高校数学B 二項分布の条件—独立と成功確率の一定を場面に戻して見極める｜武蔵野個別指導塾

色玉を戻す場合と戻さない場合を比べ、成功の定義と各回の独立性から分布を選ぶ視点を身につけます。判断の鍵は二項分布です。

よくあるのは、高2が袋から色玉を取り出し、戻さずに続ける操作を反復試行と考える場面です。最初の赤玉の割合がわかると、その割合を各回にそのまま使いたくなります。しかし、取り出した玉を戻さなければ袋の中身は変わります。先にどの色が出たかによって、次の赤玉の確率も変わります。回数を数える前に、1回の操作とその後の状態を言葉で追いましょう。

どこで分布を選ぶか

問題の型は大きく3つあります。第1は、1回の成功を決め、決まった回数のうち成功した回数を B(n, p) で表す型です。n は試行回数、p は各回の成功確率です。成功という言葉は、赤玉が出る、装置が動くなど、数えたい結果に対して自分で定めます。良い結果という意味に限りません。

第2は、同じように見える操作で条件が保たれるかを調べる型です。取り出した玉を戻して混ぜれば、次の袋の構成は元に戻ります。戻さなければ残りの構成が変わるため、前の結果を考えずに同じ確率を掛けることはできません。戻すかどうかという操作に、確率の式を対応させます。

第3は、条件が不足する場合を見分ける型です。各回の成功確率が同じと書かれていても、前の結果と次の結果が独立とは限りません。また、各回が独立でも成功確率が回ごとに違えば、通常の B(n, p) の反復試行としては扱えません。条件の不足は不成立の証明とも違います。追加の情報なしには判断できない、と答える場合もあります。

用語と考え方：1回から全体へ

1回の試行で注目する事象を成功、それ以外を失敗と呼びます。1回ごとに成功か失敗かの2つに分け、各回が互いに独立で、成功確率が共通の p である試行を、決まった回数 n 回繰り返します。成功回数を X とすると、X は二項分布 B(n, p) に従います。n は正の整数、p は 0 以上 1 以下です。X の値は 0 から n までの整数です。

図1のように、操作の回数、成功の定義、各回の確率、独立性を順に確かめます。独立とは、ある回の結果を知っても、残りの回の結果についての確率が変わらないことです。2回の比較では、例えば1回目に成功したとわかった後の2回目の成功確率と、もとの2回目の成功確率を比べられます。3回以上では、2回ずつの比較だけでなく、それまでの結果の組を知ったときも条件が保たれるか考えます。

図1の4項目がそろえば、並びごとの確率を同じ p と 1 − p の積で表せます。ちょうど k 回成功する確率は、0 ≦ k ≦ n の整数 k に対して、次の形です。nCk は n 個の位置から成功の位置を k 個選ぶ組合せの数です。

P(X = k) = nCk・p の k 乗・(1 - p) の n - k 乗

成功位置を選ぶのは、同じ回数でも成功と失敗の並びが異なりうるからです。例えば成功が先か後かは別の経路ですが、独立かつ p が共通なら、それぞれの経路に同じ積が対応します。ここでは公式を成立させる条件に焦点を当て、複雑な数え上げには広げません。

p = 0 なら成功回数は常に 0、p = 1 なら常に n です。どちらも端の値として定義に含められます。ただし、条件を確かめず、成功と失敗が2種類あるという見た目だけで二項分布を選ぶことはできません。確率が同じであることと、互いに影響しないことは別の確認です。

基本例題：戻してから次を引く

袋に赤玉2個と白玉3個があります。よく混ぜて1個取り出し、色を記録して戻し、再びよく混ぜます。この操作を独立に3回行います。赤玉が出た回数を X とします。X の分布を記号で表し、赤玉がちょうど1回出る確率を分数で求めてください。

まず1回の成功を「赤玉が出る」と定めます。図2のように、毎回戻すため、次に引く直前の袋は赤2個、白3個です。各回の成功確率は 2/5 で、問題の条件から各回は独立です。回数は3回に固定されているので、X は B(3, 2/5) に従います。

図2では矢印が袋を元の状態に戻す操作を表します。成功が1回の並びは、赤白白、白赤白、白白赤の3通りです。各並びは独立性から同じ確率になります。したがって、次のように1行ずつ計算します。

P(X = 1) = 3C1・(2/5)・(3/5)²
         = 3・(2/5)・(9/25)
         = 54/125

ここで 3C1 = 3 は赤の位置の選び方です。白の確率 3/5 は赤以外の確率として求めました。答えを場面に戻すと、3つの並びは互いに重ならず、どれも赤が1回です。各並びの確率は 18/125 で、その合計が 54/125 です。戻す操作が抜けると白を引いた後の袋も変わるため、この積の根拠は失われます。

標準例題：戻さないと何が変わるか

赤玉3個、白玉2個の袋から、よく混ぜて1個取り出し、戻さずにもう1個取り出します。各玉はその時点で同様に確からしく選ばれます。赤玉の個数を Y とします。各回の赤の確率と独立性を調べ、Y が B(2, 3/5) に従うか判定してください。必要な確率は分数で示します。

1回目の赤の確率は、赤が3個、全体が5個なので 3/5 です。1回目が赤だったとわかると、残りは赤2個、白2個です。したがって、その条件の下で2回目が赤となる確率は 2/4 = 1/2 です。一方、1回目が白だったとわかると、残りは赤3個、白1個なので、その条件の下で2回目が赤となる確率は 3/4 です。

もとの2回目の赤の確率も、1回目の色で分けて求めます。赤の後に赤となる経路と、白の後に赤となる経路は重なりません。

P(2回目が赤) = (3/5)・(2/4) + (2/5)・(3/4)
             = 6/20 + 6/20
             = 3/5

各回の赤の確率はともに 3/5 ですが、1回目が赤とわかった後の確率 1/2 は 3/5 と異なります。したがって2回は独立ではありません。周辺の確率が一致することだけでは、独立性の代わりになりません。

さらに Y が指定の分布と一致しないことを、成功2回の確率で直接確かめます。実際に赤を続けて引く確率は (3/5)・(2/4) = 3/10 です。B(2, 3/5) なら、2回とも赤の確率は (3/5)² = 9/25 です。3/10 と 9/25 は異なるので、Y は B(2, 3/5) に従いません。独立な試行として導けないというだけでなく、具体的な分布の値も違うことが確認できました。

なお、反復試行の条件が成り立たないとき、成功回数が何らかの二項分布と偶然一致する可能性まで、条件の不成立だけから否定することはできません。この例では指定された B(2, 3/5) との差を実際に示して判断しています。

発展例題：確率が違う独立な操作

2台の装置 A、B をそれぞれ1回動かします。A が動く確率は 1/3、B が動く確率は 2/3 で、結果は独立です。動いた装置の数を Z とします。Z の分布を分数で求め、B(2, p) と表せる p があるか調べてください。

まず成功を「装置が動く」と決めます。独立性は与えられていますが、成功確率は 1/3 と 2/3 で同じではありません。よって共通の p を使う反復試行としては扱えません。そこで各結果を直接分けます。

P(Z = 0) = (2/3)・(1/3) = 2/9
P(Z = 1) = (1/3)・(1/3) + (2/3)・(2/3)
         = 1/9 + 4/9 = 5/9
P(Z = 2) = (1/3)・(2/3) = 2/9

0回は両方が動かない場合、2回は両方が動く場合です。1回は A のみと B のみの2つの経路に分けています。合計は 2/9 + 5/9 + 2/9 = 1 で、3つの値はどれも非負です。これは装置の動作の全経路に戻して確かめたことになります。

仮に Z が B(2, p) なら、2回成功の確率から p² = 2/9 です。また0回成功の確率から (1 − p)² = 2/9 です。0 ≦ p ≦ 1 なので p と 1 − p はともに非負であり、両者の二乗が等しいことから p = 1 − p、すなわち p = 1/2 です。しかしこのとき p² = 1/4 で、2/9 と一致しません。よって該当する p はありません。独立性を確認した後にも、各回の成功確率の一致を調べる必要があります。

誤答を直す：確率の一致と独立を分ける

標準例題で「各回の赤の確率が 3/5 だから、赤赤の確率は (3/5)²」とするのは誤りです。原因は、2回目の確率を1回目の結果を知る前の値のまま使ったことです。掛け算の2つ目には、先に赤が出た後の袋で赤を引く確率が必要です。

図3のように、赤を取り出した後は赤2個、白2個です。修正後は (3/5)・(2/4) = 3/10 になります。図3の2つ目の分母は残った玉の総数4です。掛ける数を直す理由を、袋の中身まで戻って説明できれば、単に公式を暗記した場合より条件を点検しやすくなります。

逆に「戻さないなら常に各回の赤の周辺確率も違う」とするのも誤りです。標準例題では各回の周辺確率は同じでしたが、直前の結果がわかった後の確率は変わりました。条件が与えられない装置の問題では、同じ成功確率という情報だけで独立と断定しないことも必要です。失敗の扱いを、単なる計算ミスではなく、どの情報が不足または変化したかで分類します。

練習問題

それぞれ確率は分数で答え、分布を指定する場合は理由も書いてください。

1. 青玉4個と黄玉1個の袋から1個を取り出して戻し、よく混ぜる操作を独立に2回行います。青玉の回数を X とするとき、分布と青玉が2回出る確率を求めてください。
2. 緑玉2個と白玉4個から1個ずつ戻さずに2回引きます。各時点で残った玉は同様に確からしく選ばれます。1回目が緑の後の2回目の緑の確率を求め、各回を独立な試行として扱えるか答えてください。
3. ある操作を独立に4回行い、各回に印がつく確率は 1/4 です。印のつかない回数を W とします。W の分布と W = 0 の確率を求めてください。
4. 2回の結果は必ず同じになり、最初の回が成功する確率は 1/2 です。各回の成功確率が等しいことを確かめ、独立かどうか判定してください。
5. 装置 C、D を独立に1回ずつ動かします。動く確率はそれぞれ 1/4、1/2 です。動いた台数の分布を求め、共通の成功確率を持つ反復試行として扱えるか答えてください。

練習の答えと解き方

1. 青が出ることを成功とします。戻して混ぜるため各回の成功確率は 4/5、独立性も与えられています。回数は2回ですから X は B(2, 4/5) に従います。2回とも青となる確率は (4/5)・(4/5) = 16/25 です。元の袋では毎回5個中4個が青であり、2回目にも 4/5 を使えることを戻す操作で確認します。

2. 緑が1個減った後の袋には緑1個、白4個が残ります。よって求める確率は 1/5 です。最初の緑の確率は 2/6 = 1/3 で、1回目が白の後の緑の確率は 2/5 です。2回目の緑の周辺確率は (2/6)・(1/5) + (4/6)・(2/5) = 10/30 = 1/3 です。1/5 と 1/3 は異なるので独立ではありません。残り5個の内訳に答えを戻し、分母と分子を確認します。

3. 成功を「印がつかない」と定めると、各回の成功確率は 1 − 1/4 = 3/4 です。独立性は成功と失敗の呼び方を入れ替えても保たれ、4回に固定されています。したがって W は B(4, 3/4) に従います。W = 0 は4回とも印がつくことなので、確率は (1/4) の4乗 = 1/256 です。成功の定義を元に戻すと、印がつかない回がないことと4回とも印がつくことが一致します。

4. 2回目は1回目と必ず同じなので、2回目の成功確率も 1/2 です。しかし1回目が成功した後は2回目が成功する確率が 1 となり、もとの 1/2 と違います。したがって独立ではありません。実際、2回とも成功する確率は 1/2 で、独立の場合の (1/2)・(1/2) = 1/4 とは異なります。失敗後も2回目は失敗になるという条件と整合します。

5. 動かない確率は C が 3/4、D が 1/2 です。独立性を使い、動いた台数を V とすると、

P(V = 0) = (3/4)・(1/2) = 3/8
P(V = 1) = (1/4)・(1/2) + (3/4)・(1/2)
         = 1/8 + 3/8 = 1/2
P(V = 2) = (1/4)・(1/2) = 1/8

合計は 3/8 + 1/2 + 1/8 = 1 で、どの確率も非負です。各台の成功確率が異なるため、共通の成功確率を持つ反復試行としては扱えません。1台だけ動く場合に C のみと D のみの両方を含めたことも、元の場面に戻して確認します。

覚えておくこと

成功を1回の結果で明確に定めます。
固定した n 回が互いに独立で、各回の成功確率が共通の p なら成功回数は B(n, p) です。
戻さない操作では、その前の結果に応じた残りの構成を調べます。
周辺確率の一致と独立性は別々に確かめます。

つまずきの見分け方

式の前に「何を1回と数えるか」「成功は何か」を書けるか確かめます。白玉を成功に選んだのに赤玉の確率を p にする場合は、言葉と数の対応を引き直します。回数が決まる前に成功したら終了する操作なら、固定された回数を前提とする説明をそのまま使えません。

個別指導では、袋の絵を1回目の前と後に分け、赤の後の分子と分母を生徒自身に書いてもらいます。次に、赤赤の確率を実際の操作に沿って掛け、独立を仮定した積と比較します。確率が等しいという一項目だけで先へ進んでいないか、情報が不足した場合に判断を保留できるかも確認します。場面に戻る習慣が二項分布の条件を支えます。