(3/5)
                   = 3/5

100と10でそれぞれ元の数値に戻す変換も正の倍率ですから、3/5に戻ります。加えた2は平均との差では消えます。

2. 元の相関係数は-4/(4・2) = -1/2です。変換後を順番に計算します。

uの標準偏差 = 3・4 = 12
vの標準偏差 = 1・2 = 2
共分散 = (-3)・1・(-4) = 12
相関係数 = 12/(12・2) = 1/2

元へ戻すと標準偏差は12/3 = 4と2、共分散は12/(-3) = -4です。正負が変わったのは片方の倍率が負だからです。

3. 倍率の積は(-5)・(-2) = 10、標準偏差の積の倍率は5・2 = 10です。

変換後の相関係数 = 10/10・(-2/3)
                   = -2/3

両方の向きを反転すると符号の変化が2回起きます。元に戻す際も両方の倍率は負で、相関係数は-2/3に戻ります。

4. 共分散は0・(-2)・6 = 0です。ただしuは常に3で、uの標準偏差は0です。相関係数の分母が0になるため定義できません。どのxに対してもuが3になることを元の式に戻して確かめると、ばらつきが消えたことが見えます。

5. uの標準偏差から|a|・3 = 6、よってa = 2または-2です。共分散の条件を使うと次のようになります。

 a・2・6 = -24
 12a = -24
 a = -2

この値でuの標準偏差は|-2|・3 = 6、vは2・4 = 8、共分散は(-2)・2・6 = -24です。よって元の条件を満たします。

変換後の相関係数 = -24/(6・8)
                   = -1/2

元の相関係数は6/(3・4) = 1/2で、片方の符号反転によって-1/2になったこととも一致します。

要点

倍率をa、cとすると、共分散はac倍、標準偏差はそれぞれ|a|倍、|c|倍です。
両倍率が0でなければ、同符号でr、異符号で-rです。
どちらかが0なら変換後の相関係数は定義できません。

計算の止まり方を調べる

途中で符号が合わないときは、まず各変量の平均を別々に書き、その平均を引いた偏差に定数項が残っていないか見ます。次に、共分散の倍率acと標準偏差の倍率|a|、|c|を別の行に書けば、負の符号をどこで使うか追えます。値が0になった場合は、分子だけでなく分母も確かめてください。

個別指導で確かめるなら、元の相関係数が0のときに倍率の符号を特定できるか、倍率が0のときに計算を続けてよいかを、式と言葉の両方で説明してもらいます。別の確認として、変換後の共分散と標準偏差を逆変換して、与えられた元の値へ戻るかを見ます。対応する組と分母の条件を保つことが、相関の変化を読む土台です。