高校数学B 片側検定と結論—調べたい向きを観測前に定めて判断の限界を言葉にする｜武蔵野個別指導塾

対立仮説の向きから片側の棄却域を決め、観測後に方向を選ぶと誤って棄却する確率が変わることを調べます。

よくあるのは、高2が測定結果を見てから、都合のよい方向の片側検定を選ぶ場面です。平均が増えたことを調べるつもりだったのか、減ったことを調べるつもりだったのかで、注目する端は変わります。結果が大きいときだけ右側、小さいときだけ左側へ切り替えると、あらかじめ約束した判定とは別の手続になります。

片側検定では、調べたい方向と判定の基準を観測前に決めます。以下では母標準偏差が既知の正規母集団から、独立に同じ分布で取り出した標本を扱います。正規分布表の数値を使わず、境界を定める確率を条件として与え、判断の筋道を追います。

問われ方は方向と判定を分ける

増加を調べる問題では、基準値より大きいという対立仮説を立て、標本平均が十分大きい場合に帰無仮説を棄却します。減少を調べる問題では逆に、十分小さい場合を棄却域にします。どちらも、調べたい方向をデータを見る前に決めることが条件です。

別の型では、同じ観測値を右側、左側、両側の手続に当てはめて、どの結論が得られるかを比較します。ただし比較は手続の違いを理解するためです。実際の判断で、観測後に結論の出やすい手続を選び直すことはできません。

さらに、棄却や不棄却の文章の誤りを直す型があります。統計的に有意な差と、実生活で無視できない大きさの差は同じ意味ではありません。検定結果と、差の大きさや研究の設計を分けて読む必要があります。

先に決める仮説と棄却域

母平均を μ、基準値を μ₀ とします。帰無仮説 H₀ は μ = μ₀、増加を調べる対立仮説 H₁ は μ > μ₀ です。減少を調べるなら H₁ は μ < μ₀ です。等しいという仮定の下で、観測された結果がどれほど端にあるかを調べます。

母標準偏差 σ が既知で、母集団が正規分布に従い、互いに独立な大きさ n の標本を取るとします。標本平均を X̄ とすると、H₀ の下で標準化した変数 Z = (X̄ − μ₀)/(σ/√n) は標準正規分布に従います。分母は母標準偏差そのものではなく、標本平均の標準偏差です。

有意水準を α とし、標準正規変数 Z について P(Z ≧ c) = α となる正の数 c をあらかじめ定めます。右側検定では Z ≧ c、左側検定では Z ≦ -c を棄却域とします。正規分布の左右対称性から、左端の確率も α です。境界を含める約束にしても、連続分布では一点の確率が0なので水準は変わりません。

図1のように、右側は大きい値、左側は小さい値を棄却域にします。対立仮説と反対方向に大きく離れた結果は、その片側検定の棄却域には入りません。両側検定では両端に領域を置き、合計が α になるよう片端を α/2 にします。片側と両側で同じ境界を使えば両側の合計は2倍になり、同じ有意水準の比較にはなりません。

有意水準は H₀ が成り立つときに、決めた規則で誤って棄却する確率を抑えるための基準です。観測後に H₀ が正しい確率を計算したものではありません。不棄却は、用意した基準に照らして棄却するだけの証拠が得られなかったという意味であり、等しいことの証明ではありません。

基本例題：増加を調べる

ある装置の出力の母集団は正規分布に従い、母標準偏差は6単位とわかっています。独立に同じ分布から36個を取り、標本平均が12単位でした。観測前に、母平均が10単位より大きいかを右側検定で調べると決めました。標準正規変数 Z に対し P(Z ≧ 1) = α とし、有意水準 α、棄却域 Z ≧ 1 を用います。標準化した値を整数で求め、結論を書いてください。

H₀ は μ = 10、H₁ は μ > 10 です。正規母集団、独立性、既知の母標準偏差を問題文で確認できるため、H₀ の下で標本平均を標準化できます。

標本平均の標準偏差 = 6/√36 = 1
観測値の標準化 = (12 - 10)/1 = 2
2 ≧ 1

1行目は標本平均の標準偏差の公式、2行目は基準値からの差をその標準偏差で割った式です。3行目より観測値は棄却域に入り、H₀ を棄却します。設定した有意水準で、母平均は10単位より大きいと判断します。

図2のように、境界1に対して観測値2は右側にあります。元の単位へ戻すと境界は 10 + 1・1 = 11単位です。観測平均12単位は11単位以上なので、元の尺度で見ても同じ判定になります。増加量が実用上十分か、装置の変更が増加の原因かは、この計算だけでは決められません。

標準例題：減少と両側を比べる

ある製品の長さは正規母集団に従い、母標準偏差は8 mmです。独立に同じ分布から64個を取った標本平均は19 mmでした。観測前に母平均が20 mmより小さいかを調べると決めます。P(Z ≧ 1) = α とし、P(Z ≧ d) = α/2 となる正の数を d とする条件の下、有意水準 α の左側検定と、比較のため同水準の両側検定を行います。それぞれの標準化した値を整数で求め、結論を述べてください。

左側では H₀ は μ = 20、H₁ は μ < 20 です。正規性と独立性、既知の母標準偏差により、H₀ の下で次の標準化ができます。

標本平均の標準偏差 = 8/√64 = 1 mm
標準化した値 = (19 - 20)/1 = -1
-1 ≦ -1

左側の境界は対称性から -1 です。よって左側検定では棄却し、母平均が20 mmより小さいと判断します。元の尺度では左側の棄却域は標本平均が19 mm以下で、観測値はその境界にあります。

一方、両側の対立仮説は μ ≠ 20 であり、両端の確率がそれぞれ α/2 となる境界は -d と d です。裾の確率を α から α/2 に減らすので d > 1 です。観測値 -1 は両境界の間にあるため不棄却です。元の尺度では境界は (20 − d) mm と (20 + d) mm で、19 mmは棄却域に入っていません。同じ観測値でも事前に設定した問いが異なれば判定が異なります。

発展例題：観測前の規則を守る

ある作業の所要時間の母集団は正規分布に従い、母標準偏差は12分です。独立に同じ分布から36回分を取り、標本平均は47分でした。観測前に基準の50分より短くなったかを調べると定め、P(Z ≧ 1) = α を有意水準とします。左側検定の標準化した値を小数第1位まで求め、判定してください。また、同じ α で観測後に方向を選ぶ手続にしたとき、H₀ の下で誤って棄却する確率を α を使って表してください。

H₀ は μ = 50、H₁ は μ < 50 です。条件から、H₀ の下で標本平均は正規分布に従い、その標準偏差を求められます。

標本平均の標準偏差 = 12/√36 = 2分
標準化した値 = (47 - 50)/2 = -1.5
-1.5 ≦ -1

左側の棄却域に入るので H₀ を棄却し、母平均は50分より短いと判断します。元の尺度で境界は 50 − 2 = 48分で、47分はこれ以下です。ただし、この差の原因が何かは、標本の取り方や比較の設計を別に調べなければ言えません。

観測値が正なら右側、負なら左側を選び、それぞれ同じ境界1または -1 で判定する場合を考えます。棄却されるのは Z ≧ 1 または Z ≦ -1 です。2つの領域は重ならず、左右対称なので確率は α + α = 2α です。これは事前に片側を固定した手続の α と異なります。片側と名付けても、実際には両端を見ているからです。

誤答を直す：符号と結論を同時に点検する

基本例題で「標準化した値は2だから、左側の境界 -1 より離れている。よって母平均は10単位より小さい」と答えたとします。数直線の距離だけを見て、対立仮説の向きと棄却域を取り違えた誤答です。2は -1 以下ではなく、左側の棄却域に入りません。

図3のように、先に定めた右側の問いへ戻すと、2は右側の境界1以上です。正しくは「帰無仮説を棄却し、母平均が10単位より大きいと判断する」と書きます。数直線のどちら側に色を付けるかを、観測値を見る前の H₁ から決めてください。

別の誤りは、不棄却を「帰無仮説が正しいと証明した」と読むことです。標本のばらつきがあるため、差があっても棄却域に届かないことがあります。不棄却なら「その方向の差があるとは判断できなかった」と述べ、差がないと断定しません。

反対に棄却した場合も、母平均が基準からどれだけ違うかの確定や、原因の特定までは含みません。大きな標本では小さな差でも検出されうるため、実用面では差の大きさと単位を別に検討します。標本が偏っていると、計算上の判定を母集団へそのまま広げることもできません。

練習問題

各問の標本は、指定された正規母集団から独立に同じ分布で取ったものです。母標準偏差は既知とします。標準正規変数 Z に対し P(Z ≧ 1) = α とし、片側検定は有意水準 α、境界は右側1、左側 -1 とします。標準化した値は整数または分数で答え、判定と理由を示してください。

1. 記録の母標準偏差は10点、標本数は25、標本平均は73点です。基準70点より大きいかを観測前に決めた右側検定で調べます。
2. 容器の容量の母標準偏差は9 mL、標本数は81、標本平均は98 mLです。基準100 mLより小さいかを観測前に決めた左側検定で調べます。
3. 部品の質量の母標準偏差は4 g、標本数は16、標本平均は31 gです。基準30 gより小さいかを観測前に決めた左側検定で調べます。
4. 距離の母標準偏差は15 m、標本数は25、標本平均は41 mです。基準40 mより大きいかを観測前に決めた右側検定で調べます。
5. 読み取り時間の母標準偏差は14秒、標本数は49、標本平均は26秒です。基準24秒より大きいかを観測前に決めた右側検定で調べます。元の秒単位でも棄却域の境界を求めてください。

練習問題の答えと解き方

1

H₀ は μ = 70、H₁ は μ > 70 です。標本平均の標準偏差を先に求め、基準からの差を割ります。

10/√25 = 2点
(73 - 70)/2 = 3/2
3/2 > 1

右側の棄却域に入るため H₀ を棄却し、母平均は70点より大きいと判断します。元の尺度では境界は72点で、73点はこれを上回ります。

2

H₀ は μ = 100、H₁ は μ < 100 です。標本平均の標準偏差と標準化した値は次のとおりです。

9/√81 = 1 mL
(98 - 100)/1 = -2
-2 < -1

左側の棄却域に入るため H₀ を棄却し、母平均は100 mLより小さいと判断します。元の尺度でも境界99 mLを下回ります。

3

H₀ は μ = 30、H₁ は μ < 30 です。観測値は基準より大きいですが、事前に決めた左側の問いを変えずに計算します。

4/√16 = 1 g
(31 - 30)/1 = 1
1 > -1

左側の棄却域に入らないので H₀ は棄却できません。母平均が30 gより小さいとは判断できず、等しいと証明されたわけでもありません。元の尺度では左側の棄却域は29 g以下であり、31 gは入っていません。

4

H₀ は μ = 40、H₁ は μ > 40 です。標本平均の標準偏差は3 mなので、差1 mを3 mで割ります。

15/√25 = 3 m
(41 - 40)/3 = 1/3
1/3 < 1

右側の棄却域に入らないため H₀ は棄却できません。母平均が40 mより大きいとは判断できません。元の尺度の境界43 mと比べても、41 mは棄却域の外です。

5

H₀ は μ = 24、H₁ は μ > 24 です。標本平均の標準偏差を使って境界まで戻します。

14/√49 = 2秒
(26 - 24)/2 = 1
1 ≧ 1
24 + 1・2 = 26秒

境界を含める約束なので H₀ を棄却し、母平均は24秒より大きいと判断します。元の尺度の棄却域は26秒以上で、観測値は境界に一致します。連続分布では境界を含めても有意水準は変わりません。

覚えておくこと

• 対立仮説の向きと有意水準を観測前に決めます。
• 右側は大きい値、左側は小さい値に棄却域を置きます。
• 不棄却は等しいことの証明ではありません。
• 棄却しても、差の実用的な大きさや原因は別に検討します。

つまずきの見分け方

式に代入する前に「何が大きい、または小さいと言いたいか」を母平均 μ の不等式で書いてみます。標本平均の大小だけで矢印を決めている場合は、観測前の問いに戻ります。個別指導では、H₁ の不等号と数直線の塗る側を対応させ、反対側の観測値を置いても方向を変えないかを確かめます。

次に、σ/√n と σ²/n を書き分け、前者を標準化の分母に使えているか確認します。正規母集団、独立な抽出、既知の母標準偏差という条件が欠ける場合、この方法をそのまま適用できません。最後に「棄却できない」を口頭で説明し、等しいと証明したという言い方になっていないかを見ると、計算と結論の両方を点検できます。観測前の約束が、片側検定の結論を支えます。