高校数学I 二地点から高さを求める測量—観測点の並びを確かめて二つの式から距離を消す｜武蔵野個別指導塾

同じ側では距離の差、反対側では距離の和を使い、二地点の仰角から高さを求めます。目線が異なる場合も式を立てます。

よくあるのは、高1の高校生が二地点の間隔を、そのまま塔までの距離にしてしまう場面です。観測点の間隔は測れても、塔の足元まで近づけないことがあります。そこで、水平な地面の2地点から塔の頂上を見る角度を使います。まず点の並びを描き、未知の距離を置き、共通する高さを2通りに表しましょう。数値は説明のために作ったもので、実際の測定結果ではありません。

二地点の情報から何を求めるか

問いには、同じ側に並んだ2地点から高さを求めるものがあります。遠い地点と近い地点の間隔はわかっていても、近い地点から塔までの水平距離は未知です。小さい仰角が遠い地点に対応することを図で確かめます。

塔を挟んで反対側から観測する場合は、2つの塔までの距離の和が観測点間の距離です。同じ側の差とは関係が変わります。また、目線が地面より高い場合は、三角比が与える高さと地面からの高さが異なります。2つの目線の高さが等しいかも、式を作る前に確かめましょう。

測量に使う三角比と図形の計量は、数学Iの学習範囲に含まれます。ここでは地面が水平で塔が鉛直、頂上が両地点から見えるという問題の条件を用います。測定誤差を含む実際の精度は扱いません。

図に置く長さと角

仰角とは、観測者の目を通る水平線から、見上げる方向までの角です。塔の足を O、頂上を T、近い観測点を A、遠い観測点を B とします。ひとまず観測点は地面上にあり、B、A、O の順に並ぶとします。観測点間の距離を d、AO を x、塔の高さを h と置けば、BO は x + d です。

図1のように、水平な辺と鉛直な辺で直角三角形を作ります。仰角に対する向かい側の辺は h、隣の辺は水平距離です。したがって、A の仰角を α、B の仰角を β とすると、次の2つの式が成り立ちます。

h = x tan α
h = (x + d) tan β

図1の x は A から塔の足までで、d は A と B の間です。どちらも水平距離ですが、同じ線分ではありません。等しい h を消去すると、距離についての方程式ができます。

x tan α = (x + d) tan β
x (tan α - tan β) = d tan β

仰角がともに 0度より大きく 90度より小さく、A が B より塔に近いなら、α は β より大きく、tan α − tan β は正です。この条件のもとで x を求められます。角が等しいと分母が 0 となり、この配置で異なる2点から同じ頂上を見た条件と両立しません。計算を無理に続けず、観測条件を見直します。

反対側では A、O、B の順に並びます。AO を x とすると、BO は d − x です。塔の足が2地点の間にあるため、0 < x < d も必要です。高さは x tan α と (d − x) tan β の両方に等しく、距離の和が d であることを使います。

目線の高さが地面から e で、両地点で等しいときは、頂上と目線の高さの差を h とします。水平線を塔まで延ばして直角三角形を描けば、上の式の h はこの差です。最後に塔の高さ H = h + e と戻します。目線の高さが異なるなら共通する差は置けず、H − e₁ と H − e₂ を別々に使います。

式が成立しない条件も調べる

同じ側で両方の目線が同じ高さなら、近い点の正接が大きくなります。共通の高さを同じ正の数とすると、水平距離が短いほど、高さを水平距離で割った値は大きいからです。近い地点の仰角が遠い地点より小さいという条件が出た場合、求めた距離が負になっても、負の距離を答えにしてはいけません。配置、角の対応、観測した頂上が同じかを確認します。

反対側で2つの仰角が等しい場合は、同じ高さを同じ正接で割るため、足から各観測点までの距離が等しくなります。足は基線の中点です。これに対して同じ側で仰角が等しい場合、距離も等しくなるので、異なる2地点という条件と合いません。角が等しいという同じ情報でも、点の並びで結論が変わります。

観測点間の間隔が 0 であれば、2つの異なる地点からの観測という前提が失われます。また、仰角が 0度の場合は目線と頂上の高さが等しく、この節で想定する見上げる直角三角形にはなりません。角の範囲や基線の正値は、式を割る前に確認する条件です。実際の測量では地面の傾きや目線の誤差も考える必要がありますが、ここでの厳密な計算は問題に与えた水平と鉛直の仮定の上にあります。

基本：同じ側から見る

問題。水平な地面に B、A、O の順に一直線上に点があります。O は鉛直な塔の足で、AB = 12 m です。地面上の A、B から塔の頂上を見る仰角はそれぞれ 60度、30度です。AO と塔の高さを根号を含む厳密な値で求めてください。

図2のように、AO を x m、高さを h m とします。遠い B からの水平距離は x + 12 m です。仰角は近い A のほうが大きく、並びと矛盾しません。

h = x tan 60度
h = √3 x
h = (x + 12) tan 30度
h = (x + 12)/√3
√3 x = (x + 12)/√3
3x = x + 12
2x = 12
x = 6
h = 6√3

答えは AO = 6 m、高さ 6√3 m です。図2の AB は 12 m ですが、求めた AO は 6 m です。両者を初めから同一視できないことが見えます。

元の場面に戻すと、BO = 18 m です。高さをそれぞれの水平距離で割ると、A では √3、B では √3/3 になります。これは指定された 60度と30度の正接に一致します。水平距離と高さはいずれも正なので、描いた配置にも合います。

標準：塔を挟む配置

問題。水平な一直線上に A、O、B の順で点があり、O は鉛直な塔の足です。AB = 20 m、地面上の A と B の仰角はそれぞれ 45度と 60度です。AO、BO、塔の高さを根号を含む厳密な値で求めてください。

AO = x m、塔の高さを h m とします。O は A と B の間にあるので、BO = 20 − x m です。0 < x < 20 の範囲も後で確かめます。

h = x tan 45度
h = x
h = (20 - x) tan 60度
h = √3 (20 - x)
x = √3 (20 - x)
x + √3 x = 20√3
x = 20√3/(1 + √3)
x = 10(3 - √3)

したがって、次のようになります。

AO = 10(3 - √3) m
BO = 20 - 10(3 - √3) m
BO = 10(√3 - 1) m
h = 10(3 - √3) m

√3 は 1 より大きく 3 より小さいため、両距離は正です。また、和は 20 m に戻ります。A では h/AO = 1、B では h/BO = √3 となり、両方の仰角を復元できます。同じ側の式 x + 20 を使うと、2地点の距離の和が 20 m という条件を失います。

発展：目線の高さが違うとき

問題。水平な地面に B、A、O の順に並び、O に鉛直な塔があります。AB = 8 m です。A では地面から 2 m の目線で仰角 45度、B では地面から 1 m の目線で仰角 30度を測りました。塔の高さと AO を根号を含む厳密な値で求めてください。

塔の高さを H m、AO を x m とします。2つの目線の高さが違うため、直角三角形の鉛直辺を同じ文字で置けません。A では H − 2、B では H − 1 がそれぞれ鉛直辺です。

H - 2 = x tan 45度
H - 2 = x
H - 1 = (x + 8) tan 30度
H - 1 = (x + 8)/√3
H = x + 2
x + 1 = (x + 8)/√3
√3 x + √3 = x + 8
(√3 - 1)x = 8 - √3
x = (8 - √3)/(√3 - 1)
x = (7√3 + 5)/2
H = (7√3 + 9)/2

AO は (7√3 + 5)/2 m、塔の高さは (7√3 + 9)/2 m です。A では H − 2 = x なので正接は 1 です。B では H − 1 = (x + 8)/√3 なので正接は 1/√3 です。両方の目線より頂上が高く、距離も正です。目線が違う場合、同じ高さの差として2式を等置すると、元の角に戻りません。

間隔を塔までの距離にした誤答

基本例題で「AB = 12 m だから AO = 12 m」として高さを 12√3 m とする答えを考えます。この値は A の仰角だけには合います。しかし B は A よりさらに 12 m 遠いので、BO = 24 m になります。そこから見た正接は 12√3/24 = √3/2 で、指定された 30度の正接 √3/3 と一致しません。

図3のように、区間 AB と区間 AO の端点を指で追ってください。共有するのは点 A であり、長さが等しいという条件はありません。未知の AO を x と置けば、BO を x + 12 と書けます。

図3の区間を別々に読み直し、2つの仰角に対応する式を立てると、基本例題の x = 6 に戻ります。誤答を見つけるときは計算の行だけでなく、その数字が図のどの線分を表すかまで戻ることが有効です。

同じ側で近い地点の仰角が小さいと書かれていたら、正の高さと距離では条件が両立しません。反対側で x が負、または基線より長くなった場合も、指定した並びを満たしません。式の符号を直す前に、与えられた角と点の順を点検します。仰角が 90度なら水平距離が正の通常の直角三角形にはならず、tan 90度も使えません。観測点が塔の足と一致する場合は別の条件として扱います。

自分で解く5問

各問で地面は水平、対象物は鉛直で、観測点と足は一直線上にあるものとします。角は正確な値として扱い、答えは根号を含む厳密な値で、長さの単位は m とします。

1. 同じ側に遠い点 P、近い点 Q、足 O の順に並び、PQ = 10、Q と P の地面上からの仰角がそれぞれ 60度、30度です。QO と高さを求めてください。
2. 同じ側に遠い点 P、近い点 Q、足 O の順に並び、PQ = 6、Q と P の地面上からの仰角がそれぞれ 45度、30度です。QO と高さを求めてください。
3. P、O、Q の順で、PQ = 18、P と Q の地面上からの仰角がともに 45度です。PO と高さを求めてください。
4. P、O、Q の順で、PQ = 15、P と Q の地面上からの仰角がそれぞれ 30度、60度です。PO と高さを求めてください。
5. 同じ側に遠い点 P、近い点 Q、足 O の順に並び、PQ = 14 です。両地点の目線は地面からともに 1.5 m で、Q と P の仰角はそれぞれ 60度、30度です。QO と地面からの高さを求めてください。

練習の答えと戻し方

1. QO = x、高さを h とします。PO = x + 10 です。

h = √3 x
h = (x + 10)/√3
3x = x + 10
2x = 10
x = 5
h = 5√3

QO = 5 m、高さは 5√3 m です。PO は 15 m で、2つの正接は √3 と √3/3 に戻ります。距離の差も 10 m です。

2. QO = x、高さを h とします。

h = x
h = (x + 6)/√3
√3 x = x + 6
(√3 - 1)x = 6
x = 3(√3 + 1)
h = 3(√3 + 1)

QO と高さはともに 3(√3 + 1) m です。PO = 3(√3 + 3) m なので、h/PO = 1/√3 です。Q では h/QO = 1、距離の差は 6 m です。

3. PO = x、高さを h とします。OQ = 18 − x です。

h = x
h = 18 - x
x = 18 - x
2x = 18
x = 9
h = 9

PO と高さはともに 9 m です。OQ も 9 m で、距離の和は 18 m、両方の正接は 1 に戻ります。

4. PO = x、高さを h とします。OQ = 15 − x です。

h = x/√3
h = √3 (15 - x)
x = 3(15 - x)
4x = 45
x = 45/4
h = 15√3/4

PO = 45/4 m、高さは 15√3/4 m です。OQ = 15/4 m で、2距離の和は 15 m です。高さを PO と OQ でそれぞれ割ると、1/√3 と √3 に戻ります。

5. QO = x、目線から頂上までの高さを h とします。PO = x + 14 です。

h = √3 x
h = (x + 14)/√3
3x = x + 14
2x = 14
x = 7
h = 7√3
地面からの高さ = 7√3 + 1.5

QO = 7 m、地面からの高さは (7√3 + 1.5) m です。PO = 21 m と高さの差 7√3 m から、それぞれの正接は √3 と √3/3 になります。最後に引いた目線の高さを足し戻すと、求めた地面からの高さに一致します。

手元に残す要点

• 同じ側なら遠い距離は近い距離と基線の和です。
• 反対側なら2つの距離の和が基線です。
• 正接に使う隣辺は水平距離です。
• 目線から頂上までの差と地面からの高さを区別します。
• 答えを距離の関係と両方の仰角に戻します。

図と式のどこで止まったか

距離の式が作れないときは、塔の足と2地点を一直線に置き、与えられた間隔の両端に印を付けます。次に未知の区間を x とし、隣り合う区間を足すのか、全体から引くのかを声に出して確認します。高さが合わない場合は、各観測点から水平線を引き、正接の分子が地面からの高さなのか目線との差なのかを見直します。

個別指導で確かめるなら、最初に描いた点の順と、2本の式の分母に入れた距離を見せてもらうと、計算以前の取り違えが見つかります。式が合っているのに答えが合わない場合は、移項と根号を含む分母の処理を1行ずつ追います。最後に出た高さから2つの仰角を復元できれば、図と式は同じ場面を表しています。