高校数学B 母平均の区間推定—母標準偏差が既知の条件で信頼区間を組み立てる｜武蔵野個別指導塾

既知の母標準偏差から標本平均のばらつきを計算し、両側信頼区間の端点と幅を求める手順をたどります。

よくあるのは、測定値の標本から母平均を推定するとき、標本の標準偏差を、そのまま既知の母標準偏差として式に入れてしまう場面です。計算は進んでも、区間の根拠は変わります。まず何が母集団について既知なのかを確かめ、標本平均のばらつきを求めてから、母平均を挟む式へ直しましょう。ここでは既知の母標準偏差を使う両側区間を扱います。

問われ方を見分ける

1つ目は、標本数、標本平均、母標準偏差と信頼係数が与えられ、両端を求める型です。中心は観測した標本平均で、中心から端までの距離を先に計算します。距離を区間全体の幅と取り違えないことが出発点です。

2つ目は、端点から中心や標本平均の標準偏差を逆算する型です。左右の端点の平均が中心、差の半分が片側の距離になります。単位を付けて元の端点へ戻すと、差をそのまま距離にした誤りに気づけます。

3つ目は、与えられた条件で式を使えるか判断する型です。母標準偏差が未知で、標本から計算した標準偏差しかない場合は、既知としての計算はできません。抽出の偏りや、母集団が正規か標本が十分大きいかという条件も、数字を代入する前に見ます。

標本平均から母平均を挟む

母平均を m、既知の母標準偏差を正の数 σ とします。同じ母集団から独立に同じ分布で得た n 個の値の平均を X̄ とします。母集団が正規分布なら、X̄ は平均 m、分散 σ²/n の正規分布に従います。したがって標本平均の標準偏差は σ/√n です。母集団が正規でなくても、n が十分大きければ、この分布を近似的に正規分布とみなします。十分大きいかどうかは母集団の形にも依存し、標本数だけで一律に保証できません。

図1のように、まず母標準偏差から標本平均の標準偏差を作ります。それから、求める信頼係数に対応する標準正規分布の境界を掛けます。標本平均の分散 σ²/n を、そのまま標準偏差として使わないようにします。

図1の最後の距離を h とします。標準正規分布に従う Z について P(-c ≦ Z ≦ c) が目的の信頼係数に近くなる正の数を c とすれば、h = cσ/√n です。正規母集団なら標準化した Z = (X̄ − m)/(σ/√n) は標準正規分布に従い、次の関係が成り立ちます。

-c ≦ (X̄ - m)/(σ/√n) ≦ c
-cσ/√n ≦ X̄ - m ≦ cσ/√n
X̄ - cσ/√n ≦ m ≦ X̄ + cσ/√n

2行目では正の σ/√n を掛けています。3行目では不等式を m について整理し、左右を入れ替えています。確率は、この不等式が標本抽出で成り立つ割合です。観測後は X̄ に実際の平均 x̄ を入れ、両側信頼区間を x̄ − h から x̄ + h と表します。

例えば信頼係数を約95%とする問題では、標準正規分布表の P(0 ≦ Z ≦ z) を読みます。z の1.9の行と0.06の列は0.4750です。左右対称なので中央はその2倍の0.9500となり、c = 1.96を用います。表の値は小数第4位に丸められているため、係数も区間の被覆率も近似です。区間の端点は、指定がなければこの表の値を用いて計算した値として示します。

同じ方法で無作為抽出を繰り返すと、標本ごとに区間が変わります。そのうち母平均を含む区間の割合が約95%という意味です。母平均は固定された未知の値で、出来上がった区間の中を動くものではありません。また、標本数を増やしても、選び方が一方向に偏っていれば、その偏りを自動的に取り除けません。

基本例題：長さの平均を推定する

ある材料の長さは正規分布に従い、母標準偏差は既知で4 cmです。独立に16個を抽出したところ、標本平均は30 cmでした。信頼係数を約95%とし、両側信頼区間の端点を小数第2位までcmで求めてください。標準正規分布表では P(0 ≦ Z ≦ 1.96) ≒ 0.4750 とします。

正規母集団、独立な抽出、既知の母標準偏差という条件がそろっています。図2のように、中心30 cmの両側へ同じ距離を取ります。16個の平均に対する標準偏差から計算します。

σ/√n = 4/√16 = 1 cm
h = 1.96・1 = 1.96 cm
下端 = 30 - 1.96 = 28.04 cm
上端 = 30 + 1.96 = 31.96 cm

1行目では16の平方根が4なので、平均の標準偏差は1 cmです。2行目は表から得た1.96を掛けた片側の距離です。よって区間は28.04 cm以上31.96 cm以下です。

図2の左右の端から30までの距離はいずれも1.96 cmです。端点の平均は30 cmに戻り、区間の幅は3.92 cmになります。母平均がこの区間にあると確率95%で動く、という意味ではなく、この作り方の繰り返しにおける被覆率が約95%です。

標準例題：端点から条件をたどる

正規母集団から独立に25個抽出し、母標準偏差は既知です。信頼係数約95%の両側区間が、計算上46.08 g以上53.92 g以下でした。標本平均と母標準偏差をそれぞれ小数で求め、単位を付けてください。境界には1.96を用います。

左右の端点が標本平均を中心に対称であることを利用します。まず中心を求め、次に片側の距離から母標準偏差に戻します。

標本平均 = (46.08 + 53.92)/2 = 50 g
h = (53.92 - 46.08)/2 = 3.92 g
1.96σ/√25 = 3.92
1.96σ/5 = 3.92
σ = 3.92・5/1.96 = 10 g

端点の和を2で割ると中心50 gです。差7.84 gは幅全体なので、その半分が3.92 gです。母標準偏差を10 gとして戻すと、標本平均の標準偏差は10/5 = 2 g、片側は1.96・2 = 3.92 gです。50 gから引き足しすれば元の両端になるため、逆算の結果と条件が一致します。

発展例題：条件が変わると幅はどうなるか

ある正規母集団の母標準偏差は既知で6 mgです。同じ独立な抽出方法で、信頼係数を約95%に固定して区間を作ります。標本数を9から36に変えたとき、各区間の片側の距離と幅を小数第2位までmgで求め、幅の比を簡単な整数比で答えてください。境界には1.96を使います。観測された2つの標本平均は同じとは限りません。

母集団と信頼係数が同じなので、変わるのは √n の部分です。それぞれの標本平均からの距離を計算します。

n = 9 の標準偏差 = 6/√9 = 2 mg
n = 9 の片側の距離 = 1.96・2 = 3.92 mg
n = 9 の幅 = 2・3.92 = 7.84 mg
n = 36 の標準偏差 = 6/√36 = 1 mg
n = 36 の片側の距離 = 1.96・1 = 1.96 mg
n = 36 の幅 = 2・1.96 = 3.92 mg
幅の比 = 7.84 : 3.92 = 2 : 1

標本数が4倍になると、その平方根は2倍になるので幅は半分です。ただし2つの標本平均が異なれば区間の中心も異なります。幅の比較だけから、一方の区間が他方の内側に必ず入るとは言えません。幅を半分にするという結果を元の式に戻すと、σ/√n が2 mgから1 mgになっており、比が確かめられます。

誤答から条件を点検する

基本例題で、16個の標本から計算した標準偏差が仮に3 cmだったとします。「標本の標準偏差が3 cmだから、片側は1.96・3/4 = 1.47 cm」とするのは、この問題の既知σを使う解答として誤りです。図3のように3 cmと4 cmは別の量で、式に入れる場所を決める前に区別します。

図3の4 cmは問題で母集団について与えた値で、図2の計算ではこれを使います。3 cmは抽出した標本の値から計算した量で、標本が変われば一般に変わります。たまたま値が近くても両者を同じものとみなす根拠にはなりません。正しくは4/√16 = 1 cmに1.96を掛け、片側1.96 cmです。

別の失敗として、母標準偏差を知らないのに「標本標準偏差が与えられたから既知」と判断することがあります。その条件だけでは、ここで示した既知σの式をそのまま正当化できません。さらに、独立性が保証されない抽出や、分布が不明で標本も小さい場合も、示した分布の根拠を確認し直します。データの入力値が欠けて平均や標本数を決められない場合は、空欄を都合のよい数で埋めず、観測記録を確かめます。

計算機に入力した値が不正で結果が表示されないときも、出力を推測して端点に書いてはいけません。σ、n、平方根、掛け算の順に入力を点検し、手計算と照合します。時間が足りない場合でも、条件と式、単位を残せば、どこから再開し何を検算するかが明確になります。

練習問題

各問は自作の設定です。計算では P(0 ≦ Z ≦ 1.96) ≒ 0.4750 を用い、信頼係数約95%の両側区間を考えます。抽出は独立で、同じ母集団から行います。

1. 正規母集団から36個の部品の重さを抽出し、標本平均は72 gでした。母標準偏差は既知で3 gです。区間の両端を小数第2位までgで求めてください。
2. 正規母集団から100個の液量を測り、標本平均は120 mLでした。母標準偏差は既知で20 mLです。区間の両端と幅を小数第2位までmLで求めてください。
3. 正規母集団の母標準偏差は既知です。独立な64個の標本で得た区間が18.53秒以上21.47秒以下でした。標本平均と母標準偏差を小数で秒単位で求めてください。
4. 正規母集団の母標準偏差は既知で8 mmです。標本数を16から64に増やすとき、各区間の幅を小数第2位までmmで求めてください。中心の一致は仮定しません。
5. ある集団の値の分布は不明で、独立な標本は5個です。母標準偏差も未知で、標本標準偏差は2でした。これだけを使って既知σの正規母集団の式を適用できるか、理由を2点挙げて答えてください。

練習の答えと解き方

1

正規母集団でσが既知なので、標本平均の標準偏差から計算します。

σ/√n = 3/√36 = 0.5 g
h = 1.96・0.5 = 0.98 g
下端 = 72 - 0.98 = 71.02 g
上端 = 72 + 0.98 = 72.98 g

答えは71.02 g以上72.98 g以下です。端点の平均は72 g、両側の距離は0.98 gなので、元の標本平均と計算した距離に戻ります。

2

100の平方根を用いて、標本平均の標準偏差を求めます。

σ/√n = 20/√100 = 2 mL
h = 1.96・2 = 3.92 mL
下端 = 120 - 3.92 = 116.08 mL
上端 = 120 + 3.92 = 123.92 mL
幅 = 123.92 - 116.08 = 7.84 mL

答えは116.08 mL以上123.92 mL以下、幅は7.84 mLです。幅は片側の距離3.92 mLの2倍とも一致し、両端の平均は観測値120 mLです。

3

中心と片側の距離を端点から求め、既知の母標準偏差を逆算します。

標本平均 = (18.53 + 21.47)/2 = 20 秒
h = (21.47 - 18.53)/2 = 1.47 秒
1.96σ/√64 = 1.47
1.96σ/8 = 1.47
σ = 1.47・8/1.96 = 6 秒

答えは標本平均20秒、母標準偏差6秒です。6/8 = 0.75秒、1.96・0.75 = 1.47秒となり、20秒から引き足しすると与えられた端点に戻ります。

4

各標本数について標準偏差と片側の距離を出してから、2倍します。

n = 16 の標準偏差 = 8/4 = 2 mm
n = 16 の幅 = 2・1.96・2 = 7.84 mm
n = 64 の標準偏差 = 8/8 = 1 mm
n = 64 の幅 = 2・1.96・1 = 3.92 mm

答えは順に7.84 mm、3.92 mmです。平方根は4から8へ2倍になり、幅は半分に戻っています。中心が同じかどうかを仮定する必要はありません。

5

そのまま適用できません。第一に、2は標本標準偏差であり、未知の母標準偏差そのものとは与えられていません。第二に、母集団の正規性が不明で、5個という標本から大標本の近似を当然に使う根拠もありません。

独立性があるという条件は満たされていますが、ほかの2点を補うものではありません。母標準偏差が既知か、正規性または近似の条件が成り立つかを、元の設定に戻って確かめます。

覚えておくこと

母標準偏差σが既知で、正規母集団または妥当な大標本近似を確認します。 標本平均の標準偏差はσ/√n、区間は標本平均の両側にcσ/√nです。 信頼係数は区間を作る手続の被覆率で、固定された母平均が動く確率ではありません。

つまずきを見分ける

式を見たとき、σ²/nを距離として書いていれば、分散と標準偏差を区別できているかを確かめます。個別指導では、まず単位が元の測定値と同じになる量を選び、√nで割る理由を説明してもらいます。次に端点の平均が標本平均に戻り、端点の差が片側の距離の2倍になるかを点検します。

標本標準偏差を入れた場合は、問題文の「母」と「標本」に印を付けて、既知という条件がどちらに付くかを確認します。数式を正しく書けても、偏った抽出や小さい非正規標本では根拠が不足することもあります。区間の数字と、その数字を支える抽出条件を並べて読めることが、母平均を推定する力につながります。