高校数学I 分散と未知の値—平均の条件と二乗和を連立して元のデータに戻す｜武蔵野個別指導塾

平均と分散を合計と二乗和へ戻し、空欄の候補を求めます。元の表への代入を通じて、入替えによる複数解や整数条件による解なしを判別します。

よくあるのは、高1が自作の測定表を復習し、方程式を解いたところで手を止め、答えが測定条件に合うか見ない場面です。たとえば個数を表す値に負の数が出たとき、計算上の解であることと、問題の答えとして採用できることは別です。平均と分散の両方を手がかりに、空欄の値を求めた後も、元の表に戻して確かめましょう。

空欄の数で道筋が変わる

出方の型は大きく3つです。1つ目は、未知の値が1個で平均が与えられる型です。合計から空欄を決め、分散の条件にも合うか確かめます。平均から決まった値が分散に合わなければ、条件を満たすデータは存在しません。

2つ目は、未知の値が2個で平均と分散が与えられる型です。平均から2個の和、分散から二乗の和を得ます。これらを組み合わせると2個の差が決まり、入替えを含めて候補を出せます。3つ目は、未知の値に非負の整数などの条件が付く型です。方程式の解を全部求めてから条件で選び、候補が残らない場合も答えとして扱います。

平均が同じでも、散らばりが同じとは限りません。たとえば2個の値の和が一定でも、同じ値に近い組と離れた組では分散が異なります。反対に平均と分散が決まっても、2個の空欄を交換した表は区別できないことがあります。表のどちらの欄かまで決まるか、順序を無視した組でよいかも問題文で確認します。

合計と二乗和に戻す

データの個数をn、平均をmとします。nは正の整数です。平均がmなら、データの合計はn・mです。各値からmを引いたものを偏差と呼び、分散は偏差の二乗の合計をnで割った値です。分散をvとすると、偏差の二乗和はn・vになります。元の測定値がcmなら分散の単位はcm²です。

図1のように、平均から合計、分散から偏差の二乗和へ戻すと、空欄がどの条件に関わるか整理できます。平均を使って合計を求めるときも、分散を使うときも、同じ対象の個数nを使います。値が2個不明でも、データ全体の個数で割ることに注意します。

図1の右側は、既知の値の分を引く前の全体量です。空欄の寄与を出すには、既知の値を引きます。平均が先にわかっていれば、未知の値を含む偏差もその平均を基準に書けます。

もう一つ便利なのは、分散が「値の二乗の平均 − 平均の二乗」に等しいことです。理由は各値xの偏差の二乗をx² − 2mx + m²と展開すると、xの平均がmなので、真ん中の項の平均が-2m²になり、最後のm²と合わせて-m²が残るからです。したがって、値の二乗和はn・(v + m²)です。この式で未知の値の二乗和を出し、偏差を直接二乗する方法でも照合できます。

分散は二乗の平均なので負になりません。また分散が0なら、負にならない各偏差の二乗がすべて0であり、各値は平均に等しくなります。分散の条件が負なら、空欄を探す前にその条件自体が成立しません。以下では分散の逆算に絞り、変換や集団の合併は扱いません。

基本例題：1個の空欄を両方の条件に戻す

4本の自作の棒の長さは2 cm、4 cm、6 cm、x cmです。平均が5 cm、分散が5 cm²であるとき、xを整数で求めてください。条件を満たす値がなければ、そのことを答えてください。

平均から全長を戻します。4本の合計は4・5 = 20 cmであり、既知の3本の合計は2 + 4 + 6 = 12 cmです。したがって、

12 + x = 20
x = 8

平均の条件から候補は8です。しかし、これだけで分散の条件を使ったことにはなりません。図2の表で、4本それぞれの平均5 cmからの偏差を確認します。

図2のように、偏差は順に-3、-1、1、3 cmです。偏差の二乗和は次のようになります。

(-3)² + (-1)² + 1² + 3²
= 9 + 1 + 1 + 9
= 20

4本で割ると20/4 = 5 cm²です。元の表に8 cmを戻すと合計は20 cm、平均は20/4 = 5 cm、分散も5 cm²となるので、答えは8 cmです。値の二乗の平均からも、(4 + 16 + 36 + 64)/4 − 5² = 30 − 25 = 5 cm²と確かめられます。

仮に同じ平均で分散が6 cm²と指定されていたなら、平均からの候補8 cmの分散は5 cm²なので解はありません。分散の式だけから他の数が見つかっても、平均の条件を同時に満たす必要があります。条件のどちらかが合わない候補は採用しません。

標準例題：2つの欄は入れ替えられる

4人が作った紙片の枚数は、順に1枚、3枚、a枚、b枚です。4人の平均が4枚、分散が5枚²です。aとbは非負の整数とし、順序を区別した組(a, b)をすべて求めてください。

平均から4人の合計は4・4 = 16枚です。よって、

1 + 3 + a + b = 16
a + b = 12

値の二乗和は4・(5 + 4²) = 84です。既知の二乗和は1² + 3² = 10ですから、

a² + b² = 84 - 10
a² + b² = 74

和の二乗を展開して積を求めます。

(a + b)² = a² + 2ab + b²
144 = 74 + 2ab
2ab = 70
ab = 35

a + b = 12とab = 35から、aを用いるとb = 12 − aです。代入して、

a(12 - a) = 35
a² - 12a + 35 = 0
(a - 5)(a - 7) = 0

よって(a, b) = (5, 7)、(7, 5)です。どちらも非負の整数です。順序を区別したので2組を書きます。2人に対応する欄を交換しても合計と二乗和は変わらないため、平均と分散だけではどちらの人が5枚かは決まりません。

元の枚数1、3、5、7の合計は16枚で、平均は4枚です。偏差は-3、-1、1、3で、偏差の二乗和は20、分散は20/4 = 5枚²です。二乗の平均でも(1 + 9 + 25 + 49)/4 − 16 = 21 − 16 = 5枚²です。入替え後も4つの値の集まりは同じなので両条件を満たします。

発展例題：方程式の解と個数の条件

3つの箱に入った自作の札の枚数は2枚、p枚、q枚です。3箱の平均は4枚、分散は2枚²です。p、qは非負の整数とします。順序を区別した組(p, q)を求め、存在しなければその理由を述べてください。

まず平均から、

2 + p + q = 3・4
p + q = 10

次に値の二乗和から、

2² + p² + q² = 3・(2 + 4²)
4 + p² + q² = 54
p² + q² = 50

和の二乗を使います。

(p + q)² = p² + 2pq + q²
100 = 50 + 2pq
pq = 25

ここで差の二乗を調べると、

(p - q)² = p² - 2pq + q²
= 50 - 50
= 0
p = q

和が10なのでp = q = 5です。元の表は2、5、5枚で、合計12枚、平均4枚です。偏差は-2、1、1、二乗和は4 + 1 + 1 = 6、分散は6/3 = 2枚²です。二乗の平均でも(4 + 25 + 25)/3 − 16 = 18 − 16 = 2枚²です。したがって答えは(5, 5)です。交換しても同じ組なので、2組にはなりません。

ここから条件を変えて、分散が1枚²だったらどうなるでしょう。平均は同じなのでp + q = 10です。二乗和は3・(1 + 16) = 51、既知の4を引くとp² + q² = 47です。しかし、和が10の2数について、

(p - q)² = 2(p² + q²) - (p + q)²
= 2・47 - 100
= -6

実数の二乗は負にならないので、整数に限る前に実数の候補が存在しません。式を無理に解き進める必要はありません。一方、差の二乗が正でも、差が整数にならなければ個数の条件で候補が消えることがあります。差が0、正、負の3つを分け、その後で整数性と非負条件を見ます。

誤答を元の表で直す

標準例題で「a + b = 12だから(a, b) = (6, 6)」と答える誤りを考えます。和の条件は合っていますが、分散を使っていません。図3のように、元の表へ6、6を入れると偏差の二乗和は14です。分散は14/4 = 7/2枚²で、指定された5枚²に届きません。

図3では、正しい候補5、7も同じ和12ですが、偏差の二乗和が20になります。誤答の原因は平均を満たす組を1つ選んだだけで、分散を条件として使わなかったことです。修正するときは、和に加えて二乗和を立て、各候補を全体の表へ戻します。

別の誤りは、二乗和を未知の2個の数で割ることです。分散は4人全体の偏差の二乗和を4で割る量です。未知の欄が2個という事情で分母は変わりません。単位も枚数の二乗とし、平均の単位と混同しないようにします。

さらに、差の二乗が負になる式を得たときに、符号を勝手に変えて解を作ることも避けます。負になった原因が計算ミスか条件の矛盾かを、合計と二乗和に戻って調べます。正しい計算で負なら解なしです。実数の解が出た後も、整数であること、0以上であること、必要なら順序条件を確認します。

練習：条件をそろえて候補を選ぶ

次の測定値と個数は練習用に作ったものです。各問で答えの形を指定します。分散は全データの偏差の二乗和をデータ数で割ります。

1. 3本のリボンの長さは1 cm、5 cm、x cmです。平均が4 cm、分散が8/3 cm²のとき、xを整数で求めてください。条件を満たす値がなければ解なしと答えてください。
2. 4つの容器の水の量は1 mL、1 mL、u mL、v mLです。平均が3 mL、分散が5 mL²です。u、vは非負の整数とし、順序を区別した組をすべて求めてください。
3. 3人のカードの枚数は0枚、s枚、t枚です。平均が2枚、分散が2枚²です。s、tは非負の整数とし、順序を区別した組を求めてください。存在しない場合は理由を述べてください。
4. 3個の石の質量は1 g、w g、z gです。平均が3 g、分散が8/3 g²です。w、zは正の整数でw < zとします。組(w, z)を求めてください。
5. 3つの袋の玉の個数は0個、h個、k個です。平均が1個、分散が1/2個²です。h、kは非負の整数です。順序を区別した組を求め、存在しなければ理由を述べてください。

練習の解答と確認

1. 合計は3・4 = 12 cmなので、1 + 5 + x = 12からx = 6です。表に戻すと1、5、6の合計は12で平均は4 cmです。偏差は-3、1、2、二乗和は9 + 1 + 4 = 14です。分散は14/3 cm²で、8/3 cm²ではありません。二乗の平均でも(1 + 25 + 36)/3 − 16 = 14/3です。したがって解なしです。平均を満たす候補が分散では失敗する例です。

2. 合計は4・3 = 12 mLです。1 + 1 + u + v = 12よりu + v = 10です。全体の二乗和は4・(5 + 9) = 56、既知の二乗和は2なのでu² + v² = 54です。

100 = 54 + 2uv
uv = 23
(u - v)² = 54 - 46
(u - v)² = 8

u、vが整数ならu − vも整数ですが、二乗が8になる整数はありません。よって解なしです。実数に範囲を広げた候補を近似して整数とみなしてはいけません。和と二乗和を満たす非負の整数の組が存在しないため、元の4容器の条件を満たす表も作れません。

3. 合計は3・2 = 6枚なのでs + t = 6です。全体の二乗和は3・(2 + 4) = 18ですからs² + t² = 18です。

36 = 18 + 2st
st = 9
(s - t)² = 18 - 18
s = t = 3

答えは(3, 3)です。0、3、3の合計は6枚で平均2枚、偏差は-2、1、1です。二乗和6を3で割ると2枚²です。二乗の平均でも(0 + 9 + 9)/3 − 4 = 2枚²となります。

4. 合計は3・3 = 9 gなのでw + z = 8です。全体の二乗和は3・(8/3 + 9) = 35、既知の1を引くとw² + z² = 34です。

64 = 34 + 2wz
wz = 15
(w - z)² = 34 - 30
(w - z)² = 4

w < zなのでz − w = 2です。和が8ですからw = 3、z = 5で、答えは(3, 5)です。1、3、5の合計は9 g、平均は3 gです。偏差の二乗和は4 + 0 + 4 = 8で、分散は8/3 g²です。二乗の平均でも(1 + 9 + 25)/3 − 9 = 8/3 g²です。正の整数と大小の条件も満たします。

5. 合計は3・1 = 3個で、h + k = 3です。全体の二乗和は3・(1/2 + 1) = 9/2ですから、0²を除いてh² + k² = 9/2となります。整数の二乗の和は整数なので、この条件は満たせません。したがって解なしです。元の3袋に非負整数を入れると二乗和も整数になり、指定された9/2には戻りません。途中で近似値に置き換えず、分数のまま矛盾を確認します。

覚えておくこと

平均にデータ数を掛けると合計になります。
分散にデータ数を掛けると偏差の二乗和になります。
和と二乗和から差を調べ、入替えを数えます。
候補を元の表に戻し、平均・分散と条件を確かめます。

どこで止まったかを見分ける

平均から合計へ戻せないときは、データ数と既知の値を別の欄に書いて、全体の合計から既知の合計を引けるかを確かめます。分散の式で止まるときは、まず平均を基準に各偏差を並べ、二乗和を全体の人数で割るところまで確認します。二乗の平均を使う式は、その表と同じ値になることを見てから使うと、何を復元しているか追いやすくなります。

個別指導で確認するなら、候補を出す計算だけでなく、候補を表に戻す手順を本人に説明してもらいます。和が合うのに二乗和が合わない候補、実数では存在しても整数条件を満たさない候補、差の二乗が負で実数自体が存在しない場合を区別できるかが見どころです。空欄に数を書いた後、元の条件を両方読み直すことで、計算の答えが測定の答えになります。